CHƯƠNG IV. BÀI 13. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IV. BÀI 13. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Mở đầu:
Trong phần Hình học ở Trung học cơ sở và lớp 11, chúng ta đã được học công thức tính thể tích của nhiều vật thể trong không gian như khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt đều, khối trụ, khối nón, khối cầu. Tuy nhiên, ta thường phải thừa nhận các CT này.
Ảnh
1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Ảnh
1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
a. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
a. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12). a) Tính diện tích S của hình phẳng này. b) Tính latex(int_(-2)^1|f(x)|dx) và so sánh với S.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), được tính bằng công thức: latex(S = int_a^b |f(x)|dx)
- Ví dụ 1
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = latex(x^3), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (H.4.13).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, latex(x = 2pi) (H.4.14).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tâp 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol latex(y = x^2 – 4), trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
b. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
b. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Ảnh
HĐ2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các HS latex(f(x) = −x^2 + 4x), g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16). a) Giả sử latex(S_1) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol latex(y = −x^2 + 4x), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; latex(S_2) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính latex(S_1, S_2) và từ đó suy ra S. b) Tính latex(int_1^3|f(x) - g(x)|dx) và so sánh với S.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b, được tính bằng công thức: latex(S = int_a^b|f(x) - g(x)| dx).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol latex(y = 4 - x^2), latex(y = x^2) và hai đường thẳng x = -1, x = 1 (H.4.17).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = sinx, y = cosx và hai đường thẳng x = 0, latex(x = pi/4) (H.4.18).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số latex(y = sqrtx), y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một SP với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau latex((x_0; p_0)) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = latex(p_0) và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = latex(p_0) và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong H4.19.Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi: Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Ảnh
2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
a. Tính thể tích của vật thể
Hình vẽ
HĐ3: Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20). a) Tính thể tích V của hình trụ. b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính latex(int_a^bS(x)) và so sánh với V.
a. Tính thể tích của vật thể
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi latex(beta) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích V của phần vật thể latex(beta) được tính bởi công thức: latex(V = int_a^b S(x) dx).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
- Giải:
Ảnh
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h. Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x latex((0 <= x <= h)) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là S(x) = S. Do đó, thể tích của khối lăng trụ là:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Tính thể tích của kối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h.
- Giải:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng latex(1/3) diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.
- Vận dụng 2
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng 2:
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là latex(S_0, S_1) và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Ảnh
b. Tính thể tích khối tròn xoay
Hình vẽ
HĐ4: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = latex(1/2 x), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
b. Tính thể tích khối tròn xoay
Ảnh
a) Tính thể tích V của khối nón. b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = latex(pif^2(x)). Tính LATEX(pi int_0^4 f^2(x)dx) và so sánh với V.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm latex(x in [a; b]) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: latex(V = pi int_a^b f^2(x) dx).
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số latex(y = sqrtx), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 (H.4.26).
- Giải:
Ảnh
- Ví dụ 8
Ví dụ 8. Thể tích của khối cầu bán kính R.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 3
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng 3:
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28). b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Ảnh
Bài 2
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) latex(y = e^x, y = x^2 – 1, x = −1, x = 1); b) y = sinx, y = x, latex(x = pi/2, x = pi) c) latex(y = 9 – x^2, y = 2x^2,x = -sqrt3, x = sqrt3). d) latex(y = sqrtx, y = x^2, x = 0, x = 1).
Bài 3
Bài 3: Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình latex(y = sqrt(R^2 - x^2)), trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 14. Phương trình mặt phẳng".
Cảm ơn
Ảnh