CHƯƠNG II. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG II. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian
Ảnh
1. Vectơ trong không gian
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây? b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- Câu hỏi
- Câu hỏi:
Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
* Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là latex(vec(AB)). * Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là latex(veca, vecb, vecx, vecy,...) * Độ dài của vectơ latex(vec(AB)) được kí hiệu là latex(|vec(AB)|), độ dài của vectơ a được kí hiệu là latex(veca). * Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5). a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (ABC)? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.
- Giải:
a) Có ba vectơ là latex(vec(AB), vec(AC)) và latex(vec(AD)). b) Trong ba vectơ latex(vec(AB), vec(AC)) và latex(vec(AD)) chỉ có hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(AC)) có giá nằm trong mặt phẳng (ABC). c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên latex(|vec(AB)| = |vec(AC)| = |vec(AD)| = 1).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ latex(vec(AC)), latex(vec(AD), vec(AD))': a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)? b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
Ảnh
Ảnh
- HĐ2
Hình vẽ
Ảnh
HĐ2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).
a) So sánh độ dài của hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(DC))'. b) Nhận xét về giá của hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(DC))'. c) Hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(DC))' có cùng phương không? Có cùng hướng không?
'
'
Ảnh
- Khái niệm vectơ trong không gian
Ảnh
- Khái niệm vectơ trong không gian
Ảnh
* Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. * Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. * Hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) được gọi là bằng nhau, kí hiệu latex(veca = vecb), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
* Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ latex(veca) cho trước, có duy nhất điểm M sao cho latex(vec(OM) = veca). * Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như latex(vec(A A)), latex(vec(BB),...) gọi là các vectơ - không. * Ta quy ước vectơ - không có độ dài là 0, cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ - không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.2.8). a) Trong ba vectơ latex(vec(BC)), latex(vec(C C))' và latex(vecBB)', vectơ nào bằng vectơ latex(vec(A A))'? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của BC. XĐ điểm M' sao cho latex(vec(MM))' = latex(vec(A A))'.
+ tiếp (- Ví dụ 2)
Ảnh
- Giải:
a) Hai đường thẳng AA' và BC chéo nhau nên hai vectơ latex(vec(A A))' và latex(vec(BC)) không cùng phương. Do đó, hai vectơ latex(vec(A A))' và latex(vec(BC)) không bằng nhau. Tứ giác ACC'A là hình bình hành nên AA' // CC' = CC'. Hai vectơ latex(vec(A A))' và latex(vec(C C))' có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau. Tương tự, hai vectơ latex(vec(A A))' và latex(vec(BB))' có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ latex(vec(A A))' và latex(vec(BB))' không bằng nhau. b) Gọi M' là trung điểm của cạnh B'C'. Vì tứ giác BCC'B' là hình bình hành nên MM' // BB' và MM' = BB'. Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' // BB' và AA' = BB', suy ra MM' // AA' và MM' = AA'. Hai vectơ latex(vec(MM))' và latex(vec(A A))' có cùng độ dài và cùng hướng nên latex(vec(MM))' = latex(vec(A A))'. Vậy trung điểm của cạnh B'C' là điểm M cần tìm.
- Luyện tập 2
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Trong ba vectơ latex(vec(SD), vec(AD), vec(DC)) vectơ nào bằng vectơ latex(vec(AB))? b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm sao cho latex(vec(MN) = vec(AB)).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lần tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển có bằng nhau không? Giải thích vì sao.
2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Ảnh
2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
a. Tổng của hai vectơ trong không gian
Ảnh
Hình vẽ
a. Tổng của hai vectơ trong không gian
Ảnh
HĐ3:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca) và latex(vecb). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho latex(vec(AB) = veca, vec(BC) = vecb). Khi đó, vectơ latex(vec(AC)) được gọi là tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu là latex(veca + vecb). Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: * Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì latex(vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)); * Nếu ABCD là hình bình hành thì latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có d độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ latex(vec(BC) + vec(DD))'.
- Giải:
Hình vẽ
Tứ giác ABCD là hình vuông nên latex(vec(BC) = vec(AD)). Do đó latex(vec(BC) + vec(DD))' = latex(vec(AD) + vec(DD))' = latex(vec(AD))'. Tứ giác ADD'A' là hình vuông nên AD' = latex(sqrt(AD^2 + DD^2))' = latex(sqrt2). Suy ra |latex(vec(BC) + vec(DD))'| = latex(sqrt2).
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ latex(vec(AC) + vec(CD))'.
'
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
* Tính chất giao hoán: Nếu latex(veca) và latex(vecb) là hai vectơ bất kì thì latex(veca + vecb = vecb + veca). * Tính chất kết hợp: Nếu latex(veca, vecb) và latex(vecc) là ba vectơ bất kì thì latex((veca + vecb)+ vecc = veca + (vecb + vecc)). * Tính chất cộng với vectơ latex(vec0): Nếu latex(veca) là một vectơ bất kì thì latex(veca + vec0 = vec0 + veca = veca).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). CMR: latex(vec(AC) + vec(BD) = vec(AD) + vec(BC)).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có latex(vec(AC) = vec(AD) + vec(DC)). Từ đó lần lượt áp dụng t/c của phép cộng vectơ trong không gian, ta được: latex(vec(AC) + vec(BD) = (vec(AD) + vec(DC)) + vec(BD)) latex(= vec(AD) + (vec(DC) + vec(BD))) latex(= vec(AD) + (vec(BD) + vec(DC)) = vec(AD) + vec(BC)).
- Luyện tập 4
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 4:
Cho tứ diện ABCD (H.2.13). CMR: latex(vec(AB) + vec(CD) = vec(AD) + vec(CB)).
Ảnh
- HĐ4
Ảnh
Hình vẽ
a. Tổng của hai vectơ trong không gian
HĐ4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14).
Ảnh
a) Hai vectơ latex(vec(AB) + vec(AD)) và latex(vec(AC)) có bằng nhau hay không? b) Hai vectơ latex(vec(AB) + vec(AD) + vec(A A))' và latex(vec(AC))' có bằng nhau hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) - vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14). Chứng minh rằng: latex(vec(BB))' + latex(vec(CD) + vec(AD) = vec(BD))'.
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên latex(vec(BC) = vec(AD)) và latex(vec(DC) = vec(AB)). Áp dụng quy tắc hình hộp: latex(=> vec(BC) + vec(DC) + vec(A A))' = latex(vec(AD) + vec(AB) + vec(A A))' = latex(vec(AC))'.
- Luyện tập 5
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 5:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng latex(vec(BB))' + latex(vec(CD) + vec(AD) = vec(BD))'.
b. Hiệu của hai vectơ trong không gian
Ảnh
Ảnh
b. Hiệu của hai vectơ trong không gian
HĐ5: Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ latex(veca) được gọi là vectơ đối của vectơ latex(veca), KH: latex(-veca).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
* Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng latex(vec0). * Vectơ latex(vec(BA)) là một vectơ đối của vectơ latex(vec(AB)). * Vectơ latex(vec0) được coi là vectơ đối của chính nó.
Ảnh
- Định nghĩa hiệu của hai vectơ trong không gian
Ảnh
- Định nghĩa hiệu của hai vectơ trong không gian:
Ảnh
Vectơ latex(veca + (-vecb)) được gọi là hiệu của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) và kí hiệu là latex(veca - vecb). Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Với ba điểm O, A, B bất kì trong không gian, ta có: latex(vec(OB) - vec(OA) = vec(AB)).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (H.2.16). CMR: a) latex(vec(AM)) và latex(vec(CN)) là hai vectơ đối nhau; b) latex(vec(SC) - vec(AM) - vec(AN) = vec(SA)).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD, suy ra AM = CN và AM // CN. Hai vectơ latex(vec(AM)) và latex(vec(CN)) có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau. b) Từ câu a, ta có latex(vec(CN) = -vec(AM)). latex( => vec(SC) - vec(AM) - vec(AN) = vec(SC) + vec(CN) - vec(AN)) latex(= vec(SN) - vec(AN) = vec(SN) - vec(AN) = vec(SN) + vec(NA) = vec(SA))
- Luyện tập 6
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 6:
Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng: a) latex(vec(BN)) và latex(vec(DM)) là hai vectơ đối nhau; b) latex(vec(SD) - vec(BN) - vec(CM) = vec(SC)).
