BÀI 20: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Trang bìa
Trang bìa
TOÁN 10
BÀI 20: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Ảnh
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?
Ảnh
1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
- Hoạt động 1
1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng: latex(Delta_1): x - 2y + 3 = 0, latex(Delta_2): 3x - y - 1 = 0. a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không? b) Giải hệ c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của latex(Delta_1 và Delta_2) với nghiệm của hệ phương trình trên.
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ là tập hợp những điểm có tọa độ thỏa mãn phương tình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.
- Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng latex(Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0 và Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0) - Khi đó, tọa độ giao điểm của latex(Delta_1 và Delta_2) là nghiệm của hệ phương trình:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận: - latex(Delta_1 cắt Delta_2 tại M(x_0;y_0)) khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất latex((x_0;y_0)). - latex(Delta_1) song song với latex(Delta_2) khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm. - latex(Delta_1 trùng Delta_2) khi và chỉ khi hệ (*) có vô số nghiệm.
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
Chú ý:
Dựa vào các vecto chỉ phương latex(vec(u_1); vec(u_2)) hoặc các vecto pháp tuyến latex(vec(n_1),vec(n_2) của Delta_1, Delta_2), ta có: - latex(Delta_1 và Delta_2) song song hoặc trùng nhau <=> latex(vec(u_1) và vec(u_2)) cùng phương <=> latex(vec(n_1) và vec(n_2)) cùng phương. - latex(Delta_1 và Delta_2) cắt nhau <=> latex(vec(u_1) và vec(u_2)) không cùng phương <=> latex(vec(n_1) và vec(n_2)) không cùng phương.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1:
Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng latex(Delta:x-sqrt(2)y+4sqrt(3)=0) và mỗi đường thẳng sau: latex(Delta_1: sqrt(3)x-sqrt(6)y+12=0); latex(Delta_2:sqrt(2)x-2y=0).
Giải: - Ta có: latex(x-sqrt(2)y+4sqrt(3)=0 <=> sqrt(3)(x-sqrt(2)y+4sqrt(3))=0) latex(<=> sqrt(3)x-sqrt(6)y+12=0). => Vậy latex(Delta và Delta_1) là một, nói cách khác chúng trùng nhau. - Hai đường thẳng latex(Delta và Delta_2) có hai vecto pháp tuyến latex(vec(n)(1;-sqrt(2))) và latex(vec(n_2)(sqrt(2);-2)) cùng phương. => Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0;0) thuộc đường thẳng latex(Delta_2) nhưng không thuộc đường thẳng latex(Delta), nên hai đường thẳng này không trùng nhau. => Vật latex(Delta và Delta_2) song song với nhau.
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng latex(Delta_1,Delta_2) có hai vecto chỉ phương latex(vec(u_1), vec(u_2)) (hay hai vecto pháp tuyến latex(vec(n_1),vec(n_2))) cùng phương. Khi đó: - Nếu latex(Delta_1 và Delta_2) có điểm chung thì chúng trùng nhau. - Nếu tồn tại điểm thuộc latex(Delta_1) nhưng không thuộc latex(Delta_2) thì chúng song song nhau.
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) latex(Delta_1): x + 4y - 3 = 0 và latex(Delta_2): x - 4y - 3 = 0; b) latex(Delta_1:x+2y-sqrt(5)=0) và latex(Delta_2:2x+y4-3sqrt(5)=0).
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
- Hoạt động 2
Ảnh
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ2. Hai đưởng thẳng latex(Delta_1 và Delta_2) cắt nhau tạo thành bốn góc. Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Hình vẽ
- Hoạt động 3
HĐ3. Cho hai đường thẳng cắt nhau latex(Delta_1, Delta_2) tương ứng có các vecto pháp tuyến latex(vec(n_1), vec(n_2)). Gọi latex(phi) là góc giữa hai đường thẳng đó. Nêu mối quan hệ giữa: a) Góc latex(phi) và góc latex((vec(n_1),vec(n_2))); b) latex(cos phi) và latex(cos (vec(n_1),vec(n_2))).
Ảnh
- Kết luận (Kết luận)
Ảnh
- Cho hai đường thẳng latex(Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0 và Delta_2:a_2 x+b_2 y + c_2=0). với các vecto pháp tuyến latex(vec(n_1)(a_1;b_1) và vec(n_2)(a_2;b_2)) tương ứng. Khi đó, góc latex(phi) giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
Chú ý:
- latex(Delta_1 _|_ Delta_2 <=> vec(n_1) _|_vec(n_2) <=> a_1 a_2 + b_1 b_2=0) - Nếu latex(Delta_1, Delta_2) có các vecto chỉ phương latex(vec(u_1),vec(u_2)) thì góc latex(phi) giữa latex(Delta_1) và latex(Delta_2) cũng được xác định thông qua công thức latex(cos phi =|cos(vec(u_1),vec(u_2))|).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2:
Tính góc giữa hai đường thẳng latex(Delta_1: sqrt(3)x-y+2=0 và Delta_2: x-sqrt(3)y-2=0).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
Tính góc giữa hai đường thẳng: latex(Delta_1): x + 3y + 2 = 0 và latex(Delta_2): y = 3x + 1.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3:
Tính góc giữa hai đường thẳng latex(Delta_1): x = 3 và latex(Delta_2):
Giải: - Đường thẳng latex(Delta_1) có phương trình x - 3 = 0 nên có vecto pháp tuyến latex(vec(n_1))(1; 0). Đường thẳng latex(Delta_2) có vecto chỉ phương latex(vec(u_2))(-1; 1) nên có vecto pháp tuyến latex(vec(n_2))(1; 1). - Gọi latex(phi) là góc giữa hai đường thẳng latex(Delta_1 và Delta_2), ta có: latex(cos phi = |cos(vec(n_1),vec(n_2))| = (|vec(n_1).vec(n_2)|)/(|vec(n_1)|.|vec(n_2)|)= (|1.1+0.1|)/(sqrt(1^2+0^2).sqrt(1^2+1^2))=1/sqrt(2)). => Do đó, góc giữa latex(Delta_1 và Delta_2 là phi = 45@).
Ảnh
- Luyện tập
Hình vẽ
1. Tính góc giữa hai đường thẳng: 2. Cho đường thẳng latex(Delta): y = ax + b, với latex(a != 0). a) Chứng minh rằng latex(Delta) cắt trục hoành. b) Lập phương trình đường thẳng latex(Delta_0) đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với latex(Delta). c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa latex(alpha_Delta và alpha_(Delta_0)). d) Gọi M là giao điểm của latex(Delta_0) với nửa đường tròn đơn vị và latex(x_0) là hoành độ của M. Tinh tung độ của M theo latex(x_0) và a. Từ đó, chứng minh rằng latex(tan alpha_Delta = a).
Ảnh
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
- Hoạt động 4
Ảnh
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
HĐ4. Cho điểm latex(M(x_0;y_0)) và đường thẳng latex(Delta): ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến latex(vec(n))(a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên latex(Delta). a) Chứng minh rằng latex(|vec(n). vec(HM)| = sqrt(a^2 + b^2).HM). b) Giả sử H có tọa độ latex((x_1, y_1)). Chứng minh rằng: latex(vec(n).vec(HM)= a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)=ax_0+by_0+c). c) Chứng minh rằng HM = latex((|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))).
- Kết luận (Kết luận)
Ảnh
Cho điểm latex(M(x_0;y_0)) và đường thẳng latex(Delta): ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(Delta), kí hiệu là latex(d(M, Delta)), được tính bởi công thức: latex(d(M, Delta) = (|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4:
Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng: latex(Delta): 3x + 4y - 12 = 0.
Giải - Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(Delta), ta có: latex(d(M, Delta) = (|3.2+4.4-12|)/(sqrt(3^2+4^2)) = 10/5 = 2). => Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(Delta) là 2.
- Trải nghiệm
Trải nghiệm
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(Delta) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính tooán trong lời giải của Ví dụ 4.
Ảnh
- Vận dụng (Vận dụng)
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15cm, chiều rộng AB = 12cm. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m. a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ.
- Cảm ơn
Ảnh