BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN
Khởi động
Khởi động
Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).
- Khởi động:
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Định nghĩa
Ảnh
1. Định nghĩa
Ảnh
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 3 . 2n). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này. b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa latex(u_n) và latex(u_(n - 1)).
Trả lời:
a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là: latex(u_1 = 3 . 21 = 6; u_2 = 3 . 22 = 12; u_3 = 3 . 23 = 24); latex(u_4 = 3 . 24 = 48; u_5 = 3 . 25 = 96). b) Ta có: latex(u_(n-1) = 3.3^(n-1) = 3 . (2^n)/(2^1) = (3.2^n)/2 = (u_n)/2 => u_n = u_(n - 1) . 2). Hệ thức truy hồi liên hệ giữa latex(u_n) và latex(u_(n- 1)) là: latex(u_1 = 6, u_n = u_(n - 1) . 2) với n ≥ 2.
HĐ1: Nhận biết cấp số nhân
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. * Cấp số cộng latex((u_n)) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: latex(u_n = u_(n -1) . q) với latex(n >= 2)
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu latex(u_1 = 5) và công bội q = -2. Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.
Giải:
Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là: * latex(u_1 = 5, u_2 = u_1.q = 5 . (-2) = -10,) * latex(u_3 = u_2 . q = (-10) . (-2) = 20)), * latex(u_4 = u_3 . 1 = 20 . (-2) = -40), * latex(u_5 = u_4 . q = (-40) . (-2) = 80).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 1/(3^(n-1))). Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Giải:
Với mọi latex(n >= 2) ta có: latex((u_n)/(u_(n -1)) = 1/(3^(n-1)) . (3^(n-2))/1 = 1/3), tức là: latex(u_n = 1/3 . u_(n-1)) với mọi latex(n >= 2) Vậy latex((u_n)) là một cấp số nhân với số hạng đầu latex(u_1 = 1/(3^0) = 1) và công bội latex(q = 1/3).
Hình vẽ
Để chứng minh dãy số latex((u_n)) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số latex((u_n)/(u_(n-1))) không đổi.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 2 . 5^n). CMR: Dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
2. Số hạng tổng quát
Ảnh
Ảnh
2. Số hạng tổng quát
Cho cấp số nhân latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1) và công bội q. a) Tính các số hạng latex(u_2, u_3, u_4, u_5) theo latex(u_1) và q. b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo latex(u_1) và q.
Trả lời:
a) Ta có: latex(u_2 = u_1 . q); latex(u_3 = u_2 . q = (u_1 . q) . q = u_1 . q^2); latex(u_4 = u_3 . q = (u_1 . q^2) . q = u_1 . q^3); latex(u_5 = u_4 . q = (u_1 . q^3) . q = u_1 . q^4). b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo latex(u_n) và q là: latex(u_n = u_1 .q^(n - 1)) với latex(n >=2).
HĐ2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu latex(u_1) và công bội q thì số hạng tổng quát latex(u_n) của nó được xác định bởi công thức: latex(u_n = u_1 . q^(n-1)) với latex(n >= 2).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân: 8, -4,...
Giải:
Cấp số nhân này có số hạng đầu latex(u_1 = 8) và công bội q latex(= -4/8 = - 1/2). Do đó năm số hạng đầu là: 8, -4, 2, -1, latex(1/2). Số hạng thứ 100 là: latex(u_100 = u_1 . q^99 = 8 . (- 1/2)^99 = - 1/(2^96)).
- Ví dụ 4
Ảnh
VD4: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứu 10 bằng 1536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Ảnh
Ảnh
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1 = a) và công bội q ≠ 1. Để tính tổng của n số hạng đầu: latex(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_(n - 1) + u_n), thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo latex(u_1) và q để được biểu thức tính tổng latex(S_n) chỉ chứa latex(u_1) và q. b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích latex(q . S_n) chỉ chứa latex(u_1) và q. c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính latex((1 - q)S_n) theo latex(u_1) và q. Từ đó suy ra công thức tính latex(S_n).
HĐ3: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho cấp số nhân latex((u_n)) với công bội latex(q != 1). Đặt latex(S_n = u_1 + u_2 + ...+ u_n). Khi đó: latex(S_n = (u_1(1 - q^n))/(1 - q)).
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu latex(S_n) của nó bằng bao nhiêu?
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18, ... để được kết quả bằng 728.
- Giải:
Cấp số nhân này có số hạng đầu latex(u_1 = 2) và công bội q = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có: 728 = latex(S_n =u_1 + u_2 + ... + u_n = (u_1(1 - q^n))/(1-q) = (2(1 - 3^n))/(1 - 3) = 3^n - 1). Từ đây ta được latex(3^n = 729 = 3^6 => n = 6) Vậy phải lấy 6 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 728.
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Vận dụng giải bài toán trong tình huống mở đầu.
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau: - Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng. - Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%. Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân: a) 1, 4, 16, ...; b) latex(2; -1/2; 1/8;...)
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số latex((u_n)) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng: latex(u_n = u_1 . q_(n - 1)). a) latex(u_n = 5n); b) latex(u_n = 5^n); c) latex(u_1 = 1, u_n = n, u_(n – 1)); d) latex(u_1 = 1, u_n = 5u_(n – 1)).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !