CHƯƠNG 4: BÀI 6: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
CHƯƠNG 4: BÀI 6: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu hỏi khởi động
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Ảnh
Trong toán học, giá trị của biểu thức latex(A = |vecF|.|vec(OM)|.cosphi) (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?
Trong vật lí, nếu có một lực latex(vecF) tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình63) thì công A của lực latex(vecF) được tính theo công thức latex(A = |vecF|.|vec(OM)|.cosphi) trong đó latex(|vecF|) gọi là cường độ của lực latex(|vecF|) tính bằng Newton (N), latex(|vecOM|) là độ dài của vectơ latex(vec(OM)) tính bằng mét(m), latex(phi) là góc giữa hai vectơ latex(vec(OM)) và latex(vecF), còn công A tính bằng Jun (J).
I. Định nghĩa
1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu
Hình vẽ
I. Định nghĩa
Cho hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)) khác latex(vec0) trong mặt phẳng (Hình 64).
1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
- Góc giữa hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)) là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là (latex(vec(OA), vec(OB)). - Tích vô hướng của hai vectơ latex(vec(OA)) và latex(vec(OB)) là một số, kí hiệu latex(vec(OA). vec(OB)), được xác định bởi công thức: latex(vec(OA).vec(OB) = |vec(OA)|.|vec(OB)|.cos(vec(OA), vec(OB))).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho latex(DeltaABC) vuông cân tại A và AB = 4 cm.
a) Tính độ dài cạnh huyền BC. b) Tính latex(vec(AB).vec(AC); vec(BA). vec(BC)).
Ảnh
- Luyện tập
- Luyện tập:
Ảnh
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có latex(angleB = 30@), AB = 3cm. Tính:
latex(vec(BA).vec(BC); vec(CA).vec(CB)).
2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý
Hình vẽ
Cho hai vectơ latex(veca, vecb) khác latex(vec0). Lấy một diểm O và vẽ vectơ latex(vec(OA) = veca, vec(OB) = vecb) (Hình 65).
2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
- Góc giữa hai vectơ latex(veca, vecb), kí hiệu (latex(veca, vecb)), là góc giữa hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)). - Tích vô hướng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb), kí hiệu latex(veca.vecb), là tích vô hướng của hai vectơ latex(vec(OA)) và latex(vec(OB)). Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) là một số thực được xác định bởi công thức: latex(veca.vecb = |veca|.|vecb|.cos(veca, vecb)).
- Quy ước và chú ý
- Quy ước và chú ý:
Ảnh
Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ latex(vec0) là số 0.
- Quy ước:
- Chú ý:
+) latex((veca, vecb) = (vecb, veca)). +) Nếu latex((veca, vecb) = 90@) thì ta nói hai vectơ latex(veca, vecb) vuông góc với nhau, kí hiệu latex(veca_|_vecb) hoặc latex(vecb_|_veca). Khi đó latex(veca.vecb = |veca|.|vecb|.cos90@ = 0). +) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:
a) latex(vec(AB).vec(OC)); b) latex(vec(AB).vec(BD)); c) latex(vec(AB).vec(OD)).
Ảnh
- Luyện tập
- Luyện tập:
Ảnh
Câu 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:
a) latex(vec(CB). vec(BA)); b) latex(vec(AH). vec(BC));
II. Tính chất
- Tìm hiểu
II. Tính chất
Hình vẽ
- Tìm hiểu
Với hai vectơ bất kì latex(veca, vecb) và số thực k tùy ý, ta có:
+) latex(veca . vecb = vecb . veca) (tính chất giao hoán); +) latex(veca.(vecb + vecc) = veca . vecb + veca . vecc) (tính chất phân phối); +) latex((kveca).vecb = k(veca.vecb) = veca.(kvecb)); +) latex(veca^2 >= 0; veca^2 = 0 <=> veca = vec0).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O ta có:
a) latex(vec(OI). vec(IA) + vec(OI).vec(IB) = 0); b) latex(vec(OI). vec(IAB) = 1/2(vec(OB)^2 - vec(OA)^2)).
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính:
latex(vec(AB) . vec(AB) + vec(AB) . vec(BC))
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Hình vẽ
Câu 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì latex(veca, vecb), ta có:
latex((veca + vecb)^2 = veca^2 + 2veca.vecb + vecb^2); latex((veca - vecb)^2 = veca^2 - 2veca.vecb + vecb^2); latex((veca - vecb).(veca + vecb) = veca^2 - vecb^2);
III. Một số ứng dụng
1. Tính độ dài của đoạn thẳng
Ảnh
III. Một số ứng dụng
Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: latex(vec(AB)^2 = |vec(AB)|^2). Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: latex(AB = sqrt(vec(AB)^2)).
1. Tính độ dài của đoạn thẳng
- Nhận xét:
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: (Định lí côsin trong tam giác). Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
latex(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC.cosA).
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Hình vẽ
Câu 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore:
Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi latex(BC^2 = AB^2 + AC^2).
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
Cho hai vectơ bất kì latex(veca) và latex(vecb) khác vectơ latex(vec0). Ta có: latex(veca.vecb = 0 <=> veca _|_vecb). Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi latex(vec(AB). vec(CD) = 0). Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi latex(vecu. vecv = 0), trong đó latex(vecu != vec0, vecv != vec0), giá của vectơ latex(vecu) song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ latex(vecv) song song hoặc trùng với đường thẳng b.
- Nhận xét:
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, latex(angleA = 60@). Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE (Hình 67).
a) Tính các tích vô hướng latex(vec(AB).vec(AE), vec(AC). vec(AD)); b) Biểu diễn latex(vec(AM)) theo latex(vec(AB), vec(AC)). Từ đó chứng minh latex(AM _|_DE).
Ảnh
Bài tập
Câu 1
Bài tập:
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Nếu hai điểm M, N thỏa mãn latex(vec(MN).vec(NM) = -4) thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
A. MN = 4;
B. MN = 2;
C. MN = 16;
D. MN = 256.
Câu 2 (Bài tập)
Bài tập trắc nghiệm
Câu 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu latex(veca, vecb) khác latex(vec0) và latex((veca, vecb) < 90@) thì latex(veca.vecb < 0).
B. Nếu latex(veca, vecb) khác latex(vec0) và latex((veca, vecb) > 90@) thì latex(veca.vecb > 0).
C. Nếu latex(veca, vecb) khác latex(vec0) và latex((veca, vecb) < 90@) thì latex(veca.vecb > 0).
D. Nếu latex(veca, vecb) khác latex(vec0) và latex((veca, vecb) != 90@) thì latex(veca.vecb < 0).
Kết luận
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Ôn lại bài vừa học. Làm bài tập về nhà trong SGK bài 3, 4, 5, 6, 7, 8 (Tr.98) và SBT. Chuẩn bị bài sau: " Chương 5: Bài 1: Quy tắc cộng- Quy tắc nhân- Sơ đồ hình cây".
Cảm ơn
Ảnh