CHƯƠNG IV. BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG IV. BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Ảnh
Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại đồ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng Bát Tràng, thuộc xã Bát Tràng, huyện Gia Lâm, Hà Nội. Với hơn 700 năm tuổi, gốm Bát Tràng nổi tiếng ở trong và ngoài nước về chất lượng gốm và độ tinh xảo của các sản phẩm. Những chiếc chén uống trà Hình 10 có dạng khối tròn xoay. Thể tích của các khối tròn xoay được tính như thế nào?
- Khởi động:
1. Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng
Ảnh
1. Tính diện tích hình phẳng
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Ảnh
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
HĐ1: Cho H/S y = f(x) = LATEX(x^3 – 2x^2 – x + 2) có đồ thị được minh họa ở H11. a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng H1, H2, H3 lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào. b) Tính diện tích latex(S_(H_1), S_(H_2), S_(H_3)) của các hình phẳng đó. c) Gọi H là hợp của các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích SH của hình phẳng H bằng: latex(S_H = S_(H_1) + S_(H_2) + S_(H_3) = int_0^3 |f(x)|dx).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: latex(S = int_a^b | f(x)|dx).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho hàm số y = latex(x^3) có đồ thị như H12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị của hàm số y = latex(x^3), trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 1.
Ảnh
+ Giải (- Ví dụ 1)
Ảnh
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = latex(x^2 – 2x), trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3.
Ảnh
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Ảnh
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
HĐ2: Cho các hàm số y = latex(2^x), y = x. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x. Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14). a) Biểu diễn S theo latex(S_1, S_2). b) So sánh S và latex(int_1^2(2^x - x)dx).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: latex(S = int_a^b|f(x) - g(x)|dx).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số latex(y = x^3 + 2x + 1, y = x^3 + x + 3) và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = latex(10 – x^2, y = x^2 + 2) và hai đường thẳng x = – 2, x = 2.
2. Tính thể tích của hình khối
Tính thể tích của hình khối
Ảnh
2. Tính thể tích của hình khối
a. Thể tích của vật thể
Ảnh
a. Thể tích của vật thể
HĐ3: Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17). a) Tính S(x). b) So sánh thể tích khối lập phương đó với latex(int_0^1 S(x)dx).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại x latex((a <= x <= b)) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai MP trên được tính bởi CT: latex(V = int_a^b S(x)dx).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
- Giải:
Ảnh
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h (H19). Khi đó, một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo hình phẳng có diện tích S(x) = B không đổi với mỗi x latex(in [0; h]). Áp dụng chú ý trên, ta có: V = Bh.
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B. Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ latex(vec(OI)) (H20). Khi đó OI = h. Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x latex((0 <= x<= h)), cắt khối chóp theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh được rằng S(x) = latex(B(x^2)/(h^2)). Tính thể tích khối chóp đó.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Cho khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy bằng B. Thể tích V của khối lăng trụ đó được tính bởi CT: V = Bh. Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B. Thể tích V của khối chóp đó được tính bởi CT: V = latex((Bh)/3).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'. Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng S(x) = latex(B(x^2)/(b^2)). Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.
b. Thể tích của khối tròn xoay
b. Thể tích của khối tròn xoay
HĐ4: Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x). a) Tìm hàm số y = f(x).
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
b. Thể tích của khối tròn xoay
HĐ4: b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x; f(x)) (– r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x). Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x). Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r.
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng: latex(V = pi int_a^b [f(x)]^2dx).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = latex(sin x/2), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = latex(pi/2). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Hình thanng cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:
A. latex(int_1^2(4/x - x + 3)dx)
B. latex(int_1^2(4/x + x - 3)dx)
C. latex(int_1^2(4/x - x - 3)dx)
D. latex(int_2^4(4/x + x - 3)dx)
Ảnh
Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài 2: Cho đồ thị các hàm số latex(y = (1/2)^x, y = x + 1) và hình phẳng được tô màu như Hình 30. a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào? b) Tính diện tích hình phẳng đó.
Bài 3
Ảnh
Ảnh
Bài 3: Cho đồ thị hàm số y = f(t) như Hình 32. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 2. b) Hỏi latex(int_0^1f(u)du) biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường nào trong Hình 32.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 1. Phương trình mặt phẳng".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh