CHƯƠNG VI. BÀI 18. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VI. BÀI 18. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ô cửa bí mật (Let’s Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau: Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chưa được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra. Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại. Các kiến thức trong bài học này sẽ giúp cho người chơi lời khuyên.
1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện
Ảnh
1. Xác suất có điều kiện
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, được tính khi biết biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu P(A | B).
- Xác suất có điều kiện có thể được tính theo công thức
Ảnh
- Xác suất có điều kiện có thể được tính theo công thức:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: latex(P(A | B) = (P(AB))/(P(B))).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó. Gọi A là biến cố: "An lấy được viên bi trắng"; B là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng". Tính P(A | B) bằng định nghĩa và bằng công thức tính P(A | B) ở trên.
- Mẫu:
Ảnh
Hình vẽ
Cách 1: Bằng định nghĩa Nếu B xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen. Vậy P(A | B) = latex(19/29).
- Luyện tâp 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trở lại Ví dụ 1. Tính latex(P(A | barB)) bằng định nghĩa và bằng công thức.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: a) Từ công thức tính P(A | B) ở trên, chứng minh rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập với P(A) > 0, P(B) > 0 thì P(A | B) = P(A) và P(B | A) = P(B). b) Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, hãy chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A | B) = P(A) và P(B | A) = P(B).
+ Giải (- Ví dụ 2)
Ảnh
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: latex(P(barA|B) = P(barA)) và latex(P(A | barB)=P(A)).
- Luyện tập 3 (- Luyện tập 3)
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 như sau:
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh; b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
Ảnh
2. Công thức nhân xác suất
Công thức nhân xác suất
Ảnh
2. Công thức nhân xác suất
- HĐ2
Ảnh
Hình vẽ
HĐ2: Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, P(B) > 0, ta có: P(AB) = P(B) ∙ P(A | B).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Nếu P(B) = 0 thì P(AB) = 0 nên công thức tính P(AB) ở trên đúng với mọi biến cố A, B. Vậy với hai biến cố A và B bất kì, ta có: P(AB) = P(B) . P(A | B). Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. Vì AB = BA nên với hai biến cố A và B bất kì, ta cũng có: P(AB) = P(A) . P(B | A).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 4: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cunfg kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để: a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen; b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.
- Vận dụng
- Vận dụng:
Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3. Kí hiệu E1; E2; E3 tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”. Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P(E1 | H) và P(E2 | H). a) Chứng minh rằng: latex(P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = 1/3); latex(P(H | E_1) = 1/2) và latex(P(H | E_2) = 1).
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
- Vận dụng:
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng: * latex(P(E_1 |H) = (P(E_1) . P(H|E_1))/(P(H))); * latex(P(E_2 |H) = (P(E_2) . P(H|E_2))/(P(H))); c) Từ các kết quả trên hãy suy ra: latex(P(E_2 | H) = 2P(E_1 | H)). Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm; b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VI. Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes".
Cảm ơn
Ảnh