CHƯƠNG V. BÀI 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V. BÀI 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
TOÁN 9:
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Quan sát máy cắt sắt đang hoạt động (Hình 32), ta thấy các mảnh vụn sắt chuyển động và văng ra theo phương tiếp tuyến với đường tròn mép đĩa cắt. Tiếp tuyến của đường tròn có tính chất và được nhận biết như thế nào?
Ảnh
1. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Ảnh
1. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Chương 5: Bài 3
- HĐ1
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Gọi H là hình chiếu của tâm O trên đường thẳng a (Hình 33).
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R. b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không? c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R) hay không? d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
- HĐ2
Ảnh
Ảnh
HĐ2: Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn (O; R) và a ⊥ OH (H35).
a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R. b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không? c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?
- Nhận xét
- Nhận xét:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Ảnh
Trong hình vẽ trên, đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) do OH ⊥ a tại H thuộc (O; R).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
Vì đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB ⊥ AC tại B. latex(Delta)OAB vuông tại B, theo ĐL Pythagore, ta có: latex(OA^2 = OB^2 + AB^2 => OB^2 = OA^2 – AB^2) (1) latex(Delta)OBC vuông tại B, theo ĐL Pythagore, ta có: latex(OC^2 = OB^2 + BC^2 => OB^2 = OC^2 – BC^2) (2) Từ (1), (2), ta có latex(OA^2 – AB^2 = OC^2 – BC^2). Vậy latex(OA^2 + BC^2 = OC^2 + AB^2).
Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm B. Chứng minh rằng latex(OA^2 + BC^2 = AB^2 + OC^2).
- Giải:
- Định lí
Hình vẽ
- Định lí (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn):
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
Vì IO, KM lần lượt là đường kính, bán kính của đường tròn (K) nên latex(KM = 1/2 IO). Xét tam giác IMO, ta có: đường trung tuyến MK ứng với cạnh IO bằng nửa cạnh ấy, suy ra tam giác IMO vuông tại M. Do đó IM ⊥ MO tại M, với M ∈ (O). Vậy đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
- Giải:
- Nhận xét
- Nhận xét:
Hình vẽ
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Từ Ví dụ 2, ta có thể vẽ đường thẳng đi qua điểm I và tiếp xúc với đường tròn (O) như sau:
Vẽ trung điểm K của đoạn thẳng IO; Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO, cắt đường tròn (O) tại một giao điểm M.
Khi đó đường thẳng IM là một tiếp tuyến cần vẽ.
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C. Chứng minh latex(AO^2 + BC^2 = BO^2 + AC^2).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I. Gọi d là tiếp tuyến của (O; R) tại điểm I. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O’; R’).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Chứng minh đường thẳng O’B là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Ảnh
2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Chương 5 Bài 3
- HĐ3
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (Hình 38).
a) Các tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau hay không? c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB hay không? d) Tia OM có phải tia phân giác của góc AOB hay không?
- Nhận xét
Hình vẽ
Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (hình vẽ).
- Nhận xét:
Góc AOB được gọi là góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm; góc AMB được gọi là góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Ảnh
- Định lí
Ảnh
- Định lí: (T/c của hai tt cắt nhau của một đường tròn)
Ảnh
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm; Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Nếu hai tt của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Ví dụ 3
Ảnh
Ảnh
Mẫu: a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) nên ta có OM là tia phân giác của góc AOB. Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB = R) có OM là đường phân giác nên OM cũng là đường trung trực của tam giác AOB.
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O), với A, B là tiếp điểm. a) Chứng minh OM là đường trung trực của AB. b) Tính MA và MB, biết R = 4 cm và MO = 6 cm.
- Giải:
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Biết latex(angle(AMB) = 120@). Chứng minh AB = R.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Chương 5: Bài 3
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Ròng rọc là một loại máy cơ đơn giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 41a, có một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc.
Giả sử ròng rọc được minh họa bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh họa bởi nửa đường tròn MtN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b). Chứng minh Ma // Nb.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Làm bài tập trong SGK, SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 4. Góc ở tâm. Góc nội tiếp".
Cảm ơn
Ảnh