CHƯƠNG II. BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG II. BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Khởi động
Khởi động
Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.
- Khởi động:
Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?
Ảnh
1. Khái niệm vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ trong không gian
Ảnh
1. Khái niệm vectơ trong không gian
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động 1:
Trong mặt phẳng, hãy nêu khái niệm về: a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng; b) Vectơ-không; c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là AB, đọc là "vectơ AB". Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là latex(veca, vecb, vecu, vecv,..)
+ tiếp
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau,... được phát biểu tương tự như mặt phẳng.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó: a) Bằng vectơ latex(vec(AD)); b) Là vectơ đối của vectơ latex(vec(AD))
Ảnh
- Giải:
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
Chú ý:
Cho điểm O và vectơ latex(veca). Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho latex(vec(OM) = veca). Để xác định điểm M, ta làm như sau: * Qua O kẻ đường thẳng d song song hoặc trùng với giá của vectơ latex(veca). * Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ latex(vec(OM), veca) là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ latex(veca).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó: a) Bằng vectơ latex(vec(A A)); b) Là vectơ đối của vectơ latex(vec(A A))'.
2. Các phép toán vectơ trong không gian
Các phép toán vectơ trong không gian
Ảnh
2. Các phép toán vectơ trong không gian
a. Tổng và hiểu của hai vectơ trong không gian
a. Tổng và hiểu của hai vectơ trong không gian
HĐ2: Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy một điểm A tuỳ ý. a) Vẽ latex(vec(AB) = veca, vec(BC) = vecb). b) Tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) bằng vectơ nào trong Hình 4?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ latex(vec(AB) = veca, vec(BC) = vecb). Vectơ latex(vec(AC)) được gọi là tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(vec(AC) = veca + vecb).
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.
Ảnh
- Quy tắc
Ảnh
- Quy tắc:
Hình vẽ
* Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: latex(vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)) (Quy tắc ba điểm); * Nếu ABCD là hình bình hành thì: latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)) (Quy tắc ba điểm);
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng latex(vec(AB) + vec(CD) = vec(AD) + vec(CB)).
- Giải:
Hình vẽ
Theo quy tắc ba điểm, ta có: latex(vec(AB) = vec(AD) + vec(DB)). Do đó: latex(vec(AB) + vec(CD) = vec(AD) + vec(DB) + vec(CD)) latex(= vec(AD) + (vec(CD) + vec(DB))) latex(= vec(AD) + vec(CB)).
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: latex(vec(AC) + vec(DB) = vec(AB) + vec(DC)).
- HĐ3
Ảnh
HĐ3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6). Tìm liên giữa: latex(vec(AB) + vec(AD)) và latex(vec(AC)); latex(vec(AC) + vec(A A))' và latex(vec(AC))'; Từ đó, hãy suy ra rằng: latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì: latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A)); (Quy tắc hình hộp).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H6). Chứng minh rằng:
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Ảnh
- HĐ4
Ảnh
HĐ4: Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy một điểm M tuỳ ý. a) Vẽ latex(vec(MA) = veca, vec(MB) = vecb, vec(MC) = -vecb). b) Tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(-vecb) bằng vectơ nào trong Hình 7?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Hiệu của vectơ latex(veca) và vectơ latex(vecb) là tổng của vectơ latex(veca) và vectơ đối của vectơ latex(vecb), kí hiệu là latex(veca - vecb). Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
- Ví dụ 4
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Ảnh
- Quy tắc
Ảnh
- Quy tắc:
Hình vẽ
Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: latex(vec(OA) - vec(OB) = vec(BA)) (Quy tắc hiệu).
b. Tích của một số với một vectơ trong không gian
b. Tích của một số với một vectơ trong không gian
Ảnh
HĐ5: Nêu định nghĩa tích của một số thực latex(k !=0) v vectơ latex(veca != vec0) trong mặt phẳng.
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Cho số thực latex(k != 0) và vectơ latex(veca != vec0). Tích của số k với vectơ latex(veca) là một vectơ, kí hiệu là latex(kveca), được xác định như sau: * Cùng hướng với vectơ latex(veca) nếu k > 0, ngược hướng với vectơ latex(veca) nếu k < 0; * Có độ dài bằng latex(|k| . |veca|). * Quy ước: latex(0veca = vec0, kvec0 = vec0). Do đó, latex(kveca = vec0 <=> k = 0) hoặc a = 0.
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
* Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ. * Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các t/c: Với hai vectơ bất kì, latex(veca, vecb) và hai số thực h, k ta có: + latex(k(veca + vecb) = kveca + kvecb; k(veca - vecb) = kveca - kvecb); + latex(h + kveca = hveca + kveca); + latex(h(kveca) = veca; (-1)veca = -veca). * Hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0) là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực latex(k != 0) sao cho latex(veca = kvecb).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC (H9). CMR: a) latex(vec(BC) = 2vec(HK)); b) latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG)).
- Giải:
Ảnh
a) Do HK là đường trung bình của tam giác ABC nên BC // HK và BC = 2HK. Suy ra latex(vec(BC)) cùng hướng với latex(vec(HK)) và latex(|vec(BC)| = 2|vec(HK)|). Vậy latex(vec(BC) = 2vec(HK)). b. Ta có: latex(vec(AB) + vec(AG) + vec(GB), vec(AC) = vec(AG) + vec(GC), vec(AD) = vec(AG) + vec(GD)). => latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG) + vec(GB) + vec(GC) + vec(GD)). Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên latex(vec(GB) + vec(GC) + vec(GD) = vec0) Do đó, ta có: latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG)).
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: a) latex(vec(MN) = 1/2 (vec(AB) + vec(DC))); b) latex(vec(IA) + vec(IB) + vec(IC) + vec(ID) = vec0).
c. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
c. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Ảnh
HĐ6: Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0). Lấy một điểm O tuỳ ý. a) Vẽ hai vectơ latex(vec(OA) = veca, vec(OB) = vecb). b) Khi đó, hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)) có giá trị nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)) trong mặt phẳng (P).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0). Lấy một điểm O tuỳ ý và vẽ hai vectơ latex(vec(OA) = veca, vec(OB) = vecb). Góc giữa hai vectơ latex(veca, vecb) trong không gian là góc giữa hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)) kí hiệu latex((veca, vecb)).
Chú ý: latex(0@ <= (veca, vecb) <= 180@).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai vectơ latex(vec(BD), vec(CB))';
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ latex(vec(MN), vec(BD)).
- HĐ7
Ảnh
HĐ7: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).
Ảnh
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0). Tính vô hướng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca . vecb), là một số thực được xác định bởi công thức: latex(veca . vecb = |veca|. |vecb| . cos(veca, vecb)), ở đó latex((veca, vecb)) là góc giữa hai vectơ latex(veca, vecb).
Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ latex(vec0) bằng 0.
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
* Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các t/c sau: Với các vectơ bất kì latex(veca, vecb, vecc) và số thực k tuỳ ý, ta có: + latex(veca . vecb = vecb . veca) (t/c giao hoán); + latex(veca . (vecb + vecc) = veca . vecb + veca . vecc) (t/c phân phối); + latex((kveca).vecb = k(veca . vecb) = veca.(kvecb)); + latex(veca^2 >= 0), trong đó latex(veca^2 = veca. veca). Ngoài ra, latex(veca^2 = 0 <=> veca = vec0). * Nếu latex(veca, vecb) là hai vectơ khác latex(vec0) thì latex(cos(veca, vecb) = (veca . vecb)/(|veca|.|vecb|)).
Ảnh
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) latex(AC + BD = AD + BC); b) latex(vec(AB) - vec(CD) = vec(AC) + vec(DB)).
Bài 2 (Bài 2)
Ảnh
Ảnh
Bài 3
Ảnh
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 2. Toạ độ của vectơ".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh