CHƯƠNG II. BÀI 2. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG II. BÀI 2. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Bão Haiyan (Hải Yến) là một cơn bão mạnh đã đổ bộ vào nước ta những ngày đầu tháng 11 năm 2013. Để theo dõi đường đi của bão và vận tốc gió, người ta sử dụng tọa độ của các vectơ chỉ vận tốc của những luồng gió xoáy vào tâm bão (Hình 18). Tọa độ của vectơ trong không gian là gì? Làm thế nào để xác định được tọa độ của vectơ trong không gian?
1. Toạ độ của một điểm
Toạ độ của một điểm
Ảnh
1. Toạ độ của một điểm
a. Hệ trục toạ độ trong không gian
Ảnh
a. Hệ trục toạ độ trong không gian
HĐ1: Trong không gian, hãy vẽ: a) Ba trục số Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại gốc O của mỗi trục. b)* Vectơ latex(veci) xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Ox và có độ dài bằng 1. * Vectơ latex(vecj) xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Oy và có độ dài bằng 1. * Vectơ latex(veck) xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Oz và có độ dài bằng 1.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz.
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Ảnh
Ta gọi latex(veci, vẹc, veck) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong hệ toạ độ Oxyz(H19), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau.
Ảnh
- Ví dụ 1
Ảnh
- Giải:
a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ (Oxy). b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxy) nên trục Oz vuông góc với mặt sân.
Ảnh
Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn ở H20. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ nào? b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không?
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Một căn phòng với hệ tọa độ Oxyz được chọn H21. Cho biết bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ nào.
b. Toạ độ của một điểm
b. Toạ độ của một điểm
Ảnh
HĐ2: Cho điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Gọi M1 là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) (Hình 22).
a) Trong mặt phẳng (Oxy) hãy cho biết: - Hình chiếu H của điểm M1 trên trục hoành Ox ứng với số nào trên trục Ox? - Hình chiếu K của điểm M1 trên trục tung Oy ứng với số nào trên trục Oy? b) Hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz ứng với số nào trên trục Oz?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M. * Xác định hình chiếu latex(M_1) của điểm M trên mặt phẳng Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm hoành độ a, tung độ b của điểm latex(M_1). * Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M. Bộ số (a; b; c) là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, kí hiệu là M(a; b; c).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. Người ta còn có thể xác định toạ độ điểm M theo cách sau:
Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox, điểm H ứng với số a trên trục Ox. Số a là hoành độ của điểm M. Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy, điểm K ứng với số b trên trục Oy. Số b là tung độ của điểm M.
Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.
Khi đó, bộ số (a; b; c) là toạ độ của điểm M trong không gian với toạ độ Oxyz.
- Ví dụ 2
Ảnh
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 3). Gọi latex(A_1, A_2, A_3) lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) (H25). Tìm toạ độ cùa các điểm latex(A_1, A_2, A_3).
Gọi latex(A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2), A_3(x_3; y_3)); Với A(4 5; 3), đặt latex(x_A = 4, y_A = 5, z_A = 3). Ta có: + latex(x_1 = x_A = 4; y_1 = y_A = 5) và latex(z_1 = 0) (Vì latex(A_1) nằm trên mặt phẳng (Oxy)). Do đó latex(A_1(4; 5; 0)). + latex(y_2 = y_A = 5; z_2 = z_A = 3) và latex(x_2 = 0) (Vì latex(A_2) nằm trên mặt phẳng (Oyz)). Do đó latex(A_2(0; 5; 2)). + latex(x_3 = x_A = 4; z_3 = z_A = 3) và latex(y_3 = 0) (Vì latex(A_3) nằm trên mặt phẳng (Ozx)). Do đó latex(A_3(4; 0; 3)).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 4). Gọi H, K, P lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ của các điểm H, K, P.
2. Toạ độ của một vectơ
Toạ độ của một vectơ
Ảnh
2. Toạ độ của một vectơ
- HĐ3
Ảnh
- Hoạt động 3:
Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. a) Vẽ vectơ latex(vec(OM)). b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ latex(vec(OM)). * Nếu latex(vec(OM)) có toạ độ (a; b; c) thì ta viết latex(vec(OM)) = (a; b; c), trong đó a là hoành độ của vectơ latex(vec(OM)), b là tung độ của vectơ latex(vec(OM)) và c là độ cao của vectơ latex(vec(OM)).
- Chú ý
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
Trong không gian với hệ toạ đô Oxyz, ta có: * latex(vec(OM) = (a; b; c) <=> M(a; b; c)); * Vectơ đơn vị latex(veci) trên trục Ox có toạ độ là latex(veci = (1; 0; 0)); Vectơ đơn vị latex(vecj) trên trục Oy có toạ độ là latex(vecj = (0; 1; 0)); Vectơ đơn vị latex(veck) trên trục Oz có toạ độ là latex(veck = (0; 0; 1));
- Ví dụ 3
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ Oxyz, cho hai điểm M(-4; 3; -1) và N(2; -1; -3). Tìm toạ độ của các vectơ latex(vec(OM), vec(ON)).
Hình vẽ
Ta có: M(-4; 3; -1) và N(2; -1; -3). Do đó, OM = (-4; 3; -1), ON = (2; -1; -3).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho latex(vec(OA)) = (3; 1; -2). Tìm tọa độ điểm A.
- HĐ4
- Hoạt động 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ latex(vecu) (Hình 28). Hãy xác định điểm A sao cho latex(vec(OA) = vecu) (Hình 29).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
* Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của một vectơ latex(vecu) là toạ độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho latex(vec(OA) = vecu). * Nếu latex(vecu) có toạ độ (a; b; c) thì ta viết latex(vecu = (a; b; c)) trong đó a là hoành độ, b là tung độ và c là cao độ của latex(vecu).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 4: Tìm toạ độ của vectơ latex(vec(A_1A), vec(A_2A)) ở Hình 30.
Trong H30, ta có: latex(vec(A_1A) = vec(OL), vec(A_2A) = vec(OH)) mà L(0; 0; 3) và H(4; 0; 0). Do đó latex(vec(A_1A) = (0; 0; 3)) và latex(vec(A_2A) = (4; 0; 0)).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tìm tọa độ của các vectơ latex(vec(KA), vec(A_3A)) ở Hình 30.
- HĐ5
- Hoạt động 5:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ latex(vecu = (a; b; c)) (H31). Lấy điểm A sao cho latex(vec(OA) = vecu). a) Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm A. b) Biểu diễn vectơ latex(vec(OH)) qua vectơ latex(veci); vectơ latex(vec(OK)) qua vectơ latex(vecj); vectơ latex(vec(OP)) qua vectơ latex(veck). c) Biểu diễn vectơ latex(vecu) theo các vectơ latex(veci, vecj, veck).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, nếu latex(vecu = (a; b; c)) thì: latex(vecu = aveci + bvecj + cveck). Ngược lại, nếu latex(vecu = aveci + bvecj + cveck) thì: latex(vecu = (a; b; c)).
- Ví dụ 5
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 5: Trong không với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và vectơ latex(vecu = (3; -4; 2)). Biểu diễn mỗi vectơ sau theo các vectơ latex(veci, vecj, veck). a) latex(vec(OA)). b) latex(vecu).
a) Vì điểm A có toạ độ là (1; 2; -3) nên latex(vec(OA) = (1; 2; -3)). Do đó, latex(vec(OA) = 1veci + 2vecj + (-3)veck = veci + 2vecj - 3veck). b) Vì latex(vecu = (3; -4; 2)) nên latex(vecu = 3veci + (-4)vecj + 2veck = 3veci - 4vecj + 2veck).
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ latex(vec(OB) = -veci + 2veck) và vectơ latex(vecv = -7vecj + veck). Hãy tìm tọa độ của: a) Điểm B; b) Vectơ latex(vecv).
- HĐ6
Ảnh
Ảnh
- Hoạt động 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm latex(A(x_A; y_A; z_A)), B(x_B; y_B; z_B) (Hình 32). a) Biểu diễn mỗi vectơ latex(vec(OA),vec(OB)) theo các vectơ latex(veci, vecj, veck). b) Tìm liên hệ giữa latex(vec(AB)) và latex((x_B - x_A)veci)) latex((y_B - y_A)vecj + (z_B - z_A)veck) c) ) Từ đó, tìm tọa độ của vectơ latex(vec(AB)).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm latex(A(x_A; y_A; z_A)) và latex(B(x_B; y_B; z_B)). Khi đó, ta có: latex(vec(AB) = (x_B - x_A; y_B - y-A; z_B - z_A)).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh A(1; 1; -2), B(4; 3; 1) và C(-1; -2; 2). a) Tìm toạ độ của vectơ latex(vec(AB)); b) Tìm toạ độ của điểm D.
- Luyện tập 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A'(1; 0; 1), B'(2; 1; 2), D'(1; – 1; 1), C(4; 5; – 5). Tìm tọa độ đỉnh A của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Tọa độ của vectơ latex(vec(OA)) là:
A. (1; 2; 3).
B. (1; 0; 3).
C. (0; 2; 3).
D. (1; 2; 0).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; – 5), B(5; 7; – 4), C(5; 6; – 4), D'(2; 0; 2). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3; – 2 ; – 1). Gọi latex(A_1, A_2, A_3) lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Tìm toạ độ của các điểm latex(A_1, A_2, A_3).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 3. Biểu thức toạ độ của phép toán vectơ".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh