CHƯƠNG 4. BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 4. BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Ảnh
Bề mặt trên của mỗi bậc thang này được đặt như thế nào so với mặt đất?
I - Hai mặt phẳng song song
Hoạt động 1
Ảnh
I - Hai mặt phẳng song song
1. Hoạt động 1
Ảnh
Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với cácđỉnh là A, B, C, D, A', B', C', D' như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng: a) Có ba điểm chung không thẳng hàng. b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung. c) Không có bất kì điểm chung nào.
Ảnh
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), có thể xảy ra một trong ba trường hợp: – Trường hợp 1: (P) và (Q) có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau – Trường hợp 2: (P) và (Q) phân biệt và có một điểm chung, ta nói (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d đi qua điểm chung, kí hiệu (P) ∩ (Q)= d. – Trường hợp 3: (P) và (Q) không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là (P) ∩ (Q) = Ø, ta nói (P) và (Q) song song với nhau, kí hiệu (P) // (Q) hoặc (Q) // (P).
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Ví dụ 1
Ảnh
3. Ví dụ 1
Hộp giấy có các mặt là hình chữ nhật ở Hình 3a được vẽ lại với các đỉnh là A, B, C, D, A', B', C', D' như Hình 3b. Quan sát hộp giấy và chỉ ra các cặp mặt phẳng song song với nhau ở Hình 3b.
Giải
Các cặp mặt phẳng song song với nhau ở Hình 3b là: (ABCD) và (A'B'C'D'); (AA'B'B) và (DD'C'C); (AA'D'D) và (BB'C'C).
Vận dụng 1
4. Vận dụng 1
Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.
Ảnh
Giải
Các mặt phẳng song song có trong căn phòng ở Hình 4 là mặt phẳng các kệ sách.
II - Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Hoạt động 2
II - Điều kiện để hai mặt phẳng song song
1. Hoạt động 2
Ảnh
Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5). a) Giải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a, b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không? b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có: a // (Q) , a ⊂ (P) và (P) ∩ (Q) = {c} nên a // c. Vì a, b và c đồng phẳng và a // c, a cắt b nên c phải cắt b. Điều này trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) vì nếu lập luận như trên thay đường thẳng a bằng đường thẳng b thì b phải song song với c. b) Do đó (P) và (Q) không có điểm chung vì vậy (P) // (Q).
Định lý 1
Hình vẽ
2. Định lý 1
Ảnh
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
Chẳng hạn nếu A, B, C không thẳng hàng và AB // MN và AC // MP thì (ABC) // (MNP).
Ví dụ 2
4. Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và AD (Hình 7). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BMN) và (SCD) song song với nhau.
Ảnh
Giải
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN // SD, do đó MN // (SCD). (1) Tứ giác BCDN có BC // ND và BC = ND nên là hình bình hành, suy ra BN // CD, (2) do đó BN // (SCD). Mặt khác ta có MN và BN cùng chứa trong (BMN), MN BN = N. (3) Từ (1), (2) và (3) ta suy ra (BMN) // (SCD).
Thực hành 1
5. Thực hành 1
Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD).
Giải
Ảnh
Trong mặt phẳng (ABC) có EF // BC (tính chất đường trung bình của tam giác ABC) suy ra EF // (BDC). Trong mặt phẳng (ABD) có HE // BD ( tính chất đường trung bình của tam giác ABD) suy ra HE // (BDC). Ta có EF và HE cắt nhau tại E và cùng nằm trong mặt phẳng (EFH) nên (EFH) // (BCD).
III - Tính chất của hai mặt phẳng song song
Hoạt động 3
III - Tính chất của hai mặt phẳng song song
1. Hoạt động 3
Ảnh
a) Cho điểm ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)? b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa mp(a, b) và (Q)?
Giải
a) Để vẽ được đường thẳng a đi qua A và song song với mặt phẳng (Q) ta làm như sau: Từ điểm A vẽ đường thẳng a song song với đường thẳng a’ mà a’ nằm trong (Q) nên thỏa mãn a // (Q). Tương tự từ điểm A vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng b’ mà b’ nằm trong (Q) nên thỏa mãn b // (Q). b) Ta có a, b ⊂ mp(a, b), a ∩ b = {A}, a // (Q) và b // (Q) nên mp(a, b) // (Q).
Định lý 2
Hình vẽ
Ảnh
2. Định lý 2
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Ảnh
Hoạt động 4
3. Hoạt động 4
Ảnh
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thoả mãn (P) // (Q), (R)∩(P) = a và (R)∩(Q) = b. Xét vị trí tương đối của a và b.
Giải
Ảnh
Ta có: (P) // (Q) và a ⊂ (P) nên a // (Q). Ta lại có (R) ∩ (Q) = b nên a // b.
Định lý 3
Hình vẽ
4. Định lý 3
Ảnh
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R) cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song b với nhau.
Ảnh
Ví dụ 3
5. Ví dụ 3
Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Vẽ các C nửa đường thẳng song song với nhau, nằm về một phía đối với (P) B và lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P) cắt bốn x nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'. a) Chứng minh mp(AA', BB') song song với mp(CC', DD').
b) Chứng minh tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.
c) Gọi O và O' lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của ABCD và A'B'C'D'. Chứng minh OO' || AA'.
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có AB // CD, AA' // DD', suy ra mp(AA', BB') // mp(CC', DD').
b) Mặt phẳng (P) cắt hai mặt phẳng song song mp(AA', BB') và mp(CC', DD') theo hai giao tuyến A'B' và C'D', suy ra A'B' // C'D'. Tương tự ta cũng có A'D' // B'C'. Tứ giác A'B'C'D' có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
c) Hai mặt phẳng (AA'C'C) và (BB'D'D) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song AA', DD' và cắt nhau theo giao tuyến OO', suy ra OO' // AA'.
Vận dụng 2
6. Vận dụng 2
Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bánh. Giải thích.
Ảnh
Giải
Các giao tuyến của mặt cắt (P) với các lớp bánh tạo ra các đường thẳng song song. Bởi gì các lớp bánh là các mặt phẳng song song, mặt phẳng (P) cắt các lớp bánh này tạo ra các giao tuyến song song.
IV - Định lý Thalès trong không gian
Hoạt động 5
IV - Định lý Thalès trong không gian
1. Hoạt động 5
Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a’ tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi LATEX(B_1) là giao điểm của AC’ với (Q) (Hình 12). Trong tam giác ACC’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa LATEX((AB)/(AB_1)) và LATEX((AB_1)/(B_1C))
Giải
Mặt phẳng (ACC’) cắt (Q) và (R) lần lượt tại LATEX(BB_)1 và CC’ nên LATEX(BB_1) // CC’. Áp dụng định lí Thales trong tam giác ACC’, ta có: LATEX((AB)/(AB_1)) = LATEX((AB_1)/(B_1C))
Ảnh
Định lý 4 (Định lý Thalès)
Hình vẽ
2. Định lý 4 (Định lý Thalès)
Ảnh
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Ví dụ 4
3. Ví dụ 4
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Cho AB = 3, BC = 7, A'C' = 20. Tính các độ dài A'B', B'C'.
Giải
Áp dụng định lí Thalès trong không gian đối với ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến d, d', ta có: A'B' : B'C' = AB : BC, suy ra A'B' : 3 = B'C' : 7 = (A'B' + B'C'):(3 + 7) = A'C' : 10 = 2
Suy ra A'B' = 6; B'C' = 14.
V - Hình lăng trụ và hình hộp
Hình lăng trụ
V - Hình lăng trụ và hình hộp
1. Hình lăng trụ
a) Hoạt động 6
Ảnh
Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?
Ảnh
Giải
Hình dạng của các đồ vật trên đều có đặc điểm là: +) Có hai đáy là hai mặt song song với nhau. +) Các mặt bên là các hình chữ nhật. +) Các cạnh bên có độ dài bằng nhau.
Định nghĩa
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Ảnh
Cho hai mặt phẳng (P) và (P') song song với nhau. Trên (P) cho đa giác lồi A1A2...An Qua các đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P') lần lượt tại A'1A'2,...,A'n. Hình tạo bởi các hình bình hành A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2,..., AnA1A'1A'n và hai đa giác A1A2...An, A'1A'2...A'n gọi là "hình lăng trụ", kí hiệu A1A2...An, A'1A'2...A'n
Ảnh
Trong hình lăng trụ A1A2...An. A'1A'2...A'n ta gọi: - Hai đa giác A1A2...An và A'1A'2...A'n là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song - Các điểm A1, A2,..., An, A1, A2, ..., An là các "đỉnh" - Các hình bình hành A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2,...,AnA1A'1A'n là các "mặt bên". Các đoạn thẳng A1A'1, A2A'2, ..., AnA'n là các "cạnh bên". Các cạnh bên song song và bằng nhau. Các cạnh của hai đa giác đáy là các "cạnh đáy". Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau.
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
c) Chú ý
Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác,
Ví dụ 5
d) Ví dụ 5
Gọi tên các thành phần của hình lăng trụ trong Hình 15a.
Ảnh
Giải
Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' trong Hình 15a có: • Hai mặt đáy là các tam giác ABC, A'B'C'; • Sáu đỉnh: A, B, C, A', B', C'; • Ba mặt bên là các hình bình hành: AA'B'B, BB'C'C, CC'A'Α; • Ba cạnh bên: AA', BB', CC'.
Hình hộp
2. Hình hộp
a) Hoạt động 7
Ảnh
Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành; b) Các mặt AA’C’C và BB’D’D là hình bình hành; c) Bốn đoạn thẳng A’C, AC’, B’D, BD’ có cùng trung điểm.
Định nghĩa
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Ảnh
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
Trong một hình hộp ta có: - Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thể gọi là hai mặt đối diện - Hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt gọi là hai đỉnh đối diện - Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo - Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ảnh
Ví dụ 6
c) Ví dụ 6
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh (BDA') và (B'D'C) là các mặt phẳng song song.
Giải
Ảnh
Ta có BB' // DD' và BB' = DD' Suy ra BB'D'D là hình bình hành Do đó BD // B'D'. Tương tự ta cũng có A'B // D'C. Từ đó suy ra (BDA') // (B'D'C).
Thực hành 3
c) Thực hành 3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.
Giải
+) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) (α) ∩ (ABCD) = MN (α) ∩ (A’B’C’D’) = QR ⇒ MN // QR. +) Ta có: (AA’D’D) // (BB’C’C) (α) ∩ (AA’D’D) = MS (α) ∩ (BB’C’C) = PQ ⇒ MS // PQ.
Ảnh
Vận dụng 3
Ảnh
d) Vận dụng 3
Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.
Giải
Hình lăng trụ bất kì có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là hình lập phương.
VI - Bài tập
Bài 1,2
VI - Bài tập
1. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'. 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh rằng (OMN) // (SBC). b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).
Bài 3,4
3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M', N'. a) Chứng minh (CBE) // (ADF). b) Chứng minh (DEF) // (MNN'M'). 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, và G, lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C. Chứng minh LATEX(G_1) và LATEX(G_2) chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau.
Bài 5
5. Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F', Bình gắn hai thanh tre LATEX(A_1)LATEX(D_1), LATEX(F_1)LATEX(C_1) song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại LATEX(O_1) (Hình 19). a) Xác định giao tuyến của mp(LATEX(A_1)LATEX(D_1), LATEX(F_1)LATEX(C_1)) với các mặt bên của lăng trụ. b) Cho biết A'LATEX(A_1) = 6ALATEX(A_1) và AA' = 70 cm. Tính CLATEX(A_1) và LATEX(A_1)C'
Ảnh
Bài 6
6. Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.
Ảnh
VII - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VII - Dặn dò
- Hoàn thành bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Chuẩn bị Bài 5: Phép chiếu song song cho tiết học tiếp theo
Kết thúc
Ảnh