CHƯƠNG 4. BÀI 2. TÍCH PHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 4. BÀI 2. TÍCH PHÂN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức: latex(v(t) = 20 - 5t (0 <= t <= 4)). Kể từ khi hãm phan đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Ảnh
1. Diện tích hình thang cong
Diện tích hình thang cong
Ảnh
1. Diện tích hình thang cong
- HĐ1
a. Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
HĐ1: Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi latex(x>=1), kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x. a) Tính S(3). b) Tính S(x) với mỗi latex(x >= 1). c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên latex([1; +oo)) d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). CMR: F(3) - F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của HS f(x) trên đoạn [a; b].
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = latex(2 - x^2), trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1 (Hình 3).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Hàm số y = f(x) = latex(2 - x^2) liên tục, dương trên đoạn [-1; 1] và có một nguyên hàm là F(x) = 2x - latex((x^3)/3). Do đó, diện tích hình thang cong cần tìm là: S = F(1) = F(-1) = latex((2 - 1/3) - (-2 + 1/3) = 10/3).
- Thực hành 1
Ảnh
- Thực hành 1:
Ảnh
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = latex(e^x), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).
2. Khái niệm tích phân
Khái niệm tích phân
Ảnh
2. Khái niệm tích phân
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hàm số f(x) = 2x - 1. Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý F(x) và G(x) của f(x), rồi tính F(3) - F(0) và G(3) - G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu: latex(int_a^b f(x)dx).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a) latex(int_1^2 x^2dx); b) latex(int_1^e 1/t dt); c) latex(int_(pi/2)^(-pi/2) cosx dx).
- Giải:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì latex(f(b) = f(a) = int_a^b)f'xdx. b) Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm (v(t)= s'(t)). Do đó, nếu biết tốc độ v(t) tại mọi thời điểm latex(t in [a; b]) thì tính quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức: latex(s = s(b) - s(a) = int_a^b v(t) dt).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: a) Tính quãng đường xe di chuyển từ khi dừng trong tình huống ở phần khởi động (trang 12). b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó latex(1/(b - a)int_a^b f(x)dx) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
- Thực hành 2
Ảnh
- Thực hành 2:
Tính các tính phân sau: a) latex(int_1^3 2x dx); b) latex(int_0^pi sintdt) c) latex(int_0^(ln2) e^udu).
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Hình vẽ
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ v(t) = 2t - latex(0,03t^2 (0 <= t <= 10)), trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây. b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 10.
3. Tính chất của tích phân
Tính chất của tích phân
Ảnh
3. Tính chất của tích phân
a. Tính chất 1
Ảnh
HĐ3: a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = latex(6x^5). Từ đó, tính latex(I = int_0^2 6x^5)dx. b) Tính latex(J = int_0^2x^5dx). c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J?
a. Tính chất 1:
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], k là số thực. Khi đó: latex(int_a^b kf(x)dx = kint_a^bf(x)dx).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a) latex(int_1^2 1/(4x^2) dx); b) latex(int_(pi/4)^(pi/2) (-2)/(3sin^2x)dx); c) latex(int_0^2 2^(x + 3) dx).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Thực hành 3
Ảnh
- Thực hành 3:
Tính các tính phân sau: a) latex(int_(-1)^1 4x^7 dx); b) latex(int_(-2)^(-2) (-3)/(10x)dx); c) latex(int_0^2 (5^(x - 1))/2)dx.
b. Tính chất 2
Ảnh
HĐ4: a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = latex(x^2 + e^x). Từ đó, tính latex(int_0^1(x^2 + e^x))dx. b) Tính latex(int_0^1x^2dx + int_0^1e^xdx). c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
b. Tính chất 2:
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó: * latex(int_a^b[f(x) + g(x)]dx = int_a^bf(x)dx + int_a^bg(x)dx); * latex(int_a^b[f(x) - g(x)]dx = int_a^bf(x)dx - int_a^bg(x)dx).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: a) latex(int_(-1)^2 (3x^2 - 8x)dx); b) latex(int_(pi/4)^(pi/3) (1/(cos^x) + sqrt3/(sin^2x))dx).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Thực hành 4
Ảnh
- Thực hành 4:
Tính các tính phân sau: a) latex(int_1^2 (x - 1)/(x^2)dx); b) latex(int_0^pi (1 + 2sin^x x/2)dx); c) latex(int_(-2)^1 (x - 2)^2dx + int_(-2)^1(4x - x^2))dx.
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x) gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: P'(x) = 16 - 0,02x với latex(0 <= x<= 100). Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
c. Tinh chât 3
Ảnh
HĐ5: Cho hàm số f(x) = 2x. Tính và so sánh kết quả: latex(int_0^2 f(x) dx) và latex(int_0^1 f(x)dx + int_1^2f(x)dx).
c. Tính chất 3:
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] , latex(c in (a; b)) . Khi đó: latex(int_a^b f(x) dx = int_a^c f(x)dx + int_c^b f(x) dx).
- Ví du 6
Ảnh
Ví dụ 6: Tính latex(int_0^(pi/4) (sinx + cosx)dx + int_(pi/4)^(pi/2) (sinx + cosx)dx).
- Giải:
Ảnh
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Tính latex(int_0^3 |x^2 - 2x|dx).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Thực hành 5
Ảnh
- Thực hành 5:
Tính: a) latex(int_(-1)^(1/2) (4x^3 - 5)dx - int_1^(1/2) (4x^3 - 5)dx); b) latex(int_0^3|x - 1| dx); c) latex(int_0^pi|cosx|dx).
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
Ảnh
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
- Bài 1
Bài 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi: a) Đồ thị HS y = latex(x^2), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (H7). b) Đồ thị HS y = latex(1/x), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H8).
Ảnh
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Tính các tích phân sau: a) latex(int_1^2 x^4 dx) b) latex(int_(-2)^4 (x +1)(x - 1))dx; c) latex(int_(-2)^1|2x + 2|dx).
- Bài 3
Bài 3: Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở latex(150@C). Biết rằng nhiệt độ T latex(@C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và T'(x) = latex(- 30/x (6<=x<=8)). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 4. Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân".
- Cảm ơn
Ảnh