Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Chương 2. Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 17h:27' 26-03-2025
Dung lượng: 1.2 MB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 17h:27' 26-03-2025
Dung lượng: 1.2 MB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG 2. BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 2. BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất.
Ảnh
1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian
Ảnh
1. Vectơ trong không gian
- HĐ1
Ảnh
HĐ1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
* Kí hiệu latex(vec(AB)) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. * Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là latex(vecu, vecv, vecx, vecy,....)
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ta có ba vectơ latex(vec(BA), vec(BC), vec(BD)) có đi đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Ảnh
- Thực hành 1
Ảnh
Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.
- Thực hành 1:
- Kết luận 2
- Kết luận 2:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, các k/n có liên quan đến vectơ như giá của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ - không được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
- Chú ý 2
- Chú ý 2:
Ảnh
Hình vẽ
Trong không gian, cho điểm O và vectơ latex(veca), tồn tại duy nhất điểm M để latex(vec(OM) = veca).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 3).
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) Giá của ba vectơ latex(vec(AB), vec(AD), vec(A A))' lần lượt là ba đường thẳng AB, AD, AA'. Chúng không cùng nằm trong một mặt phg vì bốn điểm A, B, D, A' không đồng phẳng.
a) Giá của ba vectơ latex(vec(AB), vec(AD), vec(A A))' có cùng nằm trong một mặt phẳng không? b) Tìm các vectơ bằng vectơ latex(vec(AB)). c) Tìm các vectơ đối của vectơ latex(vec(AD)).
- Thực hành 2
Ảnh
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy. b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ latex(vec(SA)).
- Thực hành 2:
- Vận dụng 1
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 1:
Trong Hình 4, cho biết ba vectơ latex(vec(F_1), vec(F_2), vec(F_3)) biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?
2. Tổng và hiệu của hai vectơ
Tổng và hiệu của hai vectơ
Ảnh
2. Tổng và hiệu của hai vectơ
a. Tổng của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
a. Tổng của hai vectơ
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy điểm O bất kì và hai điểm A, B sao cho latex(vec(OA) = veca, vec(AB) = vecb)). Ta gọi latex(vec(OB)) là tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca + vecb). Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các t/c như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. * Tính chất giao hoán: latex(veca + vecb = vecb + veca); * Tính chất kết hợp: latex((veca + vecb) + vecc = veca + (vecb + vecc)); * Với mọi vectơ latex(veca), ta luôn có: latex(veca + vec0 = vec0 + veca = veca). Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ latex(veca, vecb, vecc) là: latex(veca + vecb + vecc = (veca + vecb) + vecc).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian. * Với ba điểm A, B, C ta có: latex(vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)). * Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ảnh
b. Quy tắc hình hộp
Ảnh
b. Quy tắc hình hộp
HĐ3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. a) Tìm các vectơ tổng latex(vec(AB) + vec(AD), vec(AC) + vec(A A))'. b) Dùng KQ của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ: a) latex(vec(CB) + vec(CD) + vec(CG)); b) latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH)).
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có latex(vec(CB) + vec(CD) + vec(CG) = vec(CE)). b) Ta có latex(vec(CG) = vec(AE), vec(EH) = vec(AD)). Suy ra: latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH) = vec(AB) + vec(AE) + vec(AD)). Theo quy tắc hình hộp, ta có: latex(vec(AB) + vec(AE) + vec(AD) = vec(AG)). Vậy latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH) = vec(AG)).
- Thực hành 3
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ: a) latex(vec(DA) + vec(DC) + vec(DH)); b) latex(vec(HE) + vec(GC) + vec(AB)).
- Thực hành 3:
c. Hiệu của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
c. Hiệu của hai vectơ
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Ta gọi latex(veca + (-vecb)) là hiệu của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca - vecb). Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
- Quy tắc hiệu
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: latex(vec(AB)- vec(AC) = vec(CB)).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu latex(vec(SD) - vec(SA), vec(BS) - vec(AD)).
Ảnh
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Theo quy tắc hiệu, ta có: latex(vec(SD) - vec(SA) = vec(AD)). Do ABCD là hình bình hành nên ta có: latex(vec(BC) = vec(AD) => vec(BS) - vec(AD) = vec(BS) -vec(BC)). Theo quy tắc hiệu, ta có: latex(vec(BS) - vec(BC) = vec(CS)). Vậy latex(vec(BS) - vec(AD) = vec(CS)).
- Thực hành 4
Ảnh
Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ: a) latex(vec(BM) + vec(AC) + vec(ND)); b) latex(vec(AD) - vec(AM) + vec(NC)).
- Thực hành 4:
- Thực hành 5
Ảnh
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ:
- Thực hành 5:
a) latex(veca = vec(BA) + vec(BC) + vec(BB)); b) latex(vecb = vec(BC) - vec(BA) + vec(AC))'.
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Ba lực latex(vec(F_1), vec(F_2), vec(F_3)) cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ
Tích của một số với một vectơ
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ
- HĐ5
Ảnh
HĐ5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C' cắt nhau tại O(H8).
Ảnh
a) Tìm vectơ latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ latex(vec(AO)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho số thực latex(k!=0) và vectơ latex(veca != vec0). Tích của số k với vectơ latex(veca) là một vectơ, kí hiệu latex(kveca), cùng hướng với latex(veca) nếu k > 0, ngược hướng với latex(veca) nếu k < 0 và có độ dài bằng latex(|k|. |veca|). Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Quy ước: latex(0 . veca = vec0) và latex(k.vec0 = vec0).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
a) Với hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) bất kì, với mọi số h và k, ta có: * latex(k(veca + vecb) = kveca + kvecb); * latex((h + k)veca = hveca + kveca); * latex(h(kveca) = (hk)veca); * latex(1.veca = veca); * latex((-1).veca = -veca). b) latex(kveca = vec0 <=> veca = vec0) hoặc k = 0. c) Hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) (b khác latex(vec0)) cùng phương khi và chỉ khi số k sao cho latex(veca = kvecb). d) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để latex(vec(AB) = k vec(AC)).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, G là trọng tâm của tam giác BCD. CMR: a) latex(vec(MN) = 1/2(vec(AB) + vec(DC))); b) latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG)).
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
Hình vẽ
a) Ta có: latex(vec(MN) = vec(MA) + vec(AB) + vec(BN)), latex(vec(MN) = vec(MD) + vec(DC) + vec(CN)). Do đó latex(2vec(MN) = vec(MA) + vec(MD) + vec(AB) + vec(DC) + vec(BN) + vec(CN)). Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AD nên latex(vec(MA) + vec(MD) = vec0). Vì N là trung điểm của đoạn thẳng BC nên latex(vec(BN) + vec(CN) = vec0). Do đó, latex(vec(MN) = 1/2(vec(AB) + vec(DC)))
- Thực hành 6
Ảnh
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Đặt latex(vec(CA) = veca, vec(CB) = vecb), latex(vec(C C))' = latex(vecc). CMR: latex(vec(AM) = vecb - veca + 1/2 vecc).
- Thực hành 6
- Vận dụng 3
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 3:
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có latex(angle(ASC) = 60@) (Hình 22). a) Sử dụng công thức latex(vecP = mvecg) trong đó latex(vecg) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn latex(10 m/s^2), tìm độ lớn của trọng lực latex(vecP) tác động lên chiếc đèn chùm. b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
4. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ
Ảnh
4. Tích vô hướng của hai vectơ
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Ảnh
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
HĐ6a) Nhắc lại Đ/n góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) trong mặt phẳng. b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) trong không gian.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho latex(vecu) và latex(vecv) là hai vectơ khác latex(vec0). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho latex(vec(AB) = vecu), latex(vec(AC) = vecv). Khi đó, ta gọi latex(angle(BAC)) là góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv), kí hiệu latex((vecu, vecv)).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
* latex(0@ <= (vecu, vecv) <= 180@). * Nếu latex((vecu, vecv) = 90@) thì ta nói latex(vecu) và latex(vecv) vuông góc với nhau, k hiệu latex(vecu _|_ vecv).
- Ví dụ 7
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Thực hành 7
- Thực hành 7:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ
HĐ7: Trong không gian, cho latex(vecu) và latex(vecv) thoả mãn latex(|vecu| = 2, |vecv| = 3). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho latex(vec(AB) = vecu, vec(AC) = vecv) (Hình 25). Giả sử latex(angle(BAC) = 60@). a) Tính góc latex((vecu, vecv)). b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng latex(vec(AB). vec(AC)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0). Tích vô hướng của hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) là một số, kí hiệu latex(vecu, vecv) được xác định bởi công thức: latex(vecu . vecv = |vecu| . |vecv|. cos(vecu, vecv)).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
a) Trong trường hơp latex(vecu = vec0) hoặc latex(vecv = vec0), ta quy ước latex(vecu . vecv = 0). b) latex(vecu. vecu = vecu^2 = |vecu|^2; vecu^2 >= 0, vecu^2 = 0 <=> vecu = vec0). c) Với hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0), ta có latex(cos(vecu, vecv) = (vecu . vecv)/(|vecu|. |vecv|)). d) Với hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0), ta có latex(vecu _|_ vecv <=> vecu . vecv = 0). * Với ba vectơ latex(veca, vecb, vecc) và số k ta có tính chất sau: + latex(veca. vecb = vecb . veca); + latex(veca.(vecb + vecc) = veca.vecb +veca . vecc). + latex((kveca).vecb = k(veca.vecb) = veca . (kvecb)).
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD. a) Tính các tích vô hướng latex(vec(AB). vec(AC), vec(AB) . vec(AM)). b) Tính góc latex((vec(AB), vec(CD))).
Ảnh
- Mẫu:
a) Ta có: latex(vec(AB) . vec(AC) = |vec(AB)| . |vec(AC)| . cos(vec(AB), vec(AC))). latex( = AB. AC . cos angle(BAC) = a . a. cos60@ = (a^2)/2). Tương tự ta cũng có latex(vec(AB) . vec(AD) = (a^2)/2). Ta lại có latex(vec(AM) = 1/2(vec(AC) + vec(AD))) latex(=> vec(AB) . vec(AM) = vec(AB) . 1/2(vec(AC) + vec(AD)) = 1/2(vec(AB) . vec(AC) + vec(AB) . vec(AD))) latex(= 1/2((a^2)/2 + (a^2)/2) = (a^2)/2).
- Thực hành 8
- Thực hành 8:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Vận dụng 4
Ảnh
- Vận dụng 4:
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°. a) Tính độ lớn của trọng lực latex(vecP = mvecg) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do latex(vecg) có độ lớn là latex(g = 9,8 m//(s^2)). b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực latex(vecF) có độ dịch chuyển latex(vecd) được tính bởi công thức latex(A = vecF . vecd) . Hãy tính công sinh bởi trọng lực latex(vecP) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. CMR: latex(vec(SA) + vec(SC) = vec(SB) + vec(SD)).
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.
- Bài 3
Bài 3: Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn latex(vecP) của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức latex(vecP = mvecg), trong đó latex(vecg) là gia tốc rơi tự do có độ lớn latex(g = 9,8m//s^2). Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).
Ảnh
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 2. Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian".
- Cảm ơn
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 2. BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất.
Ảnh
1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian
Ảnh
1. Vectơ trong không gian
- HĐ1
Ảnh
HĐ1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
* Kí hiệu latex(vec(AB)) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. * Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là latex(vecu, vecv, vecx, vecy,....)
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ta có ba vectơ latex(vec(BA), vec(BC), vec(BD)) có đi đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Ảnh
- Thực hành 1
Ảnh
Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.
- Thực hành 1:
- Kết luận 2
- Kết luận 2:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, các k/n có liên quan đến vectơ như giá của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ - không được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
- Chú ý 2
- Chú ý 2:
Ảnh
Hình vẽ
Trong không gian, cho điểm O và vectơ latex(veca), tồn tại duy nhất điểm M để latex(vec(OM) = veca).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 3).
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) Giá của ba vectơ latex(vec(AB), vec(AD), vec(A A))' lần lượt là ba đường thẳng AB, AD, AA'. Chúng không cùng nằm trong một mặt phg vì bốn điểm A, B, D, A' không đồng phẳng.
a) Giá của ba vectơ latex(vec(AB), vec(AD), vec(A A))' có cùng nằm trong một mặt phẳng không? b) Tìm các vectơ bằng vectơ latex(vec(AB)). c) Tìm các vectơ đối của vectơ latex(vec(AD)).
- Thực hành 2
Ảnh
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy. b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ latex(vec(SA)).
- Thực hành 2:
- Vận dụng 1
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 1:
Trong Hình 4, cho biết ba vectơ latex(vec(F_1), vec(F_2), vec(F_3)) biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?
2. Tổng và hiệu của hai vectơ
Tổng và hiệu của hai vectơ
Ảnh
2. Tổng và hiệu của hai vectơ
a. Tổng của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
a. Tổng của hai vectơ
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy điểm O bất kì và hai điểm A, B sao cho latex(vec(OA) = veca, vec(AB) = vecb)). Ta gọi latex(vec(OB)) là tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca + vecb). Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các t/c như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. * Tính chất giao hoán: latex(veca + vecb = vecb + veca); * Tính chất kết hợp: latex((veca + vecb) + vecc = veca + (vecb + vecc)); * Với mọi vectơ latex(veca), ta luôn có: latex(veca + vec0 = vec0 + veca = veca). Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ latex(veca, vecb, vecc) là: latex(veca + vecb + vecc = (veca + vecb) + vecc).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian. * Với ba điểm A, B, C ta có: latex(vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)). * Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ảnh
b. Quy tắc hình hộp
Ảnh
b. Quy tắc hình hộp
HĐ3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. a) Tìm các vectơ tổng latex(vec(AB) + vec(AD), vec(AC) + vec(A A))'. b) Dùng KQ của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ: a) latex(vec(CB) + vec(CD) + vec(CG)); b) latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH)).
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có latex(vec(CB) + vec(CD) + vec(CG) = vec(CE)). b) Ta có latex(vec(CG) = vec(AE), vec(EH) = vec(AD)). Suy ra: latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH) = vec(AB) + vec(AE) + vec(AD)). Theo quy tắc hình hộp, ta có: latex(vec(AB) + vec(AE) + vec(AD) = vec(AG)). Vậy latex(vec(AB) + vec(CG) + vec(EH) = vec(AG)).
- Thực hành 3
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ: a) latex(vec(DA) + vec(DC) + vec(DH)); b) latex(vec(HE) + vec(GC) + vec(AB)).
- Thực hành 3:
c. Hiệu của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
c. Hiệu của hai vectơ
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb). Ta gọi latex(veca + (-vecb)) là hiệu của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca - vecb). Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
- Quy tắc hiệu
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: latex(vec(AB)- vec(AC) = vec(CB)).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu latex(vec(SD) - vec(SA), vec(BS) - vec(AD)).
Ảnh
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Theo quy tắc hiệu, ta có: latex(vec(SD) - vec(SA) = vec(AD)). Do ABCD là hình bình hành nên ta có: latex(vec(BC) = vec(AD) => vec(BS) - vec(AD) = vec(BS) -vec(BC)). Theo quy tắc hiệu, ta có: latex(vec(BS) - vec(BC) = vec(CS)). Vậy latex(vec(BS) - vec(AD) = vec(CS)).
- Thực hành 4
Ảnh
Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ: a) latex(vec(BM) + vec(AC) + vec(ND)); b) latex(vec(AD) - vec(AM) + vec(NC)).
- Thực hành 4:
- Thực hành 5
Ảnh
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ:
- Thực hành 5:
a) latex(veca = vec(BA) + vec(BC) + vec(BB)); b) latex(vecb = vec(BC) - vec(BA) + vec(AC))'.
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Ba lực latex(vec(F_1), vec(F_2), vec(F_3)) cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ
Tích của một số với một vectơ
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ
- HĐ5
Ảnh
HĐ5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C' cắt nhau tại O(H8).
Ảnh
a) Tìm vectơ latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ latex(vec(AO)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho số thực latex(k!=0) và vectơ latex(veca != vec0). Tích của số k với vectơ latex(veca) là một vectơ, kí hiệu latex(kveca), cùng hướng với latex(veca) nếu k > 0, ngược hướng với latex(veca) nếu k < 0 và có độ dài bằng latex(|k|. |veca|). Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Quy ước: latex(0 . veca = vec0) và latex(k.vec0 = vec0).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
a) Với hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) bất kì, với mọi số h và k, ta có: * latex(k(veca + vecb) = kveca + kvecb); * latex((h + k)veca = hveca + kveca); * latex(h(kveca) = (hk)veca); * latex(1.veca = veca); * latex((-1).veca = -veca). b) latex(kveca = vec0 <=> veca = vec0) hoặc k = 0. c) Hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) (b khác latex(vec0)) cùng phương khi và chỉ khi số k sao cho latex(veca = kvecb). d) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để latex(vec(AB) = k vec(AC)).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, G là trọng tâm của tam giác BCD. CMR: a) latex(vec(MN) = 1/2(vec(AB) + vec(DC))); b) latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG)).
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
Hình vẽ
a) Ta có: latex(vec(MN) = vec(MA) + vec(AB) + vec(BN)), latex(vec(MN) = vec(MD) + vec(DC) + vec(CN)). Do đó latex(2vec(MN) = vec(MA) + vec(MD) + vec(AB) + vec(DC) + vec(BN) + vec(CN)). Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AD nên latex(vec(MA) + vec(MD) = vec0). Vì N là trung điểm của đoạn thẳng BC nên latex(vec(BN) + vec(CN) = vec0). Do đó, latex(vec(MN) = 1/2(vec(AB) + vec(DC)))
- Thực hành 6
Ảnh
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Đặt latex(vec(CA) = veca, vec(CB) = vecb), latex(vec(C C))' = latex(vecc). CMR: latex(vec(AM) = vecb - veca + 1/2 vecc).
- Thực hành 6
- Vận dụng 3
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 3:
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có latex(angle(ASC) = 60@) (Hình 22). a) Sử dụng công thức latex(vecP = mvecg) trong đó latex(vecg) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn latex(10 m/s^2), tìm độ lớn của trọng lực latex(vecP) tác động lên chiếc đèn chùm. b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
4. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ
Ảnh
4. Tích vô hướng của hai vectơ
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Ảnh
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
HĐ6a) Nhắc lại Đ/n góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) trong mặt phẳng. b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) trong không gian.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho latex(vecu) và latex(vecv) là hai vectơ khác latex(vec0). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho latex(vec(AB) = vecu), latex(vec(AC) = vecv). Khi đó, ta gọi latex(angle(BAC)) là góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv), kí hiệu latex((vecu, vecv)).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
* latex(0@ <= (vecu, vecv) <= 180@). * Nếu latex((vecu, vecv) = 90@) thì ta nói latex(vecu) và latex(vecv) vuông góc với nhau, k hiệu latex(vecu _|_ vecv).
- Ví dụ 7
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Thực hành 7
- Thực hành 7:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ
Ảnh
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ
HĐ7: Trong không gian, cho latex(vecu) và latex(vecv) thoả mãn latex(|vecu| = 2, |vecv| = 3). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho latex(vec(AB) = vecu, vec(AC) = vecv) (Hình 25). Giả sử latex(angle(BAC) = 60@). a) Tính góc latex((vecu, vecv)). b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng latex(vec(AB). vec(AC)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0). Tích vô hướng của hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) là một số, kí hiệu latex(vecu, vecv) được xác định bởi công thức: latex(vecu . vecv = |vecu| . |vecv|. cos(vecu, vecv)).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
a) Trong trường hơp latex(vecu = vec0) hoặc latex(vecv = vec0), ta quy ước latex(vecu . vecv = 0). b) latex(vecu. vecu = vecu^2 = |vecu|^2; vecu^2 >= 0, vecu^2 = 0 <=> vecu = vec0). c) Với hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0), ta có latex(cos(vecu, vecv) = (vecu . vecv)/(|vecu|. |vecv|)). d) Với hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0), ta có latex(vecu _|_ vecv <=> vecu . vecv = 0). * Với ba vectơ latex(veca, vecb, vecc) và số k ta có tính chất sau: + latex(veca. vecb = vecb . veca); + latex(veca.(vecb + vecc) = veca.vecb +veca . vecc). + latex((kveca).vecb = k(veca.vecb) = veca . (kvecb)).
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD. a) Tính các tích vô hướng latex(vec(AB). vec(AC), vec(AB) . vec(AM)). b) Tính góc latex((vec(AB), vec(CD))).
Ảnh
- Mẫu:
a) Ta có: latex(vec(AB) . vec(AC) = |vec(AB)| . |vec(AC)| . cos(vec(AB), vec(AC))). latex( = AB. AC . cos angle(BAC) = a . a. cos60@ = (a^2)/2). Tương tự ta cũng có latex(vec(AB) . vec(AD) = (a^2)/2). Ta lại có latex(vec(AM) = 1/2(vec(AC) + vec(AD))) latex(=> vec(AB) . vec(AM) = vec(AB) . 1/2(vec(AC) + vec(AD)) = 1/2(vec(AB) . vec(AC) + vec(AB) . vec(AD))) latex(= 1/2((a^2)/2 + (a^2)/2) = (a^2)/2).
- Thực hành 8
- Thực hành 8:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Vận dụng 4
Ảnh
- Vận dụng 4:
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°. a) Tính độ lớn của trọng lực latex(vecP = mvecg) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do latex(vecg) có độ lớn là latex(g = 9,8 m//(s^2)). b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực latex(vecF) có độ dịch chuyển latex(vecd) được tính bởi công thức latex(A = vecF . vecd) . Hãy tính công sinh bởi trọng lực latex(vecP) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. CMR: latex(vec(SA) + vec(SC) = vec(SB) + vec(SD)).
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.
- Bài 3
Bài 3: Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn latex(vecP) của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức latex(vecP = mvecg), trong đó latex(vecg) là gia tốc rơi tự do có độ lớn latex(g = 9,8m//s^2). Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).
Ảnh
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 2. Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian".
- Cảm ơn
Ảnh
 
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất