CHƯƠNG V: BÀI 4: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V: BÀI 4: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa
Hình vẽ
Cho hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)) đều khác latex(vec(0)). Từ một điểm O bất kì ta vẽ latex(vec(OA)=vec(a)), latex(vec(OB)=vec(b)). Góc latex(angle(AOB)) với số đo từ latex(0 circ) đến latex(180 circ) được gọi là góc giữa hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)). Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)) là (latex(vec(a)),latex(vec(b))). Nếu (latex(vec(a)),latex(vec(b)))=latex(90circ) thì ta nói rằng latex(vec(a)) và latex(vec(b)) vuông góc với nhau, kí hiệu là latex(vec(a)) latex(bot) latex(vec(b)).
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(vec(a))
latex(vec(b))
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(vec(a))
latex(vec(b))
)
O
A
B
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
-Từ định nghĩa ta có (latex(vec(a)),latex(vec(b)))=(latex(vec(b)),latex(vec(a))). -Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác latex(vec(0)) luôn bằng latex(0circ). -Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác latex(vec(0)) luôn bằng latex(180circ). -Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ latex(vec(a)) hoặc latex(vec(b)) là vectơ latex(vec(0)) thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (latex(0circ) đến latex(180circ)).
Hình vẽ
Hình vẽ
(latex(vec(a)),latex(vec(b)))=latex(0circ)
latex(vec(a))
latex(vec(b))
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(vec(c))
latex(vec(d))
(latex(vec(c)),latex(vec(d)))=latex(180circ)
Chú ý:
Ví dụ 1
Bài tập kéo thả chữ
Cho hình vuông ABCD có tâm I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các góc: - a) (latex(vec(IB)), latex(vec(AB))) =|| latex(45circ)|| b) (latex(vec(IB)), latex(vec(AI))) =|| latex(90circ)|| c) (latex(vec(IB)), latex(vec(DB))) =|| latex(0circ)|| d) (latex(vec(IA)), latex(vec(IC))) = ||latex(180circ)||
Luyện tập
Hình vẽ
Cho hình vuông ABCD có tâm I a) Tính latex(angle(IDC)). b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C. c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ latex(vec(IA) và vec(AB)).
Ảnh
Ảnh
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Định nghĩa
Hình vẽ
Cho hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)) đều khác latex(vec(0)). Tích vô hướng của latex(vec(a)) và latex(vec(b)) là một số, kí hiệu là latex(vec(a)).latex(vec(b)), được xác định bởi công thức: latex(vec(a)).latex(vec(b))=|latex(vec(a))|.|latex(vec(b))|.cos(latex(vec(a)),latex(vec(b))).
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
a) Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)) bằng latex(vec(0)), ta quy ước latex(vec(a)).latex(vec(b))=0 b) Với hai vectơ latex(vec(a)) và latex(vec(b)), ta có latex(vec(a)) latex(bot) latex(vec(b)) <=> latex(vec(a)).latex(vec(b))=0 c) Khi latex(vec(a)) = latex(vec(b)) thì tích vô hướng latex(vec(a)).latex(vec(b)) được kí hiệu là latex(vec(a)^2) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ latex(vec(a)). Ta có latex(vec(a)^2) = |latex(vec(a))|.|latex(vec(a))|.coslatex(0circ)=|latex(vec(a)|^2). Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Chú ý:
Ví dụ 2
Bài kiểm tra tổng hợp
Tính các tích vô hướng:
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng: - latex(vec(AB)).latex(vec(AC)) - latex(vec(AB)).latex(vec(BC)) - -8 - latex(vec(AH)).latex(vec(BC)) - 8
false - false - false - false - false - false
false - false - false - false - false - false
Luyện tập
Hình vẽ
Một người dùng một lực latex(vec(F)) có cường độ 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100m. Tính công sinh bởi lực latex(vec(F)), biết rằng góc giữa vectơ latex(vec(F)) và hướng di chuyển là latex(45circ). (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực latex(vec(F)), độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ latex(vecF) và độ dịch chuyển latex(vecd)).
Ảnh
Ảnh
3. Tính chất của tích vô hướng
Tính chất
Hình vẽ
Với ba vectơ latex(vec(a)), latex(vec(b)), latex(vec(c)) bất kì và mọi số k, ta có: latex(vec(a)).latex(vec(b))=latex(vec(b)).latex(vec(a)); latex(vec(a)).(latex(vec(b))+latex(vec(c)))=latex(vec(a)).latex(vec(b))+latex(vec(a)).latex(vec(c)); (klatex(vec(a))).latex(vec(b))=k(latex(vec(a)).latex(vec(b)))=latex(vec(a)).(klatex(vec(b)))
Ảnh
Nhận xét
Hình vẽ
Chứng minh tương tự, ta cũng có: latex((vec(a)-vec(b))^2)= latex(vec(a)^2)- 2latex(vec(a).vec(b)) + latex(vec(b)^2); latex((vec(a)+vec(b)).(vec(a)-vec(b))=vec(a)^2-vec(b)^2
Nhận xét:
Ví dụ 3
Hình vẽ
Hình vẽ
Cho tam giác ABC. Tính cạnh AB theo hai cạnh còn lại và góc C.
Giải
Ta có latex(AB^2)= latex(vec(AB)^2)=latex((vec(CB)- vec(CA))^2)= latex(vec(CB)^2)+ latex(vec(CA)^2)- 2latex(vec(CB).vec(CA) = latex(CB^2)+ latex(CA^2)- 2CB.CA.cosC hay latex(c^2)=latex(a^2)+ latex(b^2)- 2bc.cosC.
4. Bài tập
Bài 1
Hình vẽ
Hình vẽ
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: latex(vec(AB)).latex(vec(AD)), latex(vec(AB)).latex(vec(AC)), latex(vec(AC)).latex(vec(CB)), latex(vec(AC)).latex(vec(BD))
Ta có: AC=BD=latex(sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(a^2 + a^2) = a sqrt2) +) AB latex(bot) AD => latex(vec(AB) bot) latex(vec(AD) => vec(AB). vec(AD) = 0 +) latex(vec(AB)). latex(vec(AC)) = |latex(vec(AB))|. |latex(vec(AC))|.cos(latex(vec(AB)),latex(vec(AC)))=a.latex(a sqrt2).coslatex(45circ) = latex(a^2) +) latex(vec(AC)). latex(vec(CB)) = |latex(vec(AC))|. |latex(vec(CB))|.cos(latex(vec(AC)),latex(vec(CB)))=a.latex(a sqrt2).coslatex(135circ) = -latex(a^2) +) AC latex(bot) BD => latex(vec(AC) bot) latex(vec(BD) => vec(AC). vec(BD) = 0
Giải
Bài 2
Hình vẽ
Hình vẽ
1. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD=a, AB=2a. Tính: a) latex(vec(AB)).latex(vec(AO)) b) latex(vec(AB)).latex(vec(AD))
2. Cho ba điểm O,A,B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng latex(vec(OA)).latex(vec(OB)) trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB; b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB;
Ảnh