CHƯƠNG 2. BÀI 1. DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 2. BÀI 1. DÃY SỐ
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Ảnh
Gọi LATEX(u_1), LATEX(u_2), LATEX(u_3);...; LATEX(u_n) lần lượt là diện tích các hình vuông có độ dài cạnh là 1;2;3;...;n. Tính LATEX(u_3)và LATEX(u_4)
I - Dãy số là gì?
Hoạt động 1
I - Dãy số là gì?
1. Hoạt động 1
Cho hàm số: u: LATEX(N^**) —> R n —> u(n) = n². Tỉnh u(1); u(2); u(50); u(100)
Ảnh
Ảnh
Ta có: u(1) = 1² = 1; u(2) = 2² = 4; u(50) = 50² = 2500; u(100) = 100² = 10000.
Giải
Khái niệm 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
Trong thực tiễn, chúng ta thường có nhu cầu đánh số thứ tự một loạt các giá trị số cần phải xử lí, từ đó đưa đến khái niệm dãy số:
Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương LATEX(N^**) được gọi là một "dãy số vô hạn" (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là: u: LATEX(N^**) —> R n —> LATEX(u_n) = u(n). Dãy số trên được kí hiệu là (LATEX(u_n)). Dạng khai triển của dãy số (LATEX(u_n)) là: LATEX(u_1), LATEX(u_2), LATEX(u_3);...; LATEX(u_n);...
Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
a) LATEX(u_1)= u(1) gọi là số hạng đầu, LATEX(u_n)= u(n) gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số. b) Nếu LATEX(u_n)= C với mọi n, ta nói (LATEX(u_n)) là dãy số không đổi.
Ví dụ 1
Ảnh
4. Ví dụ 1
Hàm số trong Hoạt động 1 có là dãy số hay không? Nếu có, hãy tìm số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba và số hạng tổng quát của dãy số.
Giải
Hàm số trong Hoạt động 1 xác định trên tập hợp các số nguyên dương LATEX(N^**) nên nó là một dãy số. Ta có: LATEX(u_1) = 1; LATEX(u_2) = 4; LATEX(u_3) = 9 và LATEX(u_n) = n²
Hoạt động 2
5. Hoạt động 2
Cho hàm số: v: {1,2,3,4,5} —> R n —> v(n) = 2n. Tỉnh v(1); v(2); v(3); v(4); v(5)
Ảnh
Giải
Ta có: v(1) = 2.1 = 2; v(2) = 2.2 = 4; v(3) = 2.3 = 6; v(4) = 2.4 = 8; v(5) = 2.5 = 10.
Ảnh
Khái niệm 2
Ảnh
Hình vẽ
6. Khái niệm
- Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; ...; m} thì được gọi là một "dãy số hữu hạn". - Dạng khai triển của dãy số này là LATEX(u_1), LATEX(u_1), ..., LATEX(u_m), trong đó LATEX(u_1) là "số hạng đầu" và LATEX(u_m) là "số hạng cuối".
Ảnh
Ví dụ 2
Ảnh
7. Ví dụ 2
Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1; 3; 5; ...; 19 có phải là dãy số hữu hạn không? Nếu có, tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số.
Giải
Đây là một dãy số hữu hạn. Ta có số hạng đầu LATEX(u_1) = 1 và số hạng cuối LATEX(u_10) = 19.
Thực hành 1
8. Thực hành 1
Cho dãy số: u: LATEX(N^**) —> R n —> u(n) = LATEX(n^3). a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn. b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
a) Dãy số trên là dãy số vô hạn. b) 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là: u(1) = 13 = 1; u(2) = 23 = 8; u(3) = 33 = 27; u(4) = 43 = 64; u(5) = 53 = 125
Giải
Ảnh
II - Cách xác định dãy số
Hoạt động 3
II - Cách xác định dãy số
1. Hoạt động 3
Cho các dãy số (LATEX(a_n)), (LATEX(b_n)), (LATEX(c_n)), (LATEX(d_n)) được xác định như sau: • LATEX(a_1) = 0; LATEX(a_2) = 1; LATEX(a_3) = 2; LATEX(a_4) = 3; LATEX(a_5) = 4. • LATEX(b_n) = 2n • LATEX(c_1) = 1 LATEX(c_n) = LATEX(c_(n-1)) + 1 (n≥2). • LATEX(d_n) là chu vi của đường tròn có bán kính n. Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.
{
Ảnh
Ảnh
+) Bốn số hạng đầu của dãy (LATEX(a_n)) là: LATEX(a_1)= 0; LATEX(a_2)= 1; LATEX(a_3)= 2; LATEX(a_4)= 3. +) Bốn số hạng đầu của dãy (LATEX(b_n)) là: LATEX(b_1)= 2.1 = 2; LATEX(b_2)= 2.2 = 4; LATEX(b_3)= 2.3 = 6; LATEX(b_4)= 2.4 = 8. +) Bốn số hạng đầu của dãy (LATEX(c_n)) là: LATEX(c_1)= 1; LATEX(c_2)= LATEX(c_1)+ 1 = 1 + 1 = 2; LATEX(c_3)= LATEX(c_2)+ 1 = 2 + 1 = 3; LATEX(c_4)= LATEX(c_3)+ 1 = 3 + 1 = 4.
Giải
+) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: (LATEX(d_n)) = 2πn. Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (LATEX(d_n)) là: LATEX(d_1)= 2π.1 = 2π; LATEX(d_2)= 2π.2 = 4π; LATEX(d_3)= 2π.3 = 6π; LATEX(d_4)= 2π.4 = 8π.
Khái niệm
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn) Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát LATEX(u_n) Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là • Cho số hạng thứ nhất LATEX(u_1), (hoặc một vài số hạng đầu tiên) • Cho một công thức tính LATEX(u_n) theo LATEX(u_(n-1)) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó). Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Ví dụ 3
Ảnh
3. Ví dụ 3
Cho dãy số (LATEX(u_n)) = LATEX((n-1)/(3n+1)) a) Tìm ba số hạng đầu tiên b) Tính LATEX(u_50) và LATEX(u_99)
Giải
a) Ba số hạng đầu tiên là: LATEX(u_1)= 0, LATEX(u_2)= LATEX(1/7), LATEX(u_3)= LATEX(1/5) b) Ta có: LATEX(u_50)= LATEX((50-1)/(3.50+1))= LATEX(49/151) LATEX(u_99)= LATEX((99-1)/(3.99+1))= LATEX(49/149)
Ví dụ 4
4. Ví dụ 4
Cho dãy số (LATEX(u_n)) xác định bởi: LATEX(u_1)= 3 LATEX(u_(n+1))= 2LATEX(u_n) (n≥1) a) Chứng minh LATEX(u_2)= 2.3; LATEX(u_3)= LATEX(2^2).3; LATEX(u_4)= LATEX(2^3).3 b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (LATEX(u_n))
{
Giải
a) Ta có: n = 2 ≥ 1 nên LATEX(u_2)= 2.u1 = 2.3. n = 3 ≥ 1 nên LATEX(u_3)= 2.LATEX(u_2)= 2.(2.3) = LATEX(2^2). 3. n = 4 ≥ 1 nên LATEX(u_4)= 2.LATEX(u_3)= 2.(LATEX(2^2).3) = LATEX(2^3). 3. b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (LATEX(u_n)) là: LATEX(u_n) = LATEX(2^(2n-1)).3
Thực hành 2
5. Thực hành 2
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi u, là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (LATEX(u_n)) bằng hai cách: a) Viết công thức số hạng tổng quát LATEX(u_n) b) Viết hệ thức truy hồi.
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có LATEX(u_1)= 14, khi đó: LATEX(u_2)= 14 + 1 = 15; LATEX(u_3)= 15 + 1 = 14 + 2.1; LATEX(u_4)= 14 + 3.1 Khi đó công thức tổng quát của dãy số (LATEX(u_n)) là: LATEX(u_n) = 14 + (n – 1) .1 b) Hệ thức truy hồi của dãy số (LATEX(u_n)) là: LATEX(u_1)= 14 LATEX(u_n) = LATEX(u_(n-1)) (n≥2)
{
III - Dãy số tăng, dãy số giảm
Hoạt động 4
III - Dãy số tăng, dãy số giảm
1. Hoạt động 4
Cho hai dãy số (LATEX(a_n)) và (LATEX(b_n)) được xác định như sau: LATEX(a_n)= 3n + 1; LATEX(b_n)= -5n. a) So sánh LATEX(a_n) và LATEX(a_(n+1)), với mọi n ∈ N*. b) So sánh LATEX(b_n) và LATEX(b_(n+1)), với mọi n ∈ N*.
a) Ta có: LATEX(a_n)= 3n + 1, LATEX(a_(n+1))= 3(n + 1) + 1 = 3n + 4 Vì n ∈ N* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay LATEX(a_(n+1)) > LATEX(a_n) b) Ta có: LATEX(b_n) = – 5n, LATEX(b_(n+1)) = – 5(n + 1) = – 5n – 5 Vì n ∈ N* nên – 5n – 5 < – 5n hay LATEX(b_(n+1)) < LATEX(b_n).
Giải
Khái niệm
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
Cho dãy số (LATEX(u_n)) - Dãy số (LATEX(u_n)) được gọi là "dãy số tăng" nếu LATEX(u_(n+1))>LATEX(u_n), với mọi n∈N*. - Dãy số (LATEX(u_n)) được gọi là "dãy số giảm" nếu LATEX(u_(n+1)) với mọi n∈N*
Ví dụ 5
Ảnh
3. Ví dụ 5
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) (LATEX(a_n)) với LATEX(a_n)= LATEX(1/n) b) (LATEX(b_n)) với LATEX(b_n)= LATEX(n^2)
Giải
a) Ta có: LATEX(a_(n+1))= LATEX(1/(n+1)) < LATEX(1/n)= LATEX(a_n), với mọi n∈ N*. Vậy (LATEX(a_n)) là dãy số giảm b) Ta có: LATEX(b_(n+1))= LATEX((n+1)^2)> LATEX(n^2), với mọi n∈ N*. Vậy (LATEX(b_n)) là dãy số tăng
Ví dụ 6
4. Ví dụ 6
Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: a) (LATEX(a_n)) với LATEX(a_n)= LATEX((2n-1)/(n+1)) b) (LATEX(b_n)) với LATEX(b_n)= n - LATEX(n^2)
Giải
a) Ta có (LATEX(a_n)) với (LATEX(a_(n+1))) = LATEX((2(n+1)-1)/((n+1)+1))= LATEX((2n+1)/(n+2)) Xét: (LATEX(a_(n+1))) - (LATEX(a_n))= LATEX((2n+1)/(n+2))- LATEX((2n-1)/(n+1))= LATEX((2n^2+ 3n + 1 - 2n^2- 3n + 2)/((n+1)(n+2))) = LATEX(3/((n+1)(n+2))) >0, với mọi n∈N* Suy ra: (LATEX(a_(n+1))) > (LATEX(a_n)), với mọi n∈N*. Vậy (LATEX(a_n)) là dãy số tăng b) Ta có: (LATEX(b_(n+1))) - (LATEX(b_n)) = [n + 1 - (LATEX(n+1)^2)] - (n - LATEX(n^2)) = LATEX(-n^2)- n - n + LATEX(n^2) = -2n < 0, với mọi n∈N* Suy ra: (LATEX(b_(n+1))) < (LATEX(b_n)), với mọi n∈N*. Vậy (LATEX(b_n)) là dãy số giảm
Thực hành 3
5. Thực hành 3
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2). a) Gọi LATEX(u_1)= 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u, là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này. b) Gọi LATEX(v_1)= 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v, là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
a) (LATEX(u_n)) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (un) là dãy số giảm. b) (LATEX(V_n)) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (vn) là dãy số tăng.
