CHƯƠNG 7: BÀI 6: BA ĐƯỜNG CONIC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
CHƯƠNG 7: BÀI 6: BA ĐƯỜNG CONIC
Câu hỏi khởi động
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Từ xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic(Hình 48).
Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?
Ảnh
I. Đường elip
1. Định nghĩa đường elip
I. Đường elip
1. Định nghĩa đường elip
Đường elip là một đường quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thực tế. Ví dụ:
Ảnh
Ảnh
- Hoạt động 1
- Hoạt động 1:
Ảnh
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm latex(F_1, F_2) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn latex(2F_1, F_2). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng độ dài latex(MF_1 + MF_2)?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho hai điểm latex(F_1, F_2) cố định có khoảng cách latex(F_1F_2 = 2c (c>0)). Đường elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho latex(MF_1 + MF_2 = 2a), trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm latex(F_1) và latex(F_2) được gọi là hai tiêu điểm của elip.
Ảnh
2. Phương trình chính tắc của elip
2. Phương trình chính tắc của elip
Ảnh
Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho latex(MF_1 + MF_2 = 2a) ở đó latex(F_1F_2 = 2c) (với a > c > 0). Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của latex(F_1F_2), trục Oy là đường trung trực của latex(F_1F_2) và latex(F_2) nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, latex(F_1(-c; 0)) và latex(F_2(c; 0)) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
- Hoạt động 2:
a) latex(A_1(-a; 0)) và latex(A_2(a; 0)) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox. b) latex(B_1(0; -b)) và latex(B_2(0; b)), ở đó latex(b = sqrt(a^2 - c^2)), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường elip có thể viết dưới dạng: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1), trong đó a > b > 0). Đây gọi là phương trình chính tắc của elip.
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
Đối với elip (E) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có: +) latex(c^2 = a^2 - b^2), ở đó 2c = latex(F_1F_2). +) Nếu điểm latex(M(x; y)) thuộc elip (E) thì latex(-a <= x <= a).
- Ví dụ 1
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip?
a) latex((x^2)/(3^2) + (y^2)/(3^2) = 1)
b) latex((x^2)/(4^2) + (y^2)/(3^2) = -1)
c) latex((x^2)/(3^2) + (y^2)/(4^2) = 1)
d) latex((x^2)/(4^2) + (y^2)/(3^2) = 1)
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là latex(F_2(5; 0)) và đi qua điểm M(0; 3).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập:
Câu 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0; 3) và latex(N(3; -12/5)).
II. Đường Hypebol
- Tìm hiểu
II. Đường hypebol
Đường hypebol là một đường quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thự tế, chẳng hạn:
Ảnh
1. Định nghĩa đường hypebol
Hình vẽ
1. Định nghĩa đường hypebol
- Hoạt động 3:
Ảnh
Đọc thông tin hoạt động 3 trong SGK (Tr.96), em hãy trả lời câu hỏi sau:
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu latex(MF_1 - MF_2)?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho hai điểm latex(F_1, F_2) cố định có khoảng cách latex(F_1F_2 = 2c (c >0)). Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho latex(|MF_1 - MF_2| = 2a), trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c. Hai điểm latex(F_1) và latex(F_2) được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.
2. Phương trình chính tắc của đường hypebol
Ảnh
2. Phương trình chính tắc của đường hypebol
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng latex(F_1F_2), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng latex(F_1F_2 = 2c (c > 0)), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng latex(F_1F_2) (Hình 54).
- Hoạt động 4:
Hình 54
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm latex(F_1, F_2).
+ (tiếp) (- Hoạt động 4)
b) Nêu dự đoán thích hợp cho ô trống trong bảng sau:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường hypebol có thể viết dưới dạng: latex((x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1), trong đó a > 0, b > 0). Đây gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
Đối với hypebol (H) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có: +) latex(c^2 = a^2 + b^2), ở đó 2c = latex(F_1F_2) và điều kiện a > b là không bắt buộc. +) Nếu điểm M(x; y) thuộc hypebol (H) thì latex(x <= a) hoặc latex(x >= a).
- Ví dụ 3
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?
a) latex((x^2)/(5^2) - (y^2)/(4^2) = -1);
b) latex((x^2)/(4^2) - (y^2)/(5^2) = 1);
c) latex((x^2)/(5^2) - (y^2)/(5^2) = 1);
d) latex((x^2)/(5^2) - (y^2)/(4^2) = 1);
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol (H) có một tiêu điểm là latex(F_2(6; 0)) và đi qua điểm latex(A_2(4;0)).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập:
Câu 2: Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: latex(4x^2 - 9y^2 = 1).
III. Đường Parabol
- Tìm hiểu
II. Đường hypebol
Đường parabol là một đường quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thự tế, chẳng hạn:
Ảnh
1. Định nghĩa đường parabol
1. Định nghĩa đường parabol
Hình vẽ
Ảnh
- Hoạt động 5:
Đọc thông tin hoạt động 5 trong SGK (Tr.99), em hãy trả lời câu hỏi sau:
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đương thẳng latex(Delta)?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng latex(Delta) cố định không đi qua F. Đường parabol (còn được gọi la parabol) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách đều F và latex(Delta). Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng latex(Delta) được gọi là đường chuẩn của parabol.
2. Phương trình chính tắc của parabol
Ảnh
2. Phương trình chính tắc của đường parabol
Để lập phương trình (P), trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất. Kể FH vuông góc với latex(Delta (H in Delta)). Đặt FH > - 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56). latex(=>: F(p/2; 0), H(-p/2; 0)) và phương trình đường thẳng latex(Delta) là latex(x + p/2).
- Hoạt động 6:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Khi chọn hệ trục tọa độ như trên, phương trình đường parabol có thể viết dưới dạng: latex(y^2 = 2px (p > 0)). Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol.
Ảnh
- Chú ý:
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
Đối với parabol (P) có phương trình chính tắc latex(y^2 = 2px (p > 0)), ta có: +) Tiêu điểm là latex(F(p/2; 0)) và phương trình đường chuẩn là: latex(x + p/2 = 0). +) Nếu điểm M(x; y) thuộc parabol (P) thì latex(x >= 0).
- Ví dụ 5
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 5: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?
a) latex(y^2 = -6x);
b) latex(y^2 = 6x);
c) latex(x^2 = -6x);
b) latex(x^2 = 6x);
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 6: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết: a) (P) có tiêu điểm là F(5; 0); b) (P) đi qua điểm M(2; 1).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập:
Câu 3: Viết phương trình parabol sau đây dưới dạng chính tắc: a) latex(x = (y^2)/4); b) latex(x - y^2 = 0).
IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic
- Tìm hiểu
IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic
1. Năm 1911, nhà vật lí học người Anh là Ernest Rutherford (1871 - 1937) đã đề xuất mô hình hành tinh nguyên tử, trong đó hạt nhân nhỏ bé nặm tại tâm của nguyên tử, còn các electron bay quay hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời (Hình 57).
Ảnh
Hình 57
+ (tiếp) (IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic)
2. Trong vật lí, hiên tượn hai sóng gặp nhau tạo nên các gợn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng. Các gợn sóng có hình các đường hypebol gọi là các vân giao thoa (Hình 58).
Hình 58
Ảnh
+ (tiếp) (IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic)
Ảnh
3. Với gương parabol, tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến một điểm của parapol sẽ bị hắt lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol (Hình 59).
Hình 59
+ (tiếp) (IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic)
Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó (Hình 60). Chảo vệ tinh: Điểm thu và phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol (Hình 61).
Hình 60
Ảnh
Ảnh
Hình 61
Bài tập
Câu 1
Bài tập:
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
a) latex((x^2)/(64) + (y^2)/(64)= 1).
b) latex((x^2)/(64) - (y^2)/(64)= 1).
c) latex((x^2)/(64) + (y^2)/(25)= 1).
d) latex((x^2)/(25) + (y^2)/(64)= 1).
Câu 2 (Bài tập)
Ảnh
Tìm tọa độ giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).
Câu 2: Cho elip (E) có phương trình chính tắc: latex((x^2)/(49) + (y^2)/(25) = 1).
Kết luận
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Ôn lại bài vừa học. Làm bài tập về nhà trong SGK bài 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (Tr.102) và SBT.
Cảm ơn
Ảnh