BÀI 11: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
BÀI 11: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Ảnh
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Hình vẽ
Tính góc, tích vô hướng của hai vectơ trong những trường hợp cụ thể. Công thức tọa độ của tích vô hướng, tính chất của tích vô hướng. Liên hệ khái niệm tích vô hướng với khái niệm công trong Vật lí.
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Ảnh
Hình vẽ
Trong các bài học trước, ta đã dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng, vận tốc và dùng phép toán vectơ để tính hợp lực và tổng hợp vận tốc. Bài học này tiếp tục xây dựng khái niệm tích vô hướng giữa hai vectơ - đối tượng toán học còn được dùng để định nghĩa khái niệm công sinh một lực trong Vật lí.
1. Góc giữa hai vectơ
- Hoạt động 1
1. Góc giữa hai vectơ
- Hoạt động 1:
Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(AC)). Hãy tính số đo các góc giữa latex(vec(BC)) và latex(vec(BD)), latex(vec(DA)) và latex(vec(DB)),
Ảnh
- Kết luận 1
Hình vẽ
- Kết luận 1:
Cho hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) khác latex(vec0). Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ latex(vec(AB) = vecu) và latex(vec(AC) = vecv) (H.4.40). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ latex(vecu, vecv), kí hiệu là latex((vecu, vecv)).
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý;
Hình vẽ
- Quy ước rằng góc giữa hai vectơ latex(vecu) và latex(vec0) có thể nhận một giá trị tùy ý từ latex(0@) đến latex(180@). - Nếu latex((vecu, vecv) = 90@) thì ta nói rằng latex(vecu) và latex(vecv) vuông góc với nhau, kí hiệu là latex(vecu _|_ vecv) hoặc latex(vecv_|_vecu). Đặc biệt latex(vec0) được coi là vuông góc với mọi vectơ.
Ảnh
- Câu hỏi
- Câu hỏi:
Ảnh
Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng latex(0@), bằng latex(180@).
- Ví dụ 1
Ảnh
Hình vẽ
- Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A và latex(angle(B) = 30@). Tính latex((vec(AB), vec(AC)), (vec(CA), vec(CB)), (vec(AB), vec(BC))).
Giải:
Ảnh
Ta có: - latex((vec(AB), vec(AC))= angle(BAC) = 90@). - latex((vec(CA), vec(CB)) = angle(ACB) = 60@). - latex((vec(AB), vec(BC)) = (vec(BD), vec(BC)) = 150@).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Cho tam giác đều ABC. Tính latex((vec(AB), vec(BC))).
2. Tích vô hướng của hai vectơ
- Tìm hiểu
2. Tích vô hướng của hai vectơ
- Tìm hiểu
Trong vật lí, công A của lực latex(vecF) có công thức:
Ảnh
Trong đó: - latex(|vecF|) là độ lớn của lực latex(vecF) (theo đơn vị Newton); - latex(|vec(MN)|) là độ dài của vectơ MN(theo đơn vị mét); - latex((vecF, vec(MN))) là góc giữa hai vectơ latex(vecF) và latex(vec(MN)).
A = latex(|vecF|.|vec(MN)|.cos(vecF, vec(MN)))
- Kết luận 2
- Kết luận 2
Hình vẽ
Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ không latex(vecu) và latex(vecv) là một số, kí hiệu là latex(vecu, vecv) được xác định bởi công thức:
Ảnh
latex(vecu.vecv = |vecu|.|vecv|.cos(vecu, vecv)).
- Câu hỏi 1
Ảnh
- Câu hỏi 1:
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ-không latex(vecu) và latex(vecv) là một số dương? Là một số âm.
- Chú ý
Hình vẽ
- Chú ý:
+) latex(vecu_|_vecv <=> vecu.vecv = 0). +) latex(vecu.vecv) còn được viết là latex(vecu^2) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ latex(vecu). Ta có latex(vecu^2) = latex(|vecu|.|vecu|.cos0@ = |vecu|^2).
Ảnh
- Câu hỏi 2
Ảnh
- Câu hỏi 2:
Khi nào thì latex((vecu.vecv)^2 = vecu^2 . vecv^2)?
- Ví dụ 2
Ảnh
- Ví dụ 2
Hình vẽ
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau: latex(vec(AB).vec(AD), vec(AB).vec(AC), vec(AB).vec(BD)).
Giải:
Vì latex(vec(AB).vec(AD) = 90@) nên latex(vec(AB).vec(AD)= 0). Hình vuông có cạnh bằng a nên có đường chéo bằng latex(asqrt(2)). Mặt khác, latex(vec(AB).vec(AC) = 45@, (vec(AB).vec(BD)) = 135@), do đó: latex(vec(AB).vec(AC) = AB.AC.cos45@ = a.asqrt(2).(sqrt2/2)=a^2); latex(vec(AB).vec(BD) = AB.BD.cos135@ = a.asqrt(2).(-sqrt2/2)=-a^2);
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2
Ảnh
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = C. Hãy tính latex(vec(AB).vec(AC)) theo a, b, c.
3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
- Hoạt động 2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hai vectơ cùng phương latex(vecu = (x;y)) và latex(vecv = (kx;ky)). Hãy kiểm tra công thức: latex(vecu.vecv = k(x^2 + y^2)) theo từng trường hợp sau:
a) latex(vecu = vec0). b) latex(vecu != vec0) và latex(k>=0); c) latex(vecu != vec0) và latex(k<0).
3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
- Hoạt động 3
Ảnh
- Hoạt động 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương latex(vecu = (x;y)) và latex(vecv) = (x';y').
a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho latex(vec(OA) = vecu, vec(OB) = vecv). b) Tính latex(OB^2, OA^2) theo tọa độ của A và B. c) Tính latex(vec(OA).vec(OB)) theo tọa độ của A, B.
- Kết luận 3
Hình vẽ
- Kết luận 3:
Tích vô hướng của hai vectơ latex(vecu = (x;y)) và latex(vecv) = (x';y') được tính theo công thức:
Ảnh
latex(vecu.vecv) = xx' + yy'
- Nhận xét
Hình vẽ
- Nhận xét
- Hai vectơ latex(vecu, vecv) vuông góc với nhau khi và chỉ khi xx' + yy' = 0. - Bình phương vô hướng của latex(vecu(x;y)) là latex(vecu^2 = x^2 + y^2). - Nếu latex(vecu != vec0) và latex(vecv != vec0) thì latex(cos(vecu, vecv) = (vecu.vecv)/(|vecu|.|vecv|) = (x x + yy)/(sqrt(x^2 + y^2) . sqrt(x^2 + y^2))).
'
'
'
'
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
- Ví dụ 3:
Hình vẽ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: a) latex(vecu = (2;-3)) và latex(vecv = (5;3)); b) Hai vectơ đơn vị latex(veci) và latex(vecj) tương ứng của các trục Ox, Oy.
Giải:
a) Ta có: latex(vecu.vecv = 2.5 + (-3).3 = 10 - 9 = 1). b) Vì latex(veci = (1;0)) và ;latex(vecj = (0;1)) nên latex(veci.vecj = 1.0 + 0 .1 = 0).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ latex(vecu = (0;-5), vecv = (sqrt(3);1)).
- Hoạt động 4
Ảnh
- Hoạt động 4:
Cho 3 vectơ latex(vecu = (x_1;y_1), vecv = (x_2;y_2), vecw = (x_3;y_3)).
a) Tính latex(vecu.(vecv+vecw), vecu-vecv + vecu.vecw) theo tọa độ của các vectơ latex(vecu, vecv, vecw). b) So sánh latex(vecu.(vecv+vecw)) và latex(vecu. vecv + vecu.vecw). c) So sánh latex(vecu.vecv) và latex(vecv.vecu).
- Kết luận 4
Hình vẽ
- Kết luận 4:
Tính chất của tích vô hướng:
+) latex(vecu.vecv = vecv.vecu) (TC giao hoán); +) latex(vecu.(vecv + vecw) = vecu.vecv + vecu. vecw) (TCPP đối với phép cộng) +) latex((kvecu).vecv=k(vecu.vecv) = vecu.(kvecv)).
Với ba vectơ latex(vecu, vecv, vecw) bất kì và mọi số thực k, ta có:
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
- Ví dụ 4:
Hình vẽ
Cho tam giác ABC vuông tại A có latex(angleB=60@). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên các cạnh BC, AC lần lượt lấy các điểm P, Q. Chứng minh rằng latex(angle(PMQ) = 90@) khi và chỉ khi BP + latex(sqrt(3)CQ) = BC.
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng latex(vec(AH).vec(BC) = 0) và latex(vec(BH). vec(CA) = 0). b) Tìm tọa độ của H. c) Giải tam giác ABC.
Ảnh
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Một lực latex(vecF) không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực latex(vecF) được phân thành hai lực thành phần là latex(vecF_1) và latex(vecF_2 (vecF = vecF_1 + vecF_2)).
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực latex(vecF) bằng tổng của các công sinh bởi các lực latex(vecF_1) và latex(vecF_2). b) Gỉa sử các lực thành phần latex(vecF_1, vecF_2) tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực latex(vecF) và latex(vecF_1).
Luyện tập
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) trong mỗi trường hợp sau:
a) latex(veca = (-3;1), vecb = (2;6)); b) latex(veca = (3;1), vecb = (2;4)); c) latex(veca = (sqrt(-2);1), vecb = (2;sqrt(-2)));
Bài 2
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2:
Tìm điều kiện của latex(vecu, vecv) để:
a) latex(vecu.vecv = |vecu|.|vecv|); b) latex(vecu.vecv = -|vecu|.|vecv|);
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 12: Số gần đúng và sai số".
- Kết luận
Ảnh