CHƯƠNG I. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG I. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (0 ≤ x ≤ 300) được cho bởi hàm số y = latex(– x^3 + 300x^2) (đơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hình 1.
- Khởi động:
Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm y' có mối liên hệ với nhau như thế nào?
1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Ảnh
1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động 1:
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K ⊂R, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. b) Cho hàm số y = f(x) = latex(x^2) có đồ thị như Hình 2.
* Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó. * Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 2x. * Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = latex(x^2) và dấu của đạo hàm f'(x) = 2x trên mỗi khoảng (– ∞; 0), (0; + ∞).
+ tiếp
- Hoạt động 1:
Ảnh
b) Cho hàm số y = f(x) = latex(x^2) có đồ thị như Hình 2.
Hoàn thành bảng biến thiên sau:
Ảnh
- Định lí
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập latex(K sub R), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. * Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. * Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số y = f(x) còn được gọi là đơn điệu trên tập latex(K sub R).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số latex(y = -2x^2 + 4x + 3)
* Hàm số đã cho có tập xác định là R. * Ta có: y' = -4x + 4 y' = 0 latex(<=> -4x + 4 = 0 <=> x = 1). Ta có bảng xét dấu của y' như sau:
- Giải:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng latex((-oo; 1)); nghịch biến trên khoảng latex((1; +oo)).
Ảnh
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1).
* Hàm số đã cho có tập xác định là R. * Ta có: y' = latex(3x^2 - 6x - 9); y' = latex(0 <=> 3x^2 - 6x - 9 = 0 <=> x = -1) hoặc x = 3. Bảng biến thiên của hàm số như sau:
- Giải:
Ảnh
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng latex((-oo; -1)) và latex((3; +oo)); nghịch biến trên khoảng (-1; 3).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = latex(4/3x^3 - 2x^2 + x - 1)
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = x^4 + 2x^2 - 3)
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = LATEX(x^3). b) Xét dấu của đạo hàm f'(x) = latex(3x^2). c) Phương trình f'(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập K latex(sub) R, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu f'(x) latex(>=)0 (hoặc f'(x) latex(<= 0)) với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = - 1/3x^3 +x^2 -x + 5).
* Hàm số đã cho có tập xác định là R. * Ta có: y' = latex(-x^2 +2x - 1 = -(x - 1)^2) y' latex(<= 0) với mọi x latex(in R) và y' = 0 latex(<=> x = 1). Bảng biến thiên của hàm số như sau:
- Giải:
Vậy hàm số trên nghịch biến trên khoảng latex((-oo; +oo)).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Chứng minh rằng hàm số latex(y = sqrt(x^2 +1)) nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = (x^2 + 4)/x).
* Hàm số đã cho có tập xác định là R \ {0}. * Ta có: y' = latex((x^2 + 4)/x) với latex(x !=0); y' latex(= 0 <=> x^2 - 4 = 0 <=> x =-2) hoặc x = 2. Bảng biến thiên của hàm số như sau:
- Giải:
Ảnh
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng latex((-oo; -2)) và latex((2; +oo)); nghịch biến trên mỗi khoảng (-2; 0) và (0; 2).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = (2x - 1)/(x + 2)).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước: * Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x). * Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm latex(x_i) (i = 1, 2, ...n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. * Bước 3: Sắp xếp các điểm latex(x_i) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. * Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ảnh
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
Ảnh
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
- HĐ3
Ảnh
Ảnh
- Hoạt động 3:
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) = – x3 – 3x2 + 3 ở Hình 3, so sánh: a) f(– 2) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2; b) f(0) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Ảnh
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Nếu latex(x_0) là một điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì người ta nói rằng hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm latex(x_0). Khi đó, điểm latex(M(x_0; f(x_0))) được gọi là điểm cực trị của đồ thị h/số y = f(x).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) = latex(-x^3 + 3x) ở Hình 4, hãy chỉ ra các điểm cực trị của hàm số đó.
- Giải:
Ảnh
* Xét khoảng latex((-sqrt3; 0)) chứa điểm x = -1 . Quan sát đồ thị của h/s y = f(x) = latex(-x^3 + 3x) ở Hình 4 ta thấy: f(x) > f(-1) với mọi latex(x in (-sqrt3; 0)) và latex(x != - 1). Vậy x = -1 là điểm cực tiểu của h/s y = f(x). * Xét khoảng latex((0; sqrt3)) chứa điểm x = 1 . Quan sát đồ thị của h/s y = f(x) = latex(-x^3 + 3x) ở Hình 4 ta thấy: f(x) < f(1) với mọi latex(x in (0; sqrt3)) và latex(x != 1). Vậy x = 1 là điểm cực tiểu của h/s y = f(x).
- HĐ4
- Hoạt động 4:
Ảnh
Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết: a) LATEX(x_0) có là điểm cực đại của hàm số f(x) hay không; b) latex(x_1) có là điểm cực tiểu của hàm số h(x) hay không.
Ảnh
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0) và có đạo hàm trên các khoảng latex((a; x_0)) và latex((x_0; b)). Khi đó a) Nếu f'(x) < 0 với mọi latex(x in (a; x_0)) và f'(x) > 0 với mọi latex(x in (x_0; b)) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm latex(x_0). b) Nếu f'(x) > 0 với mọi latex(x in (a; x_0)) và f'(x) < 0 với mọi latex(x in (x_0; b)) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm latex(x_0).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm điểm cực trị của hàm số latex(y = x^3 - 3x^2 - 9x +11)
* Hàm số đã cho có tập xác định là R. * Ta có: y' = latex(3x^2 - 6x - 9); y' = latex(0 <=> 3x^2 = 6x - 9 = 0 <=> x = -1) hoặc x = 3. Bảng biến thiên của hàm số như sau:
- Giải:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 3.
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Để tìm điểm cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước: * Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x). * Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm latex(x_i) (i = 1, 2, ...n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. * Bước 3: Sắp xếp các điểm latex(x_i) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. * Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau: a) y = latex(x^4 - 32x + 1); b) y = latex((3x + 5)/(x - 1)).
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Ảnh
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ∞). B. (– 1; 0). C. (– 1; 1). D. (0; 1).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2. B. 3. C. – 4. D. 0.
Ảnh
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) latex(y = -x^3 + 2x^2 - 3); b) latex(y = x^4 + 2x^2 + 5); c) latex(y =(3x + 1)/(2 - x)); d) latex(y = (x^2 - 2x)/(x +1)).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: " Chương I. Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh