BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
BÀI 8: TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Ảnh
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Hình vẽ
Thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ. Mô tả trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác vectơ. Vận dụng vectơ trong bài toán tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc.
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Ảnh
Một con tàu chuyển động từ bờ này sang bờ kia của một dòng sông với vận tốc không đổi. Giả sử vận tốc nước là không đổi, các yếu tố bên ngoài không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữa lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
1. Tổng của hai vectơ
- Hoạt động 1
1. Tổng của hai vectơ
- Hoạt động 1:
Với hai vectơ latex(veca, vecb) cho trước, lấy một điểm A và vẽ vectơ latex(vec(AB) = veca, vec(BC) = vecb). Lấy điểm A' khác A và cũng vẽ các vectơ A'B' = latex(veca)', vectơ B'C' = latex(vecb)'. Hỏi hai vectơ AC và A'C' có mối quan hệ gì?
Ảnh
- Kết luận 1
Hình vẽ
- Kết luận 1:
Cho hai vectơ latex(veca, vecb). Lấy một điểm A tùy ý và vẽ latex(vec(AB) = veca), latex(vec(BC) = vecb) (H.4.13). Khi đó vectơ latex(vec(AC)) được gọi là tổng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) và được kí hiệu là latex(veca + vecb). Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Ảnh
- Hoạt động 2
Hình vẽ
- Hoạt động 2:
Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ latex(vec(AB) + vec(AB)) và latex(vec(AC)).
Ảnh
Ảnh
- Kết luận 2
- Kết luận 2:
Hình vẽ
Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm bất kì A, B, C ta có latex(vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)).
Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là một hình bình hành thì latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)).
Ảnh
- Hoạt động 3
- Hoạt động 3:
a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ latex(veca + vecb) và vectơ latex(vecb + veca). b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ latex((veca + vecb)+vecc) và latex(veca +(vecb+vecc)).
Ảnh
Giải:
a) Trong Hình 4.14a: Ta có: latex(veca + vecb = vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)) latex(vecb + veca = vec(AD) + vec(DC) = vec(AC)) => latex(veca + vecb = vecb + veca). b) Trong Hình 4.14b: Ta có: latex((veca + vecb) + vecc = vec(AC) + vec(CD) = vec(AD)) latex(veca + (vecb + vecc) = vec(AB) + vec(BD) = vec(AD)) => latex(veca + vecb + vecc = veca + (vecb + vecc)).
- Kết luận 3
- Kết luận 2:
Hình vẽ
Với ba vectơ latex(veca, vecb, vecc), tùy ý:
- Tính chất giao hoán: latex(veca + vecb = vecb + veca); - Tính chất kết hợp: latex((veca + vecb) + vecc = veca + (vecb + vecc)); - Tính chất của vectơ-không: latex(veca + vec0 = vec0 + veca = veca).
Ảnh
- Ví dụ 1
Hình vẽ
- Ví dụ 1:
Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ latex(vec(AB) + vec(CB), vec(AB) + vec(DC) + vec(BD)).
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và latex(angle(BDA) = 120@). Tính độ dài của các vectơ latex(vec(CB) + vec(CD), vec(DB) + vec(CD) + vec(BA)).
Ảnh
2. Hiệu hai vectơ
- Hoạt động 4
2. Hiệu hai vectơ
- Hoạt động 4
Ảnh
Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?
Ảnh
- Kết luận 4
- Kết luận 4:
Hình vẽ
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ latex(veca) được gọi là vectơ đối của vectơ latex(veca). Vectơ đối của latex(veca) được kí hiệu là -latex(veca). - Vectơ latex(vec0) được coi là vectơ đối của chính nó.
Ảnh
- Chú ý 1
- Chú ý 1:
Ảnh
Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng latex(vec0).
- Kết luận 5
Hình vẽ
- Kết luận 5:
Vectơ latex(veca + (-vecb)) được gọi là hiệu của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) và được kí hiệu là latex(veca - vecb). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Ảnh
- Chú ý 2
Hình vẽ
- Chú ý 2:
Nếu latex(vecb + vecc = veca) thì latex(veca - vecb = veca + (-vecb) = vecc + vecb + (-vecb) = vecc + vec0 = vecc). Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có: latex(vec(MN) = vec(MO) + vec(ON) = vec(-OM) + vec(ON) = vec(ON) - vec(OM)).
Quy tắc hiệu:
Với ba điểm O, M, N, ta có latex(vec(MN) = vec(ON) - vec(OM)).
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
- Ví dụ 2
Hình vẽ
Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng latex(vec(OB)-vec(OA) = vec(OC)-vec(OD)).
Giải:
Áp dụng quy tắc hiệu, ta có: latex(vec(OB)-vec(OA) = vec(AB), vec(OC)-vec(OD) = vec(DC)). Mặt khác latex(vec(AB) = vec(DC)) nên latex(vec(OB)-vec(OA) = vec(OC)-vec(OD)).
- Ví dụ 3
Ảnh
- Ví dụ 3:
a. Chứng minh rằng nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì latex(vec(IA) + vec(IB) = vec(0)). b. Chứng minh rằng: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì latex(vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: latex(vec(OA) + vec(OB) + vec(OC) + vec(OD) = vec0).
- Chú ý 3
Ảnh
- Chú ý 3:
Phép cộng vectơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:
- Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm A và được biểu diễn bởi các vectơ latex(vecu_1, vecu_2) thì lực tác động vào A được biểu diễn bởi latex(vecu_1 + vecu_2). - Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng được biểu diễn với vectơ latex(vecv_r) và vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi latex(vecv_n) thì vận tốc thực tế của thuyền được biểu diễn bởi vectơ latex(vecv_r + vecv_n).
- Vận dụng
- Vận dụng:
Tính lực kéo cần thiết để một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng latex(30@) so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi phương bằng 100 N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
Ảnh
Luyện tập
Bài 1
Bài 1:
Hình vẽ
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: a) latex(vec(AB) + vec(BC) + vec(CD) + vec(DA) = vec0); b) latex(vec(AC) - vec(AD) = vec(BC) - vec(BD)).
Giải:
a) Ta có: latex(vec(AB) + vec(BC) + vec(CD) + vec(DA)= (vec(AB) + vec(BC)) + (vec(CD) + vec(DA))) =latex(vec(AC) + vec(CA) = vec(A A) = vec0). b) Ta có: latex(vec(AC) - vec(AD) = vec(DC)) (quy tắc hiệu) latex(vec(BC) - vec(BD) = vec(DC)) (quy tắc hiệu) => latex(vec(AC) - vec(AD) = vec(BC) - vec(BD)).
Ảnh
Bài 2
Hình vẽ
Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để latex(vec(BM) = vec(AB) + vec(AD)). Tìm mối quan hệ hai vectơ latex(vec(CD)) và latex(vec(CM)).
Ảnh
Giải:
Ta có: latex(vec(AB) + vec(AD) = vec(AC)) (quy tắc hình bình hành) Ta cần tìm điểm M thỏa mãn latex(vec(AC) = vec(BM)) latex(<=>) ACMB là hình bình hành latex(=> vec(CM) = vec(AB)) mà latex(vec(DC) = vec(AB) => vec(CM) = vec(DC)) hay latex(vec(CM) = -vec(CD)) => latex(vec(CM)) và latex(vec(DC)) là hai vectơ đối nhau.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 9: Tích của một vectơ với một số".
- Kết luận
Ảnh