Ảnh
IV - Dãy số bị chặn
Hoạt động 5
Ảnh
IV - Dãy số bị chặn
1. Hoạt động 5
Cho dãy số (LATEX(u_n)) = LATEX(1/n). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Vì n ∈ N* nên n > 0 do đó LATEX(1/n) > 0 hay LATEX(u_n) > 0 Vì n ∈ N* nên n ≥ 1 do đó LATEX(1/n) < LATEX(1/1) = 1 hay LATEX(u_n) ≤ 1 Do đó 0 < LATEX(u_n) ≤ 1
Giải
Ảnh
Khái niệm
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
• Dãy số (LATEX(u_n)) được gọi là dãy số "bị chặn trên" nếu tồn tại một số M sao cho: LATEX(u_n) ≤ M, với mọi n∈N*. • Dãy số (LATEX(u_n)) được gọi là dãy số "bị chặn dưới" nếu tồn tại một số m sao cho: m ≤ LATEX(u_n), với mọi n∈N*. • Dãy số (LATEX(u_n)) được gọi là dãy số "bị chặn" nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho: m ≤ LATEX(u_n) ≤ M, với mọi n∈N*.
Ví dụ 7
Ảnh
3. Ví dụ 7
Xét tính bị chặn của dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = LATEX(1/(2^n))
Giải
Ta có: LATEX(u_n) = LATEX(1/(2^n)) ≤ LATEX(1/2), với mọi n∈N*. Vậy (LATEX(u_n)) bị chặn trên LATEX(u_n) = LATEX(1/(2^n)) > 0, với mọi n∈N*. Vậy (LATEX(u_n)) bị chặn dưới Ta thấy (LATEX(u_n)) bị chặn trên và bị chặn dưới, suy ra dãy số (LATEX(u_n)) bị chặn
Thực hành 4
4. Thực hành 4
Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) (LATEX(a_n)) với LATEX(a_n) = cos LATEX(π/n) b) (LATEX(b_n)) với LATEX(b_n) = LATEX(n/(n + 1))
Giải
a) Vì -1 ≤ cos LATEX(π/n) ≤ 1 nên -1 ≤ LATEX(a_n) ≤ 1, với mọi n∈N* Do đó dãy số (LATEX(a_n)) bị chặn trên và chặn dưới. Vì vậy dãy số (LATEX(a_n)) bị chặn. b) Ta có: LATEX(b_n) = LATEX(n/(n + 1)) = LATEX((n+1-1)/(n+1)) = 1 - LATEX(1/(n + 1)) Vì n∈N* nên LATEX(1/(n + 1)) > 0 nên 1 - LATEX(1/(n + 1)) < 1 hay LATEX(b_n) > 0 Suy ra 0 < LATEX(b_n) < 1. Do đó (LATEX(b_n)) bị chặn trên và chặn dưới. Vì vậy dãy số (LATEX(b_n)) bị chặn.
V - Bài tập
Bài 1,2,3
V - Bài tập
1. Tìm LATEX(u_2) và LATEX(u_3) và dự đoán công thức số hạng tổng quát LATEX(u_n) của dãy số: LATEX(u_1) = 1 LATEX(u_(n+1)) = LATEX((u_n)/(1+u_n)) (n≥1) 2. Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = LATEX(1/(1.2)) + LATEX(1/(2.3)) +...+ LATEX(n/(n+1)). Tìm LATEX(u_1), LATEX(u_2), LATEX(u_3) và dự đoán công thức số hạng tổng quát LATEX(u_n) 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số LATEX(y_n) với LATEX(y_n) = LATEX(sqrt(n+1)) - LATEX(sqrtn)
Bài 4,5,6
4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) (LATEX(a_n)) với LATEX(a_n) = LATEX(sin^2(nπ)/3) + cos LATEX((nπ)/4) b) (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = LATEX((6n - 4)/(n + 2)) 5. Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = LATEX((2n - 1)/(n+1)) Chứng minh (LATEX(u_n)) là dãy số tăng và bị chặn 6. Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = LATEX((na + 2)/(n+1)). Tìm giá trị của a để: a) (LATEX(u_n)) là dãy số tăng b) (LATEX(u_n)) là dãy số giảm
Bài 7
7. Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?
Ảnh
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VI - Dặn dò
Ảnh
- Làm hết bài tập trong sách giáo khoa - Đọc trước Bài 2: Cấp số cộng
Kết thúc
Ảnh