CHƯƠNG IV. BÀI 12. TÍCH PHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IV. BÀI 12. TÍCH PHÂN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Ảnh
1. Khái niệm tích phân
Khái niệm tích phân
Ảnh
1. Khái niệm tích phân
a. Diện tích hình thang cong
a. Diện tích hình thang cong
Ảnh
Hình vẽ
Hình thang cong: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b] gọi là một hình thang cong.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không?
- Giải:
Hình 4.3a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = latex(x^2), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Hình 4.3b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị latex(y= x^3), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
- HĐ1
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4) a) Tính diện tích S của T khi t = 4. b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4]. c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).
- HĐ2
Ảnh
HĐ2: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.
a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).
Ảnh
Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) - S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó, suy ra: latex(0<= (S(x + h) - S(x))/h - x^2 <= 2xh + h^2)
+ tiếp
HĐ2: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này. b. Cho h < 0 sao cho x +h > 1. Tương tự phần a, đánh hía hiệu S(x) - S(x + h) và từ đó suy ra latex(2xh + h^2 <= (S(x + h) - S(x))/h - x^2 <= 0). c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi latex(h !=0), ta có: latex(|(S(x + h) - S(x))/h - x^2| <= 2x|h| + h^2)). Từ đó chứng minh S'(x) = latex(x^2, x in (1; 2)). d) Từ kết quả của phần c, ta có S(x) = latex((x^3)/3 + C). Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S. Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x2 trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 2: Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = latex(x^3), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
Một nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^3) là F(x) = latex((x^4)/4). Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là: S = latex(F(2) - F(1) = (2^4)/4 - (1^4)/4 = 15/4).
- Giải:
b. Định nghĩa tích phân
b. Định nghĩa tích phân
Ảnh
Hình vẽ
HĐ3: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là latex(int_a^b f(x) dx).
- Chú ý
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tính: a) latex(int_(-1)^3 x^2dx); b) latex(int_0^(pi/6) costdt); c) latex(int_0^(pi/4) (du)/(cos^2u)); d) latex(int_1^2 2^x dx).
- Mẫu:
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Tính: a) latex(int_0^1 e^x dx); b) latex(int_1^e 1/x dx); c) latex(int_0^(pi/2) sinx dx); d) latex(int_(pi/6)^(pi/3) (dx)/(sin^2x));
- Ý nghĩa hình học của tích phâna
- Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân latex(int_a^b f(x) dx) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) latex(int_0^1 (x + 1)dx); b) latex(int_(-1)^1 sqrt(1 - x^2) dx).
Ảnh
- Mẫu:
a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông OABC, có đáy nhỏ OC = 1, đáy lớn AB = 2 và đường cao OA = 1. Do đó: latex(int_0^1(x + 1)dx = S_(OABC) = 1/2 (OC + AB) .OA) latex(= 1/2(1 + 2) . 1 = 3/2).
- Luyện tâp 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) latex(int_1^3 (2x + 1)dx); b) latex(int_(-2)^2 sqrt(4 - x^2) dx).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Tính chất cơ bản của tích phân
Ảnh
2. Tính chất cơ bản của tích phân
- HĐ4
Ảnh
Hình vẽ
HĐ4: Tính và so sánh: a) latex(int_0^1 2xdx) và latex(2int_0^1 xdx). b) latex(int_0^1(x^2 + x)dx) và latex(int_0^1 x^2dx + int_0^1 xdx). c) latex(int_0^3 xdx) và latex(int_0^1xdx + int_1^3xdx).
- Tính chất của tích phân
Ảnh
- Tính chất của tích phân:
Ảnh
1) latex(int_a^b kf(x) dx = kint_a^b f(x) dx) (k là hằng số); 2) latex(int_a^b[f(x) + g(x)]dx = int_a^b f(x)dx + int_a^b g(x) dx); 3) latex(int_a^b[f(x) - g(x)]dx = int_a^bf(x)dx - int_a^bg(x)dx); 4) latex(int_a^bf(x)dx = int_a^c f(x)dx + int_c^bf(x)dx (a < c < b)).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tính: a) latex(int_1^4 (x^3 + 3sqrtx)dx); b) latex(int_0^(pi/2) (e^x - 2cosx)dx); c) latex(int_1^4(2^x - 3/(x^2))dx).
- Mẫu:
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3
Tính các tích phân sau: a) latex(int_0^(2pi) (2x + cosx)dx); b) latex(int_1^2 (3^x - 3/x)dx); c) latex(int_(pi/6)^(pi/3) (1/(cos^2x) - 1/(sin^2x)) dx).
- Ví dụ 6
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 6: Tính latex(int_0^3|x - 2|dx).
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính latex(int_0^3|2x - 3|dx).
- Vận dụng 2
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng 2:
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là latex(1/(b - a) int_a^b f(x) dx). Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) latex(int_1^2(2x + 1)dx); b) latex(int_(-3)^3 sqrt(9 - x^2) dx).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Tính: a) latex(int_0^3 (3x - 1)^2 dx); b) latex(int_0^(pi/2) (1 + sinx)dx); c) latex(int_0^1 (e^(2x) + 3x^2) dx); d) latex(int_1^2 |2x + 1| dx);
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0005x + 12,2. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm. a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 SP. b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 SP.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân".
Cảm ơn
Ảnh