CHƯƠNG 1. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 1. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h(t) = latex(6t^3 – 81t^2 + 324t). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào thì khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Ảnh
1. Tính đơn điệu của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
1. Tính đơn điệu của hàm số
a. Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
a. Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ảnh
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. * Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi latex(x_1, x_2) thuộc K mà latex(x_1 < x_2) thì latex(f(x_1) < f(x_ 2)). * Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi latex(x_1, x_2) thuộc K mà latex(x_1 < x_2) thì latex(f(x_1) > f(x_ 2)).
+ tiếp
Ảnh
a. Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a). Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 2.
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; 1) và (5; 8), nghịch biến trên khoảng (1; 5).
- Thực hành 1
Ảnh
- Thực hành 1:
Ảnh
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở H3.
b. Tính đơn điệu của hàm số
b. Tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Cho hàm số y = f(x) = latex(x^2). a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (H4), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. b) Tính đạo hàm f'(x) và xét dấu f'(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của f'(x).
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K. Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: CMR: Hàm số g(x) = latex(x/(x - 1)) nghịch biến trên khoảng latex((1; +oo)).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Hàm số xác định trên latex((1; +oo)). Ta có g'(x) = latex(1/((x - 1)^2) < 0) với mọi x latex(in (1; +oo)). Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng latex((1; +oo)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
* Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên TXĐ của nó. * Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Bước 3: Xét dấu f'(x) và lập bảng biến thiên. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) latex(f(x) = -x^3 + 3x^2); b) latex(g(x) = x + 1/x); c) latex(h(x) = x^3).
- Mẫu:
a) Xét hàm số f(x) = latex(-x^3 + 3x^2). TXĐ: D = R. Ta có f'(x) = latex(-3x^2 + 6x); f'(x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2. Bảng biến thiên:
Ảnh
Vậy H/s f(x) = latex(-x^3 + 3x^2) đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên các khoảng latex((-oo; 0)) và latex((2; +oo)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) latex(>= 0) với mọi latex(x in K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K. b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) latex(<= 0) với mọi latex(x in K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K. c) Nếu f'(x) = 0 với mọi latex(x in K) thì hàm số không đổi trên K.
- Thực hành 2
Ảnh
- Thực hành 2:
Xét tính đơn điệu của các h/số sau: a) f(x) = latex(x^3 – 6x^2 + 9x); b) latex(g(x) = 1/x).
- Thực hành 3
Ảnh
- Thực hành 3:
CMR: Hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên R.
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Hình vẽ
Hãy trả lời câu hỏi trong phần khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của h/s h(t) = latex(6t^3 – 81t^2 + 324t) với 0 ≤ t ≤ 8.
2. Cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số
Ảnh
2. Cực trị của hàm số
a. Khái niệm cực trị của hàm số
Ảnh
a. Khái niệm cực trị của hàm số
Ảnh
HĐ2: Quan sát đồ thị của hàm số y = f(x) = latex(x^3 – 3x^2 + 1) trong Hình 5.
a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi x ≠ 0. b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi x ≠ 2. c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi x ≠ 1 hoặc f(x) < f(1) với mọi x ≠ 1.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và latex(x_0 in D). * Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0) và latex((a; b) sub D) sao cho f(x) < latex(f(x_0)) với mọi latex(x in (a; b)\{x_0}) thì latex(x_0) được gọi là một điểm cực đại, latex(f(x_0)) được gọi là giá trị cực đại của hàm số y = f(x), kí hiệu latex(y_(CĐ)). * Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0) và latex((a; b) sub D) sao cho f(x) > latex(f(x_0)) với mọi latex(x in (a; b)\{x_0}) thì latex(x_0) được gọi là một điểm cực tiểu, latex(f(x_0)) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x), kí hiệu latex(y_(CT)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số. b) Nếu latex(x_0) là một điểm cực trị (điểm cực đại , cực tiểu) của hàm số y = f(x) thì ta cũng nói hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực tiểu, cực đại) tại latex(x_0). c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm D. d) Nếu latex(x_0) là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì điểm latex(M(x_0; f(x_0))) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị được cho ở Hình 7.
Hình vẽ
- Giải:
Hàm số y = f(x) có: * x = 1 là điểm cực đại vì f(x) < f(1) với mọi latex(x in (0; 2) \ {1}, y_(CĐ) = f(1) = 5); * x = 6 là điểm cực đại vì f(x) < f(6) với mọi latex(x in (5; 7) \ {6}, y_(CĐ) = f(6) = 6); * x = 4 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(4) với mọi latex(x in (3; 5) \ {4}, y_(CT) = f(4) = 1);
- Thực hành 4
Ảnh
- Thực hành 4:
Ảnh
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8.
b. Tìm cực trị của hàm số
Ảnh
b. Tìm cực trị của hàm số
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho H/s y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0), có đạo hàm trên các khoảnng latex((a; x_0)) và latex((x_0; b)). Khi đó: * Nếu f'(x) < 0 với mọi latex(x in (a; x_0)) và f'(x) > 0 với mọi latex(x in (x_0; b)) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm latex(x_0). * Nếu f'(x) > 0 ới mọi latex(x in (a; x_0)) và f'(x) > 0 với mọi latex(x in (x_0; b)) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm latex(x_0).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số latex(f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 1).
- Giải:
Tập xác định: D = R. Ta có f'(x) = latex(6x^2 - 18x - 24); f'(x) = 0 latex(<=> x = -1) hoặc x = 4. Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại là f(-1) = 14; hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, giá trị cực tiểu là f(4) = -111.
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước:
Ảnh
Bước 1: Tìm TXĐ D của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. Bước 3: Lập bảng biên thiên của hàm số. Bước 4: Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm cực trị của hàm số latex(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 4).
- Giải:
Tập xác định: D = R. Ta có f'(x) = latex(3x^2 - 6x + 3); f'(x) = 0 latex(<=> x = 1). Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có cực trị.
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Nếu f'latex((x_0)) = 0 và f'(x) không đổi dấu khi x qua điểm latex(x_0) thì hàm số có cực trị tại latex(x_0). b) Nếu f'(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f(x) không có cực trị trên khoảng đó.
Ảnh
- Thực hành 5
Ảnh
- Thực hành 5:
Tìm cực trị của hàm số g(x) = latex((x^2 - x + 4)/(x + 1)).
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi h/s y = h(x) = latex(- 1/1320000 x^3 + 9/3520 x^2 - 81/44 x + 840) với latex(0 <= x <= 2000). Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đọan [0; 2000].
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
- Bài 1
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
Ảnh
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau: a) latex(y = 4x^3 + 3x^2 -36x + 6); b) latex(y = (x^2 - 2x - 7)/(x - 4)).
- Bài 3
Bài 3: Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 1. Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số".
- Cảm ơn
Ảnh