CHƯƠNG IV. BÀI 3. TÍCH PHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG IV. BÀI 3. TÍCH PHÂN
Khởi động
Khởi động
Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Làm thế nào để tính diện tích của logo?
- Khởi động:
Ảnh
Ảnh
1. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa tích phân
Ảnh
1. Định nghĩa tích phân
a. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân
Ảnh
a. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân
HĐ1: Cho hàm số y = f(x) = latex(x^2). Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả các điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho 1 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ x2 (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = latex(x^2), trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Người ta có thể chứng minh được rằng latex(limS_n = F(b) - F(a)) với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu F(b) - F(a) được gọi là diện tích hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
Ví dụ: Ở H6, ta có: latex(S_(hìnhthang co ng AMNB) = F(b) - F(a)) với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho đồ thị H/S y = f(x) = x + 1 latex((x in [0; 1])). Xét hình thang vuông OMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = x + 1, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 (H7). a) Tính diện tích hình thang vuông OMNB. b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + 1 trên đoạn [0; 1]. Tính F(1) - F(0). Từ đó hãy chứng tỏ rằng: latex(S_(hìnhthang vuông OMNB))= F(1) - F(0).
+ Giải (- Ví dụ 1)
Ảnh
- Giải:
a) Ta có: latex(S_(h Inhthang vuông OMNB) = 1/2 . (OM + BN).OB = 1/2. (1 + 2) . 1 = 3/2). b) Ta có: latex(int(x + 1)dx = intxdx + int1dx = (x^2)/2 + x + C). Như vậy F(x) = latex((x^2)/2 + x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + 1 trên đoạn [0; 1]. Khi đó: F(1) - F(0) = ((1^2)/2 + 1) - ((0^2)/2 + 0) = 3/2). Vậy latex(S_(hình thang vuông OMNB) = F(1) - F(0)).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 2x (x ∈ [0; 2]). Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = 2x, trục Ox và đường thẳng x = 2. a) Tính diện tích tam giác vuông OAB. b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên đoạn [0; 2]. Tính F(2) – F(0). Từ đó hãy CMR: latex(S_(tam giác vuông OAB)) = F(2) – F(0).
b. Định nghĩa và tích phân
b. Định nghĩa và tích phân
HĐ2: Cho hàm số f(x) = latex(x^2). a) Chứng tỏ F(x) = latex((x^3)/3; G(x) = (x^3)/3 + C)) là các nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^2). b) CMR: F(b) – F(a) = G(b) – G(a), tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là latex(int_b^a)f(x)dx.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính: a) latex(int_2^3 6xdx); b) latex(int_0^1 e^tdt).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tính: latex(int_0^pi cosu)du.
2. Tính chất của tích phân
Tính chất của tích phân
Ảnh
2. Tính chất của tích phân
- HĐ3
Ảnh
- Hoạt động 3:
So sánh: latex(int_0^1 2xdx) và latex(2int_0^1xdx).
- Tính chất 1
Ảnh
- Tính chất 1:
Ảnh
Hình vẽ
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: latex(int_a^bkf(x)dx = kint_a^bf(x)dx) (k hằng số).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho latex(int_0^(pi/2) cosxdx = 1). Tính latex(int_0^(pi/2) 2cosxdx = 1)
- Giải:
latex(int_0^(pi/2) 2cosxdx = 2int_0^(pi/2) cosxdx) = 2 . 1 = 2.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho latex(int_0^pi sinxdx = 2) Tính latex(int_0^pi 4/3sinxdx).
- HĐ4
Ảnh
- Hoạt động 4:
So sánh: a) latex(int_0^1 (2x + 3)dx) và latex(int_0^1 2xdx + int_0^1 3dx). b) latex(int_0^1 (2x - 3)dx) và latex(int_0^1 2xdx - int_0^1 3dx).
- Tính chất 2
Ảnh
- Tính chất 2:
Hình vẽ
Cho HS y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: * latex(int_a^b)[f(x) + g(x)]dx = latex(int_a^b)f(x)dx + latex(int_a^b)g(x)dx; * latex(int_a^b)[f(x) - g(x)]dx = latex(int_a^b)f(x)dx - latex(int_a^b)g(x)dx;
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tính latex(int_0^1(x^2 + x)dx).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính: latex(int_1^2(x^3- x)dx).
- HĐ5
Ảnh
- Hoạt động 5:
So sánh: latex(int_0^1 2xdx + int_1^2 2xdx) và latex(int_0^2 2xdx).
- Tính chất 3
Ảnh
- Tính chất 3:
Hình vẽ
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tuỳ ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: latex(int_a^b f(x) = int_x^c f(x)dx + int_c^b f(x)dx).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Tính latex(int_(-1)^1|x|dx).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tính: latex(int_1^3|x- 2|dx).
3. Tích phân của một hàm số sơ cấp
Tích phân của một hàm số sơ cấp
Ảnh
3. Tích phân của một hàm số sơ cấp
a. Tích phân của hàm số luỹ thư
a. Tích phân của hàm số luỹ thừa
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Hình vẽ
* latex(intsinxdx = -cosx + C); * latex(int1/(sin^2x)dx = -cotx + C). * latex(intcosxdx = sinx + C); * latex(int1/(cos^2x)dx = tanx + C).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
- Luyên tâp 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Tính: a) latex(int_1^3 1/(x^3)) dx; b) latex(int_1^3 x^(2/3)) dx; c) latex(int_1^8 sqrtx) dx.
b. Tích phân của hàm số latex(f(x) = 1/x)
b. Tích phân của hàm số latex(f(x) = 1/x)
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Tính latex(int_(-e)^(-1) 2/xdx).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Tính: latex(int_1^e 7/(3x)dx).
c. Tích phân của hàm số lượng giác
c. Tích phân của hàm số lượng giác
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Tính: a) latex(int_0^(pi/4)(sinx + cosx)dx); b) latex(int_(pi/6)^(pi/4)(1/(sin^2x) - 1/(cosx^2x))dx).
- Mẫu:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 8
- Luyện tập 8:
Ảnh
Tính: a) latex(int_0^(pi/4)(3sinx - 2cosx)dx); b) latex(int_(pi/6)^(pi/3)(2/(sin^2x) - 3/(cos^2x))dx).
4. Tích phân của hàm số mũ
Tích phân của hàm số mũ
Ảnh
4. Tích phân của hàm số mũ
- Nhận xét & chú ý
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét & Chú ý:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Tính: a) latex(int_0^1 2^xdx); b) latex(int_0^1 (3.2^x - e^x)dx).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 9
- Luyện tập 9:
Ảnh
Tính: a) latex(int_0^1 3^xdx); b) latex(int_0^1(2.3^x-5e^x)dx);
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Tích phân latex(int_2^3 1/(x^2)dx) có giá trị bằng:
A. latex(1/6)
B. latex(-1/6)
C. latex(19/648)
D. latex(-19/648)
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho latex(int_(-2)^3f(x)) dx = -10, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 3], F(3) = – 8. Tính F(– 2).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một vật chuyển động với VT được cho bởi đồ thị ở Hình 9. a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên. b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh