BÀI 9: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
BÀI 9: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Ảnh
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Hình vẽ
Thực hiện phép nhân vectơ với một số. Mô tả các mối quan hệ cùng phương, cùng hướng bằng vectơ.
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Với mỗi cặp đặt trên hai đầu của một thanh đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì thanh đòn ở trang thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong những trường hợp tổng quát hơn. Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định khối tâm của một hệ chất điểm.
Ảnh
1. Tích của một vectơ với một số
- Hoạt động 1
Ảnh
1. Tích của một vectơ với một số
- Hoạt động 1:
Cho vectơ latex(vec(AB) = veca). Hãy xác định điểm C sao cho latex(vec(BC) = veca). a) Tìm mối quan hệ giữa latex(vec(AB)) và latex(veca + veca). b) Vectơ latex(veca + veca) có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với latex(veca)?
- Kết luận 1
Ảnh
- Kết luận 1:
Tích của một vectơ latex(veca != vec0) với một số thực k > 0 là một vectơ, kí hiệu là klatex(veca), cùng hướng với vectơ latex(veca) và có độ dài klatex(|veca|).
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
1latex(veca) và latex(veca) có bằng nhau hay không?
- Hoạt động 2
- Hoạt động 2:
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; latex(sqrt2; -sqrt2). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ latex(vec(OM), vec(ON)) với vectơ latex(veca = vec(OA)). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ latex(vec(OM)) và latex(vec(ON)).
Ảnh
Ảnh
- Kết luận 2
Ảnh
Tích của một vectơ latex(veca != vec0) với một số thực k < 0 là một vectơ, kí hiệu là klatex(veca), ngược hướng với vectơ latex(veca) và có độ dài bằng (-k)latex(|veca|).
- Kết luận 2:
- Chú ý
Hình vẽ
- Chú ý:
Ta quy ước klatex(veca = vec0) nếu latex(veca = vec0) hoặc k = 0. Trong Hình 4.24, hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Ta có latex(vec(GA) = -2vec(GM), vec(MN) = -1/2vec(AB)).
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Vectơ klatex(veca) có độ dài bằng latex(|k||veca|) và cùng hướng với latex(veca) nếu latex(>=)0, ngược hướng với latex(veca) nếu latex(veca != vec0) và k < 0.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
-latex(veca) và -1latex(veca) có bằng nhau hay không?
- Ví dụ 1
Ảnh
- Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) (latex(vecb != vec0)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để latex(veca = kvecb).
Giải:
Thật vậy, nếu latex(veca = kvecb) thì latex(veca) và latex(vecb) cùng phương. Ngược lại, giả sử latex(veca) và latex(vecb) cùng phương. Ta lấy k = latex((|veca|)/(|vecb|)) nếu latex(veca) và latex(vecb) cùng hướng và lấy k = latex((|veca|)/(|vecb|)) nếu latex(veca) và latex(vecb) ngược hướng. Khi đó: latex(veca = kvecb).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để latex(vec(AM) = tvec(AB)). b) Với điểm M bất kì, ta luôn có latex(vec(AM) = (AM)/(AB)vec(AB)). c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t latex(<=) 0 để latex(vec(AM) = tvec(AB)).
Ảnh
Cho đường thẳng d đi quan hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
- Hoạt động 3
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Ảnh
a) Hai vectơ k(latex(tvecu)) và (kt)latex(vecu) có cùng độ dài bằng |kt|latex(|vecu|). b) Nếu latex(kt >= 0) thì cả hai vectơ k(latex(tvecu)) và (kt)latex(vecu) cùng hướng với vectơ latex(vecu). c) Nếu latex(kt < 0) thì cả hai vectơ k(latex(tvecu)) và (kt)latex(vecu) ngược hướng với vectơ latex(vecu). d) Hai vectơ k(latex(tvecu)) và (kt)latex(vecu) bằng nhau.
- Hoạt động 3
Ảnh
Với latex(vecu != vec0) và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng? Giải thích.
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Đ
Đ
Đ
Đ
- Hoạt động 4
Ảnh
- Hoạt động 4
Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ 3latex((vecu + vecv)) và latex(3vecu + 3vecv). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa 3latex((vecu + vecv)) và latex(3vecu + 3vecv).
Ảnh
- Kết luận 3
Hình vẽ
- Kết luận 3
Với hai vectơ latex(veca, vecb) và hai số thực k, t, ta luôn có:
Ảnh
+) klatex(tveca) = (kt)latex(veca); +) (k + 1)latex(veca) = klatex(veca + tveca); +) klatex((veca + vecb) = kveca + kvecb; k(veca - vecb) = kveca - kvecb); +) 1latex(veca = veca; (-1)veca = - veca).
- Ví dụ 2
Ảnh
- Ví dụ 2
Hình vẽ
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có: latex(vec(OA) + vec(OB) = 2vec(OI)).
Giải:
Vì I là trung điểm của AB nên latex(vec(IA) + vec(IB) = vec(0)) Do đó latex(vec(OA) + vec(OB) = (vec(OI) + vec(IA)) + (vec(OI) + vec(IB))) = 2latex(vec(OI) + (vec(IA) + vec(IB)) = 2vec(OI)).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có: latex(vec(OA) + vec(OB) + vec(OC) = 3vec(OG)).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi latex(vec(IA) + vec(IB) = vec(0)). - Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi latex(vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ latex(vecu, vecv) theo hai vectơ latex(veca, vecb), tức là tìm các số x, y, z, t đề latex(vecu = xveca + yvecb), latex(vecv = tveca + zvecb).
Ảnh
- Chú ý 2
Ảnh
Ảnh
- Chú ý 2:
Cho hai vectơ không cùng phương latex(veca, vecb) (H.4.28). Khi đó, mọi vectơ latex(vecu) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ latex(veca, vecb), nghĩa là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho latex(vecu = xveca + yvecb).
- Ví dụ 3
Ảnh
- Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M để latex(vec(MA) + 3vec(MB) + 2vec(MC) = vec0).
Luyện tập
Bài 1
Bài 1:
Ảnh
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị latex(vec(AM)) theo hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(AD)).
Bài 2
Ảnh
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: latex(vec(BC) + vec(AD) = 2vec(MN) = vec(AC) + vec(BD)).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ".
- Kết luận
Ảnh