CHƯƠNG VIII. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VIII. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
TOÁN HỌC 8
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Hình 37 minh họa một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức latex((CM)/(CN)=(AM)/(AN)).
Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức latex((CM)/(CN)=(AM)/(AN))?
Hình thành kiến thức
- Hoạt động 1
- Hoạt động 1:
Ảnh
Trong Hình 38, tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC. Giả sử mỗi ô vuông của lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm. a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC. b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC. c) So sánh các tỉ số latex((DB)/(DC), (AB)/(AC)).
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
- Chứng minh định lí
Ảnh
Ảnh
GT
KL
latex(DeltaABC) AD là đường phân giác của góc BAC (latex(D in BC))
latex((DB)/(DC) =(AB)/(AC))
Hình vẽ
Chứng minh:
Hình vẽ
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E. Ta có latex(angle(BAE)= angle(CAE)) (giả thiết). Vì BE // AC nên latex(angle(BAE)= angle(CAE)) (hai góc so le trong) => latex(angle(BAE)= angle(BEA)). Do đó latex(DeltaABE) cân tại B => BE = AB (1) Áp dụng hệ quả của định lí Thalès đối vớilatex(DeltaADC) ta có: latex((DB)/(DC) =(BE)/(AC)) (2) => (1), (2) => latex((DB)/(DC) =(AB)/(AC))
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Quan sát Hình 40. a) Tính latex(x/y); b) Tính x, y biết x + y = 9.
Ảnh
Giải:
Ảnh
a) Xét latex(DeltaABC) có AD là đường phân giác của góc BAC nên latex((DB)/(DC) = (AB)/(AC)) (t/c đường phân giác) => latex(x/y = 6/10 = 3/5). b) Ta có latex(x/y = 3/5) => latex(x/3 = y/5). Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: latex(x/3 = y/5 = (x+y)/(3 + 5) = 9/8). => latex(x = 3. 9/8 = 27/8, y = 5 . 9/8 = 45/8).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, CA = 8, AD là một đường phân giác và I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó (Hình 41). Tính DB và latex((ID)/(IA)).
Ảnh
Giải:
Ảnh
Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc latex((DB)/(DC) = (AB)/(AC)). => latex((DB)/(DC) = 4/8 = 1/2), do đó latex((DB)/1 = (DC)/2). Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: latex((DB)/1 = (DC)/2 = (DB + DC)/(1+2) = 6/3 = 2) => DB = 2. Xét tam giác ABD có BI là đường phân giác của góc ABD nên latex((ID)/(IA) = (BD)/(BA)) => latex((ID)/(IA) = 2/4 = 1/2).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi MD, ME lần lượt là đường phân giác của các tam giác AMB và AMC. Giả sử DE cắt AM tại I. Chứng minh DE // BC và I là trung điểm của DE.
Ảnh
+ Giải
Ảnh
Ảnh
Giải:
Xét tam giác AMB có MD là đường phân giác của góc AMB nên latex((DA)/(DB) = (MA)/(MB)). Xét tam giác AMC có ME là đường phân giác của góc AMC nên latex((EA)/(EC) = (MA)/(MC)). Mà MB = MC nên latex((MA)/(MB) = (MA)/(MC)) => latex((DA)/(DB) = (EA)/(EC)). => DE // BC (định lí Thalès đảo trong latex(ABC)). Áp dụng hệ của định lí Thalès trong hai tam giác ABM và ACM, ta có: latex((ID)/(MB) = (AI)/(AM)) và latex((IE)/(MC) = (AI)/(AM)) => latex((ID)/(MB) = (IE)/(MC)) mà MB = MC nên ID = IE. Do đó I là trung điểm của DE.
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 1: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu. Câu 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác. Chứng minh DB < DC.
Ảnh
+ Câu 3 (- Luyện tập)
Ảnh
Câu 3: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh latex((DB)/(DC). (EC)/(EA). (FA)/(FB)=1).
Ảnh
+ Câu 4 (- Luyện tập)
Ảnh
Câu 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho latex((DB)/(DC)=(AB)/(AC)). Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC.
Ảnh
Bài tập củng cố
Bài 1 (Bài tập củng cố)
Ảnh
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh latex((EC)/(EA)=2(DM)/(DA)).
Bài 3 (Bài tập củng cố)
Ảnh
Bài 3: Quan sát Hình 43 và chứng minh latex((DB)/(DC): (EB)/(EG)=(AG)/(AC)).
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Ôn lại bài vừa học. Hoàn thành bài 4, 5, 6 SGK và SBT. Chuẩn bị bài:"Chương VIII. Tam giác đồng dạng".
- Cảm ơn
Ảnh