CHƯƠNG 4: BÀI 5: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
CHƯƠNG 4: BÀI 5: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
Câu hỏi khởi động
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Ảnh
Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc latex(vecv_1, vecv_2) là như thế nào?
Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi latex(vecv_1, vecv_2) lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.
I. Định nghĩa
- Hoạt động 1
I. Định nghĩa
Hình vẽ
Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Quan sát Hình 59 và chứng tỏ rằng:
- Hoạt động 1
latex(vec(AC) = vec(AB) + vec(AB)).
Ảnh
- Hoạt động 2
Hình vẽ
Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. (Hình 59)
- Hoạt động 2:
Quan sát vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(AC)), nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ latex(2vec(AB)) với latex(vec(AB)).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho số thực latex(k != 0) và vectơ latex(veca != vec0). Tích của số k với vectơ latex(veca) là một vectơ, kí hiệu là latex(kveca), được xác định như sau: +) Cùng hướng với vectơ latex(veca) nếu k > 0, ngược hướng với vectơ latex(veca) nếu k < 0; +) Có độ dài bằng latex(|k|.|veca|).
- Quy ước
- Quy ước:
Ảnh
latex(0veca = vec0, kvec0 = vec0). Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân số với vectơ.
Ảnh
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:
a) CA = klatex(vec(CB)); b) latex(vec(CA) = kvec(AB)).
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Vật thứ nhất chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi latex(vecv_1, vecv_2) lần lượt là các vectơ vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai.
Có hay không số thực k thỏa mãn latex(vecv_1 = kvecv_2)?
Ảnh
- Luyện tập
- Luyện tập:
Ảnh
Câu 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G.
Tìm các số a, b biết: latex(vec(AG) = avec(AM); vec(GN) = bvec(GB)).
II. Tính chất
- Tìm hiểu
II. Tính chất
Hình vẽ
- Tìm hiểu
Với hai vectơ bất kì latex(veca, vecb) và hai số thực h, k, ta có:
+) latex(k(veca + vecb) = kveca + kvecb; k(veca - vecb) = kveca - kvecb); +) latex((h + k)veca = hveca + kveca); +) latex(h(kveca) = (hk)veca); +) latex(1veca = veca; (-1)veca = - veca).
Nhận xét: latex(kveca = vec0) khi và chỉ khi k = 0 hoặc latex(veca = vec0).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:
a) latex(2vec(AB) + 2vec(BC) = 2vec(AC)); b) latex(3(5vec(AC)) + vec(CB) - 14vec(AC) = vec(AB)).
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Hình vẽ
Câu 2: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:
latex(3(vec(AB) + 2vec(BC)) - 2(vec(AB) + 3vec(BC)) = vec(AB))
III. Một số ứng dụng
1. Trung điểm của đoạn thẳng
III. Một số ứng dụng
Hình vẽ
Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
1. Trung điểm của đoạn thẳng
latex(vec(MA) + vec(MB) = 2vec(MI)).
- Hoạt động 3:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì latex(vec(MA) + vec(MB) = 2vec(MI)) với điểm M bất kì.
Ảnh
2. Trọng tâm của tam giác
Hình vẽ
Cho G là trọng tam của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
2. Trọng tậm của tam giác
latex(vec(MA) + vec(MB) + vec(MC) = 3vec(MG)).
- Hoạt động 4:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì latex(vec(MA) + vec(MB) + vec(MC) = 3vec(MG)) với điểm M bất kì.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Chứng minh: latex(vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) + vec(GD) = vec0)
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Hình vẽ
Câu 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh:
latex(vec(AB) + vec(AC) = 2vec(AG)).
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điêm thẳng hàng
Hình vẽ
Cho hai vectơ latex(veca) và b khác 0 sao cho latex(veca = kb) với k là số thực khác 0.
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điêm thẳng hàng
Nêu nhận xét về phương của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb).
- Hoạt động 5:
- Kết luận 1
Ảnh
- Kết luận 1:
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ latex(veca) và latex(vecb (b!=0)) cùng phương là một số thực k để latex(veca = kvecb).
Ảnh
- Hoạt động 6
Hình vẽ
Cho ba điểm phân biệt A, B, C.
- Hoạt động 3:
a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ latex(vec(AB), vec(AC)) có cùng phương hay không? b) Ngược lại, nếu hai vectơ latex(vec(AB), vec(AC)) cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
Ảnh
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để latex(vec(AB) = kvec(AC)).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = latex(2/3AB). Kẻ MH // OB, MK // OA (Hình 60). Giả sử latex(vec(OA) = veca, vec(OB) = vecb).
Ảnh
a) Biểu thị latex(vec(OH)) theo latex(veca) và latex(vec(OK)) theo latex(vecb). b) Biểu thị latex(vec(OM)) theo latex(veca) và latex(vecb).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Trong mặt phẳng, cho hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) không cùng phương. Với mỗi vectơ latex(vecc) có duy nhất cặp số (x; y) thỏa mãn latex(vecc = xveca + yvecb).
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Hình vẽ
Câu 4: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) latex(vec(AC) = k(vec(AD))), b) latex(vec(BD) = k(vec(DC))).
Ảnh
Bài tập
Câu 1
Bài tập:
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình thang MNPQ, MN // 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. latex(vec(MN) = 2vec(PQ));
B. latex(vec(MQ) = 2vec(NP));
C. latex(vec(MN) = -2vec(PQ));
D. latex(vec(MQ) = -2vec(NP)).
Câu 2 (Bài tập)
Ảnh
Câu 2: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
a) Xác định điểm C thỏa mãn latex(vec(AC) = 1/2 vec(AB)). b) Xác định điểm D thỏa mãn latex(vec(AD) = -1/2vec(AB)).
Kết luận
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Ôn lại bài vừa học. Làm bài tập về nhà trong SGK bài 3, 4, 5, 6, 7 (Tr.92) và SBT. Chuẩn bị bài sau: " Chương 4: Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ".
Cảm ơn
Ảnh