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Ảnh
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
- HĐ6
Ảnh
Hình vẽ
HĐ6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17). a) Hai vectơ latex(vec(MN)) và latex(vec(BC))' có cùng phương không? Có cùng hướng không? b) Giải thích vì sao latex(|vec(MN)| = 1/2|vec(BC)|).
'
'
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, tích của một số thực latex(k != 0) với một vectơ latex(veca != vec0) là một vectơ, kí hiệu là latex(kveca), được xấc định như sau: * Cùng hướng với vectơ latex(veca) nếu k > 0; ngược hướng với vectơ latex(veca) nếu k < 0; * Có độ dài bằng latex(|k| . |veca|). Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Hai vectơ latex(1veca) và latex(veca) có bằng nhau không? Hai vectơ latex((-1)veca) và latex(-veca) có bằng nhau không?
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
* Quy ước latex(0veca = vec0) và latex(kvec0 = vec0). * Nếu latex(kveca = vec0) thì k = 0 hoặc latex(veca = vec0). * Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) latex((vecb != vec0)) cùng phương là có một số thực k sao cho latex(veca = kvecb).
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Trong HĐ6, gọi O là giao điểm của AB' và A'B (H.2.18). Chứng minh rằng latex(vec(C C))' = latex((-2)vec(OM)).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Từ đề bài => O là trung điểm của AB', do đó OM là đường trung bình của tam giác AB'B => B'B // OM và B'B = 2OM. Tứ giác BCC'B là hình bình hành nên B'B // C'C và B'B = C'C. Do đó C'C // OM và C'C = 2OM. Vì hai vectơ latex(vec(C C))' và latex(vec(OM)) ngược hướng nên latex(vec(C C))' = latex((-2)vec(OM)).
- Luyện tập 7
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA, SB sao cho latex(SE = 1/3 SA; SF = 1/3 SB). CMR: latex(vec(EF) = 1/3vec(DC)).
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
* Tính chất kết hợp: Nếu h, k là hai số thực và latex(veca) là một vectơ bất kì thì latex(h(kveca) = (hk)veca). * Tính chất phân phối: Nếu h, k là hai số thực và latex(veca, vecb) là hai vectơ bất kì thì latex((h + k)veca = hveca + kveca) và latex(k(veca + vecb) = kveca + kvecb). * Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu latex(veca) là một vectơ bất kì thì latex(1veca = veca) và latex((-1)veca = -veca).
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. GọGi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). CMR: latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = 3vec(AG)).
- Giải:
Hình vẽ
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên latex(vec(GB) + vec(GC) + vec(GD) = vec0). Do đó ta có: latex(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD) = vec(AG) + vec(GB) + vec(AG) + vec(GC) + vec(AG) + vec(GD)) latex( = 3vec(AG) + (vec(GB) + vec(GC) + vec(GD)) = 3vec(AG) + vec0 = 3vec(AG)).
Ảnh
- Luyện tập 8
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 8:
Trong ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). Gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho latex(vec(AI) - 3vec(IG)) (H.2.19). Chứng minh rằng: latex(vec(IA) + vec(IB) + vec(IC) + vec(ID) = vec0).
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ latex(vec(F_1)) và latex(vec(F_2)). Hãy giải thích vì sao latex(vec(F_1) = kvec(F_2)) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Ảnh
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Ảnh
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
HĐ7:
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho latex(vec(OA) = veca, vec(OB) = vecb)). Khi đó, góc latex(angle(AOB) (0@ <= angle(AOB) <= 180@)) được gọi là góc giữa hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu là latex((veca,vecb)).
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
Để XĐ góc giữa hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(CD)) trong không gian ta có thể lấy điểm E sao cho latex(vec(AE) =vec(CD)), khi đó latex((vec(AB), vec(CD)) = angle(BAE)) (H.2.23). Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và latex(vec0) có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ latex(vec0@) đến latex(180@).
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác latex(vec0)), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.24). Tính góc giữa các cặp vectơ sau: a) latex(vec(AD)) và latex(vec(BC))'; b) latex(vec(AC)) và latex(vec(AD))'.
- Giải:
Ảnh
'
'
Ảnh
- Luyện tập 9
Hình vẽ
- Luyện tập 9:
Ảnh
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Ảnh
b. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
HĐ8: Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, cho hai vectơ latex(veca, vecb) đều khác latex(vec0). Tích vô hướng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) là một số, kí hiệu là latex(veca . vecb) được xác định bởi công thức: latex(veca . vecb = |veca| . |vecb| . cos(veca, vecb)).
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
- Chú ý:
* Quy ước nếu latex(veca = vec0) hoặc latex(vecb = vec0) thì latex(veca. vecb = 0) * Cho hai vectơ latex(veca, vecb) đều khác latex(vec0). Khi đó: latex(veca _|_ vecb <=> veca . vecb = 0). * Với mọi vectơ latex(veca), ta có latex(veca^2 = |veca|^2). * Nếu latex(veca, vecb) là hai vectơ khác latex(vec0) thì latex(cos(veca, vecb) = (veca . vecb)/(|veca| . |vecb|)).
- Ví dụ 10
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Tính các tích vô hướng sau: a) latex(vec(AS) . vec(BC)); b) latex(vec(AS). vec(AC)).
Hình vẽ
a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra latex(angle(SAD) = 60@). Tứ giác ABCD là hình vuông nên latex(vec(AD) = vec(BC)) latex(=> (vec(AS) , vec(BC)) = (vec(AS), vec(AD)) = angle(SAD) = 60@). Do đó latex(vec(AS) . vec(BC) = |vec(AS)| . |vec(BC)| . cos60@ = a.a.1/2 = (a^2)/2).
- Luyện tập 10
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 10:
Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng latex(vec(AS) . vec(BD)) và latex(vec(AS) . vec(CD)).
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu latex(veca, vecb, vecc) là các vectơ trong không gian và k là một số thực thì ta có: * latex(veca . vecb = vecb . veca); * latex(k(veca . vecb) = (kveca). vecb = veca . (kvecb)); * latex(veca . (vecb + vecc) = veca . vecb + veca . vecc).
- Ví dụ 11
- Mẫu:
Ảnh
Ví dụ 11. Cho tứ diện ABCD có AC và BD cùng vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD (H.2.27). CMR: a) latex(vec(MN) = 1/2(vec(AC) + vec(BD))); b) latex(vec(MN) . vec(AB) = 0).
Hình vẽ
a) Ta có: latex(vec(MN) = vec(MA) + vec(AC) + vec(CN)) và latex(vec(MN) = vec(MB) + vec(BD) + vec(DN)). Do đó: latex(2vec(MN) = (vec(MA) + vec(MB)) + (vec(AC) + vec(BD)) + (vec(CN) + vec(DN))). Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên latex(vec(MA) + vec(MB) = vec(CN) + vec(DN) = vec0) Suy ra latex(2vec(MN) = vec(AC) + vec(BD)), hay latex(vec(MN) = 1/2(vec(AC) + vec(BD))).
- Luyện tập 11
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 11:
Ảnh
- Vận dụng 4
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 4:
Như đã biết, nếu có một lực latex(vec(F)) tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức latex(vecA = vecF . vec(MN)), trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực latex(vecF) có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ latex(vec(BB))', latex(vec(BD)) và latex(vec(BD))'.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng latex(vec(MN) = 1/3(vec(SA) + vec(BC)) + vec(AB)).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn latex(vec(AI) = 3vec(IG)), ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian".
Cảm ơn
Ảnh