CHƯƠNG V: BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V: BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Tổng của hai vecto
Định nghĩa
Hình vẽ
1. Định nghĩa
Cho 2 vecto latex(vec(a)) và latex(vec(b)). Từ một điểm A tùy ý, lấy 2 điểm B và C sao cho latex(vec(AB)) = latex(vec(a)), latex(vec(BC)) = latex(vec(b)). Khi đó latex(vec(AC)) được gọi là tổng của 2 vecto latex(vec(a)),latex(vec(b)) và được kí hiệu là latex(vec(a)) + latex(vec(b)). Vậy latex(vec(a)) + latex(vec(b)) = latex(vec(AB)) + latex(vec(BC)) = latex(vec(AC)).
Hình vẽ
Ảnh
Phép toán tìm tổng 2 vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
Quy tắc 3 điểm
2. Quy tắc 3 điểm
Hình vẽ
Ảnh
Hình vẽ
Chú ý : Khi cộng 2 vecto theo quy tắc ba điểm , điểm cuối của vecto thứ nhất phải là điểm đầu của vecto thứ hai.
Với 3 điểm M , N , P , ta có latex(vec(MN)) + latex(vec(NP)) = latex(vec(MP))
Ví dụ 1
Ví dụ
Cho các điểm E, F, G, H, K.Thực hiện các phép cộng vecto latex(vec(EF)) + latex(vec(FH)); latex(vec(FK)) + latex(vec(KG)); latex(vec(EH)) + latex(vec(HE)) .
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: latex(vec(EF)) + latex(vec(FH)) = latex(vec(EH)) latex(vec(FK)) + latex(vec(KG)) = latex(vec(FG)) latex(vec(EH)) + latex(vec(HE)) = 0
Quy tắc hình bình hành
Hình vẽ
Ảnh
3. Quy tắc hình bình hành
Nếu OABC là hình hình hành thì latex(vec(OA)) + latex(vec(OC)) = latex(vec(B))
Ví dụ 2
Ví dụ Tìm tổng của 2 vecto latex(vec(a)) và latex(vec(b)) trong hình.
Ta có: latex(vec(a)) = latex(vec(AB)), latex(vec(b)) = latex(vec(AD)) Suy ra latex(vec(a)) + latex(vec(b)) = latex(vec(AB)) + latex(vec(AD)). Theo quy tắc hình bình hành, ta có latex(vec(AB)) + latex(vec(AD)) = latex(vec(AC)). Vậy latex(vec(a)) + latex(vec(b)) = latex(vec(AC)).
Ảnh
Tính chất của phép cộng các vecto
Tính chất
Hình vẽ
Tính chất giao hoán latex(vec(a)) + latex(vec(b)) = latex(vec(b)) + latex(vec(a)); Tính chất kết hợp (latex(vec(a)) + latex(vec(b)))+ latex(vec(c)) = latex(vec(a)) + (latex(vec(b)) + latex(vec(c))); Với mọi vecto latex(vec(a)), ta luôn có latex(vec(a)) + latex(vec(0)) = latex(vec(0)) + latex(vec(a)) = latex(vec(a)).
Phép cộng vecto có các tính chất sau:
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vecto latex(vec(a)), latex(vec(b)), latex(vec(c)), kí hiệu là latex(vec(a)) + latex(vec(b)) + latex(vec(c)) với latex(vec(a)) + latex(vec(b)) + latex(vec(c)) = (latex(vec(a)) + latex(vec(b))) + latex(vec(c)).
Ví dụ 3
Ví dụ Cho tứ giác ABCD. Thực hiện các phép cộng vecto sau: a) (latex(vec(AB)) + latex(vec(CA))) + latex(vec(BC)); b) latex(vec(AB)) + latex(vec(CD)) + latex(vec(BC)) + latex(vec(DA)).
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vecto, ta có: a) (latex(vec(AB)) + latex(vec(CA))) - latex(vec(BC)) = (latex(vec(CA)) + latex(vec(AB))) + latex(vec(BC)) = latex(vec(CB)) + latex(vec(BC)) = CC = latex(vec(0)). b) latex(vec(AB)) + latex(vec(CD)) + latex(vec(BC)) + latex(vec(DA)) = AA = latex(0)).
Chú ý: Tổng 2 vecto đối nhau luôn bằng vecto không: latex(vec(a)) + (-latex(vec(a))) = latex(vec(0)).
Hiệu của hai vecto
Định nghĩa
Hình vẽ
Cho hai vecto latex(vec(a)) và latex(vec(b)). Hiệu của 2 vecto latex(vec(a)) và latex(vec(b)) là vecto latex(vec(a)) + (-latex(vec(b))) và kí hiệu là latex(vec(a)) - latex(vec(b)).
Chú ý: Phép toán tìm hiệu của 2 vecto còn được gọi là phép trừ vecto.
Ảnh
Ví dụ 4
Ví dụ Cho các điểm M, N, P, Q. Thực hiện các phép trừ vecto sau: latex(vec(MN)) - latex(vec(PN)); latex(vec(PM)) - latex(vec(PQ)).
Ảnh
Ta có: latex(vec(MN)) - latex(vec(PN)) = latex(vec(MN)) + latex(vec(NP)) = latex(vec(MP)); latex(vec(PM)) - latex(vec(PQ)) = latex(vec(PM)) + latex(vec(QP)) = latex(vec(QP)) + latex(vec(PM)) = latex(vec(QM)). Chú ý : Cho ba điểm 0, A ,B, ta có: latex(vec(OB)) - latex(vec(OA)) = latex(vec(AB)).
TÍnh chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Tính chất
Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi latex(vec(MA)) - latex(vec(MB)) = latex(vec(0)). Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi latex(vec(GA)) + latex(vec(GB)) + latex(vec(GC)) = latex(vec(0)).
Ví dụ 5
Ví dụ Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm IJ. Chứng minh latex(vec(OA)) + latex(vec(OB)) + latex(vec(OC)) + latex(vec(OD)) = latex(vec(0)).
Giải Do I,J,O lần lượt là trung điểm của AB, CD và IJ nên: latex(vec(IA)) - latex(vec(IB)) = latex(vec(0)); latex(vec(JC)) + latex(vec(JD)) = latex(vec(0)); latex(vec(OI)) + latex(vec(OJ)) = latex(vec(0)). Ta có: latex(vec(OA)) + latex(vec(OB)) + latex(vec(OC)) + latex(vec(OD)) = (latex(vec(OI)) + latex(vec(IA))) + (latex(vec(OI)) + latex(vec(IB))) + (latex(vec(OJ)) + latex(vec(JC))) + (latex(vec(OJ)) + latex(vec(JD))) = (latex(vec(OI)) + latex(vec(OJ))) + (latex(vec(IA)) + latex(vec(IB))) + (latex(vec(OI)) + latex(vec(OJ))) + (latex(vec(JC)) + latex(vec(JD))) = latex(vec(0))
Bài tập
Bài 1
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chép và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: a) latex(vec(BA)) + latex(vec(DC)) = latex(vec(0)); b) latex(vec(MA)) - latex(vec(MC)) = latex(vec(MB)) + latex(vec(MD))
Bài 2
Bài tập trắc nghiệm
Cho tứ giác ABCD, kết quả của latex(vec(AB)) + latex(vec(BC)) + latex(vec(CD)) + latex(vec(DA)); latex(vec(AB)) - latex(vec(AD)); latex(vec(CB)) - latex(vec(CD)) lần lượt là:
latex(vec(BA)); latex(vec(AD)); latex(vec(CD)).
latex(vec(0)); latex(vec(DA)); latex(vec(DB)).
latex(vec(0)); latex(vec(AD)); latex(vec(BD))
Bài 3 + 4 + 5
3. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính độ dài của các vecto: a) latex(vec(BA)) + latex(vec(AC)); b) latex(vec(AB)) - latex(vec(AC)); c) latex(vec(BA)) - latex(vec(BC)). 4.Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng: a) latex(vec(OA)) - latex(vec(OB)) - latex(vec(OC)) - latex(vec(OD)); b) latex(vec(OA)) - latex(vec(OB)) + latex(vec(DC)) = latex(vec(0)). 5.Cho ba lực latex(vec(F_1)) = latex(vec(MA)), latex(vec(F_2)) = latex(vec(MB)) và latex(vec(F_3)) = latex(vec(MC)) cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của latex(vec(F_1)), latex(vec(F_2)) đều là 10N và latex(angle(AMB)) = latex(90 circ). Tìm độ lớn của lực latex(vec(F_3))
Thank
Ảnh