BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Nếu các em là một kiến trúc sư trong nhóm, cùng nhau áp dụng kiến thức hình học không gian giữa đường thẳng và mặt phẳng trong toán học để xác định và vẽ các đường thẳng và mặt phẳng này. Chúng ta sẽ tạo ra một bản thiết kế chính xác và hợp lí cho căn nhà của mình. Vậy cách vẽ, cách xác định mặt phẳng và đường thẳng trong không gian như thế nào? Mối quan hệ giữa chúng là gì để ta có thể vẽ được bản thiết kế?
Hình thàn kiến thức
1. Khái niệm mở đầu
1. Khái niệm mở đầu
Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
* Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó. * Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Trong Hình 4.1, ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (latex(alpha)).
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế.
Gợi ý:
Ảnh
Ảnh
Mặt bàn
Trần nhà phẳng
- HĐ1
Ảnh
HĐ1: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.
Ảnh
Ví dụ:
Một chấm mực trên tờ giấy trắng
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Quy tắc cần tuân thủ hình biểu diễn của một hình không gian
Ảnh
- Quy tắc tuân thủ hình biểu diễn của một hình không gian
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
2. Các tính chất thừa nhận
Ảnh
2. Các tính chất thừa nhận
HĐ2: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B này không?
Ảnh
- Kết luận 1
Ảnh
- Kết luận 1:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?
Gợi ý:
Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Khi đó số đường thẳng tạo thành 3 đường thẳng.
- HĐ3
HĐ3: Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác. a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
Ảnh
b) Có thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là (ABC). Nếu có nhiều điểm cùng thuộc mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?
Gợi ý:
Ảnh
Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (H.4.5). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?
Giải:
Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho, đó là các mặt phẳng (DAB), (DAC), (DBC) và (ABC).
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,...
Ảnh
Ảnh
- HĐ4
HĐ4: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?
Ảnh
- Kết luận 3
Ảnh
- Kết luận 3:
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đưofng thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là d latex(sub (P)) hoặc (P) latex(sup) d.
- Ví dụ 2
Giải:
Ảnh
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc đường thẳng BC . a) Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC)? b) Đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) hay không?
a) Đường thẳng BC có hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì M thuộc đường thẳng BC nên M thuộc mặt phẳng (ABC). b) Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (ABC).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
- HĐ5
Ảnh
HĐ5: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?
- Kết luận 4
Ảnh
- Kết luận 4:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là d = (P) latex(nn) (Q).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC. a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SBN), (SCM), và khác điểm S. b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) có đi qua trọng tâm của tam giác ABC hay không?
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Hai đường trung tuyến trong một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác là một tính chất đã được học trong hình học phẳng. Trong ví dụ trên, tính chất này đã được áp dụng cho tam giác ABC trong mặt phẳng (ABC).
- Kết luận 5
Ảnh
- Kết luận 5:
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
3. Cách xác định một mặt phẳng
Ảnh
3. Cách xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- HĐ6
Ảnh
HĐ6: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là mp(A, d). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a, b).
- Ví dụ 4
Ảnh
Giải:
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và gọi S là một điểm không thuộc mp(a, b). Xác định giao tuyến của mp(S, a) và mp(S, b).
Gọi M là giao điểm của a và b. Vì M thuộc a nên M thuộc mp(S, a). Vì M thuộc b nên M thuộc mp (S, b). Hai điểm S, M cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, b) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SM.
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp(S, a) và mp(S, c); mp(S, b) và mp(S, c).
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.
Ảnh
4. Hình chóp và hình tứ diện
4. Hình chóp và hình tứ diện
HĐ7: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
* Cho đa giác lồi latex(A_1A_2...A_n) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh latex(A_1, A_2,..A_n) để được n tam giác latex(SA_1A_2, SA_2A_3,...SA_nA_1). Hình gồm n tam giác latex(SA_1A_2, S_A_2A_3,...SA_nA_1) và đa giác latex(A_1A_2...A_n) được gọi là hình chóp và kí hiệu là latex(S.A_1A_2...A_n). * Trong hình chóp latex(S.A_1A_2...A_n), điểm S được gọi là đỉnh và đa giác latex(A_1A_2...A_n) được gọi là mặt đáy; các tam giác latex(SA_1A_2, SA_2A_3,...SA_nA_1) được gọi là các mặt bên; các cạnh latex(SA_1, SA_2,...SA_n) được gọi là các cạnh bên; các cạnh latex(A_1A_2, A_2A_3,...A_nA_1) được gọi là các cạnh đáy.
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
- Ví dụ 5
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD (H.4.11). Hình chóp đó có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh?
Giải:
Hình chóp S.ABCD có 5 đỉnh S, A, B, C, D và có 8 cạnh là SA, SB, SC, AB, BC, CD, DA.
- HĐ8
Ảnh
HĐ8: Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.
- Kết luận
- Kết luận:
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD. Trong hình tứ diện ABCD, các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tứ diện. Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho hình tứ diện ABCD và E là một điểm nằm trong tam giác BCD. Gọi F là một điểm nằm giữa A và E (H.4.12). Xác định giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (ACD).
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).
b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).
c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).
d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc cạnh SA, SB và D, E khác S. a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không? b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 11: Hai đường thẳng song song".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !