CHƯƠNG I. BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG I. BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
Ảnh
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Ảnh
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
- Tm hiểu
- Tìm hiểu:
Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y = f(x). Nếu x thay đổi từ latex(x_1) đến latex(x_2) thì sự thay đổi của x là: latex(Deltax = x_2 - x_1) và sự thay đổi của y là: latex(Deltay = f(x_2) = f(x_1)). Tỉ số latex((Deltay)/(Deltax) = (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)) được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn latex([x_1; x_2]). Giới hạn latex(lim_(Deltax -> 0) = (Deltay)/(Deltax) = lim_(x_2 -> x_1) (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)) được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm latex(x = x_1).
Như vậy, đạo hàm f'(a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = f(x) đối với x tại điểm x = a.
- Một số ứng dụng đối với vật lí, hoá học, sinh học và KT:
- Một số ứng dụng đối với vật lí, hoá học, sinh học và KT:
Ảnh
Đối với vật lí
Hình vẽ
Nếu s = s(t) là hàm vị trị của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s'(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của V theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:
a(t) = v'(t) = s"(t)
+ Đối với hoá học
- Một số ứng dụng đối với vật lí, hoá học, sinh học và KT:
Ảnh
Đối với hoá học
Hình vẽ
Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t, thì C'(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của một chất đó tại thời điểm t.
+ Đối với sinh học
- Một số ứng dụng đối với vật lí, hoá học, sinh học và KT:
Hình vẽ
Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P'(t) biểu thị tốc độ tăng trường tức thời của quần thể tại thời điểm t.
Ảnh
Đối với sinh học
+ Đối với kinh tế
- Một số ứng dụng đối với vật lí, hoá học, sinh học và KT:
Hình vẽ
Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C'(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được SX gọi là chi phí biên.
Ảnh
Đối với kinh tế
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (m) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với V ban đầu 24,5 m/s là h(t) = 2 + 24,5t - 4,9latex(t^2). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
+ Giải (- Ví dụ 1)
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là: v = h'(t) = 24,5 - 9,8t (m/s). Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) = 24,5 - 9,8 . 2 = 4,9 (m/s). b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại latex(t = - b/(2a) = (24,5)/(2 . 4,9) = 2,5) (giây). Khi đó, độ cao lớn nhật của vật là h(2,5) = 32,625 (m). c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h = 2 + 24,5t - latex(4,9t^2) = 0 hay latex(t ~~5,08) (giây). V của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 - 9,8 . 5,08 = -25,284 (m/s). Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).
- Giải:
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Giả sử chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số: C(x) = 30000 + 300x - latex(2,5x^2 + 0,125x^3). a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C'(200) và giải thích ý nghĩa. c) So sánh C'(200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.
+ Giải (- Ví dụ 2)
- Giải:
a) Hàm chi phí biên là C'(x) = 300 - 5x + latex(0,375x^2). b) Ta có: C'(200) = latex(300 - 5. 200 + 0,375 . 200^2 = 14300). Chi phí biên tại x = 200 là 14300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí đẻ sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14300 nghìn đồng. c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là C(201) - C(200) = 1004372,625 - 990000 = 14372,625 (nghìn đồng). Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C'(200) đã tính ở câu b.
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số P(t) = latex(a/(b + e^(-0,75t))), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị cảu a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
+ Giải (- Ví dụ 3)
Ảnh
- Giải:
Ta có: P'(t) = latex((0,75ae^(-0,75t))/((b + e^(-0,75t))^2), t >= 0). Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P'(0) = 12. Do đó, ta có hệ PT:
Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và b = latex(1/4). Khi đó, P'(t) = latex((18,75e^(-0,75t))/((1/4 + e^(-0,75t))^2) > 2, AAt >= 0), tức là số lượng của quần thể nấm men luôn tăng. Tuy nhiên, do latex(lim_(t -> +oo) P(t) = lim_(t -> +oo) 25/(1/4 + e^(-0,75t)) = 100) nên số lượng của quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.
- Luyện tập 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số latex(P(t) = (25t^2 + 125)/(t^2 + 1), 0 <= t <= 10), thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.
2. Một vài bài toán tối ưu đơn giản
Một vài bài toán tối ưu đơn giản
Ảnh
2. Một vài bài toán tối ưu đơn giản
- Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:
Ảnh
- Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x). Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trị có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (Kết quả được tính theo centimet và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
+ Giải (- Ví dụ 4)
- Giải:
Ảnh
Đổi 1 lít = 1000 latex(cm^3). Gọi r(cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: latex(S = 2pir^2 + 2pirh). Do thể tích của hình trụ là latex(1000cm^3) nên ta có: latex(1000 = V = pir^2h), hay latex(h = 1000/(pir^2)). Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: latex(S = 2pir^2 + 2000/r, r > 0). Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: S' = latex(4pir - 2000/(r^2) = (4pir^3 - 2000)/(r^2)); S' = 0 latex(<=> pir^3 = 500 <=> r = root3 (500/x)).
+ tiếp (- Ví dụ 4)
- Giải:
Ảnh
Bảng biến thiên:
Ảnh
Khi đó: h = latex(1000/(pir^2) = 1000/(pi root3(250000/(pi^2))) = 100/(root3 (250pi))). Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy r = latex(root3 (500/x) ~~ 5,42 (cm)) và chiều cao latex(h = 100/(root3 (250pi) ~~10,84)) (cm).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Nếu hình trụ có thể tích V không đổi thì diện tích bề mặt của hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy.
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Ảnh
- Nhắc lại kiến thức
- Nhắc lại kiến thức:
Nếu C(x) là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất x đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của C đối với x, tức là đạo hạo C'(x). Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của x. Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x) = x. p(x) và R(x) được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm R'(x) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra. Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là: P(x) = R(x) - C(x) và P(x) được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P'(x) của hàm lợi nhuận.
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất? c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12000 - 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là y = latex(t^3 – 12t + 3), t ≥ 0. a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới. c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3. d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: latex(C(x) = 23000 + 50x – 0,5x^2 + 0,00175x^3). a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C'(100) và giải thích ý nghĩa của nó. c) So sánh C'(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 6. Vectơ trong không gian".
Cảm ơn
Ảnh