CHƯƠNG 4. BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 4. BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Ảnh
Các tia nắng song song theo phương 1 khi chiếu tới biển báo giao thông hình chữ nhật ABCD tạo thành bóng trên mặt đường (xem hình bên). Bóng của biến báo này có dạng hình gì? Tại sao?
I - Khái niệm phép chiếu song song
Hoạt động 1
I - Khái niệm phép chiếu song song
1. Hoạt động 1
Trong Hoạt động 1: a) Các tia sáng AA', BB', DD' có song song với nhau hay không? b) Nêu cách xác định bóng C' của điểm C trên mặt đường.
Ảnh
Giải
a) Các tia sáng AA’, BB’ và DD’ song song với nhau. b) Cách xác định bóng C’ của điểm C trên mặt đường như sau: Từ A kẻ tia sáng song song theo phương l cắt mặt đất tại điểm A’. Từ B kẻ tia sáng song song theo phương l cắt mặt đất tại điểm B’. Từ C kẻ tia sáng song song theo phương l cắt mặt đất tại điểm C’. Từ D kẻ tia sáng song song theo phương l cắt mặt đất tại điểm D’. Vậy ta có bóng của biển báo là hình bình hành A’B’C’D’.
Định nghĩa
Hình vẽ
2. Định nghĩa
"Phép chiếu song song" thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng.
Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại M'. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' trong (P) được gọi là "phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l".
Ảnh
Ảnh
Mặt phẳng (P) được gọi là "mặt phẳng chiếu" và đường thẳng l được gọi là "phương chiếu" của phép chiếu song song nói trên. Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là "phép chiếu theo phương l". Điểm M' gọi là "ảnh" của điểm M qua phép chiếu theo phương l. Cho hình H trong không gian. Ta gọi tập hợp H' các ảnh M' của tất cả những điểm M thuộc H qua phép chiếu song song theo phương L là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (P).
Ảnh
Ví dụ 1
Ảnh
3. Ví dụ 1
Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song song được mô tả trong phần khởi động.
Giải
Trong phần khởi động ta có phép chiếu song song lên mặt phẳng (a) của mặt đường theo phương l của tia nắng.
Thực hành 1
4. Thực hành 1
Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song song được mô tả trong Hình 2.
Ảnh
Giải
Quan sát hình vẽ trên, ta được: +) Phương chiếu là đường thẳng a; +) Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng (Q)
Vận dụng 1
5. Vận dụng 1
Tìm ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu song song được mô tả trong Hình 3.
Ảnh
Giải
Ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu có phương chiếu l là hình hộp C’D’H’G’.B’A’F’E’.
II - Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song
Hoạt động 2
II - Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song
1. Hoạt động 2
Dưới đây ta chỉ xét ảnh của các đường thẳng, tia, đoạn thẳng không song song với phương chiếu.
Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và song song với phương chiều. a) Khi điểm M thay đổi trên đường thẳng a thì ảnh M' của nó thay đổi ở đâu? b) Từ đó hãy chỉ ra ảnh của đường thẳng a qua phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Khi điểm M thay đổi trên đường thẳng a thì ảnh M’ của nó thay đổi ở trên đường thẳng a’. b) Ảnh của đường thẳng a qua phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P) là đường thẳng a’.
Tính chất 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Tính chất 1
Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.
Hoạt động 3
3. Hoạt động 3
Ảnh
Trong Hình 5, xét phép chiếu theo phương l với mặt phẳng chiếu (P). Biết a // b với a⊂(Q) và b⊂(R). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hình chiếu a', b' của a, b trong hai trường hợp: (Q) // (R); (Q) = (R).
Ảnh
Giải
Hình 5a) Trong trường hợp (Q) // (R) thì hình chiếu a’ // b’. Hình 5b):Trong trường hợp (Q) ≡ (R) thì hình chiếu a’ ≡ b’.
Tính chất 2
Hình vẽ
4. Tính chất 2
Ảnh
Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Tính chất 3
Hình vẽ
5. Tính chất 3
Ảnh
• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. • Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ 2
6. Ví dụ 2
a) Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng AC, tia AB và đường thẳng AD trong Hình 6b. b) Quan sát Hình 6a và so sánh hai tỉ số LATEX((AB)/(CD)),LATEX((AB)/(CD))
' '
' '
Giải
a) Trong Hình 6b, hình chiếu song song của đoạn thẳng AC, tia AB và đường thẳng AD lần lượt là đoạn thẳng A'C', tia A'B' và đường thẳng A'D'. b) Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song nên trong Hình 6a, ta có: LATEX((AB)/(CD)) = LATEX((AB)/(CD))
' '
' '
Thực hành 2
7. Thực hành 2
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và AB = 2CD, hình chiếu song song của ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ cũng là một hình thang và A’B’ = 2C’D’.
Giải
Ảnh
Hình chiếu song song của hình thang ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Vì AB // CD và LATEX((AB)/(CD)) = 2 nên theo tính chất phép chiếu song song thì A’B’ // C’D’ và LATEX((AB)/(CD)) = LATEX((AB)/(CD)) = 2 hay A’B’ = 2C’D’
' '
' '
III - Hình biểu diễn của một hình không gian
Hoạt động 4
III - Hình biểu diễn của một hình không gian
1. Hoạt động 4
Ảnh
Quan sát Hình 7 và cho biết các tia nắng song song đã tạo ra hình chiếu của hình hộp như thế nào trên nền nhà.
Ảnh
Giải
Dựa vào quan sát Hình 7, ta thấy hình chiếu của hình hộp chữ nhật trên nền nhà là một hình hộp chữ nhật khác đồng dạng với hình hộp chữ nhật ban đầu.
Định nghĩa
Hình vẽ
Ảnh
2. Định nghĩa
Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Chú ý
3. Chú ý
Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như: a) Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thằng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì • Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip. • Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác. • Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
Ví dụ 3
4. Ví dụ 3
Quan sát Hình 8 và tìm hình biểu diễn của: a) Đoạn thẳng AB b) Tam giác ABC c) Đường tròn (C) tâm O
Giải
Ảnh
a) Hình biểu diễn của đoạn thẳng AB là đoạn thẳng A'B' với A' và B' lần lượt là ảnh của A và B. b) Hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C. c) Hình biểu diễn của đường tròn (C) là elip (E) với tâm O' là ảnh của O.
Ví dụ 4
5. Ví dụ 4
Vẽ hình biểu diễn và nêu nhận xét về hình biểu diễn của các mặt của các hình sau: a) Hình hộp b) Lăng trụ có đáy là lục giác đều c) Tứ diện.
Ảnh
a) Hình biểu diễn của các mặt là các hình bình hành. b) Hình biểu diễn của mặt đáy là lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, đồng thời song song với đường chéo nối hai đỉnh còn lại. Hình biểu diễn của mặt bên là hình bình hành. c) Hình biểu diễn của bốn mặt là bốn tam giác.
Giải
Thực hành 3
6. Thực hành 3
Gọi tên các hình khối có hình biểu diễn là các hình trong Hình 10.
Ảnh
Giải
Hình 10a) là hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật. Hình 10b) là hình biểu diễn của hình lăng trụ đứng tam giác. Hình 10c) là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác.
IV - Bài tập
Bài 1,2,3
IV - Bài tập
1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau. 2. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều. 3. Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.
Bài 4,5
4. Cho hai điểm A, B nằm ngoài mặt phẳng (a) và đường thẳng d cắt (a). Giả sử đường thẳng AB cắt (a) tại điểm O. Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (a) theo phương của đường thẳng d. Ba điểm O, A', B' có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn d sao cho: a) A'B' = AB b) A'B' = 2AB. 5. Vẽ hình biểu diễn của: a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều c) Hình hộp
Ảnh
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
V - Dặn dò
- Làm bài tập trong phần IV - Bài tập - Làm trước bài tập cuối chương IV
Ảnh
Kết thúc
Ảnh