CHƯƠNG 5. BÀI 1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 5. BÀI 1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Một đại lí bảo hiểm đã thống kê số lượng khách mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày ở biểu đồ bên. Hãy so sánh độ tuổi trung bình của khách hàng nam và nữ.
Ảnh
I - Số liệu ghép nhóm
Hoạt động 1
I - Số liệu ghép nhóm
1. Hoạt động 1
Số liệu ghép nhóm Sử dụng dữ liệu ở biểu đồ trong nữ theo tuổi sau:
Ảnh
Một số loại số liệu điều tra có thể nhận rất nhiều những giá trị khác nhau, hoặc khó xác định được giá trị chính xác, ví dụ như chiều cao, cân nặng, tuổi thọ, Để thuận tiện cho việc lưu trữ và xử lí các loại số liệu này, người ta thường ghép các số liệu gần nhau lại thành nhóm.
Ảnh
Ảnh
Ta có bảng sau:
Ảnh
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau: Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
3. Chú ý
• Bảng trên gồm k nhóm [LATEX(u_j); LATEX(u_(j+1))) với 1 ≤ j ≤ k, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định. • Cỡ mẫu n = LATEX(n_1) + LATEX(n_2)+...+LATEX(n_k) • Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm "giá trị đại diện" cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm [LATEX(u_1), LATEX(u_2)) có giá trị đại diện là LATEX(1/2) (LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)) • Hiệu LATEX(u_(j+1))- LATEX(u_j) được gọi là "độ dài" của nhóm [LATEX(u_j); LATEX(u_(j+1))).
Ví dụ 1
4. Ví dụ 1
Tính giá trị đại diện và độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu ở Hoạt động 1
Giải
Ảnh
Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
5. Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy tắc sau: – Sử dụng từ k = 5 đến k = 20 nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có cùng độ dài bằng L thoả mãn R < k – Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm [LATEX(u_1); LATEX(u_2)) và càng gần u, càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu thuộc nhóm [LATEX(u_k), LATEX(u_(k+1))) và càng gần LATEX(u_(k+1)) càng tốt.
Ví dụ 2
6. Ví dụ 2
Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau: 54,2 52,3 57,9 60,7 63,6 61,8 63,4 59,5 58,8 59,4 56,8 58 55,4 62,6 45,1 46,8 54 45,5 49,6 59,1 56,2 63,2 46,1 55,3 49,7 55,8 52,6 49,2. Hãy chia mẫu dữ liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
Giải
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 63,6 – 45,1 = 18,5. Độ dài mỗi nhóm L > LATEX(R/k) = LATEX((18,5)/5) = 3,7 Ta chọn L = 4 và chia dữ liệu thành các nhóm [45; 49), [49; 53), [53; 57), [57; 61), [61; 65). Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Ảnh
Chú ý
7. Chú ý
• Các đầu mút của các nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu. • Ta hay gặp các bảng số liệu ghép nhóm là số nguyên, chẳng hạn như bảng thống kê số lỗi chính tả trong bài kiểm tra giữa học kì 1 môn Ngữ Văn của học sinh khối 11 như sau:
Ảnh
Bảng số liệu này không có dạng như Bảng 1. Để thuận lợi cho việc tính các số đặc trưng cho bảng số liệu này, người ta hiệu chỉnh về dạng như Bảng 1 bằng cách thêm và bớt 0,5 đơn vị vào đầu mút bên phải và bên trái của mỗi nhóm số liệu như sau
Ảnh
II - Số trung bình
Hoạt động 2
II - Số trung bình
1. Hoạt động 2
Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:
Ảnh
a) Tính giá trị đại diện c, 1 ≤ i ≤ 5, của từng nhóm số liệu. b) Tính LATEX(n_1)LATEX(c_1) + LATEX(n_2)LATEX(c_2) + LATEX(n_3)LATEX(c_3) + LATEX(n_4)LATEX(c_4) + LATEX(n_5)LATEX(c_5) c) Tính x ngang = LATEX((n_1c_1 + n_2c_2 + n_3c_3 + n_4c_4 + n_5c_5)/40)
Ảnh
b) Ta có: LATEX(n_1c_1 + n_2c_2 + n_3c_3 + n_4c_4 + n_5c_5) = 18,5.4 + 28,5.8 + 33,5.18 + 38,5.4 = 1200 c) LATEX((n_1c_1 + n_2c_2 + n_3c_3 + n_4c_4 + n_5c_5)/40) = LATEX(1200/40) = 30
Ta có bảng sau:
Giải
Ảnh
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x, được tính như sau: x ngang = LATEX((n_1c_1 + n_2c_2 +...+n_kc_k)/n) trong đó: n = LATEX(n_1+ n_2+...+n_k)
Ví dụ 3
3. Ví dụ 3
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau:
Ảnh
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B. b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn?
Ảnh
Giải
Ta có bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện:
Ảnh
a) Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A xấp xỉ bằng (2.152,5 + 6.157,5 + 12.162,5 + 4.167,5 + 1.172,5): 25 = 161,7 (g). Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng B xấp xỉ bằng (1.152,5 + 3.157,5 + 7.162,5 + 10. 167,5 + 4.172,5): 25 = 165,1 (g). b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng B nặng hơn cam ở lô hàng A.
Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
4. Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Thực hành 1
5. Thực hành 1
Hãy ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 trong Hoạt động 2.
Giải
Ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 là: x ngang = LATEX((n_1c_1 + n_2c_2 + n_3c_3 + n_4c_4 + n_5c_5)/40) = LATEX(1200/40) = 30 (câu hỏi)
Thực hành 2
6. Thực hành 2
Hãy ước lượng cân nặng trung bình của học sinh trong Ví dụ 2 sau khi ghép nhóm và so sánh kết quả tìm được với cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc.
Giải
Ta có bảng ghép nhóm sau:
Ảnh
Cân nặng trung bình của học sinh xấp xỉ là: x ngang = LATEX((47.4 + 51.5 + 55.7 + 59.7 + 63.5)/28) ≈ 55,6 (kg) Cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc là: LATEX((54,2 + 56,8 + 59,4 +...+ 54 + 49,2 + 52,6)/28) ≈ 53,4 (kg) Ta thấy giá trị cân nặng trung bình ước lượng gần bằng giá trị cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc.
III - Mốt
Hoạt động 3
III - Mốt
1. Hoạt động 3
Từ mẫu số liệu ở phần khởi động, hãy cho biết khách hàng nam và khách hàng nữ ở khoảng tuổi nào mua bảo hiểm nhân thọ nhiều nhất. Ta có thể biết mốt của mẫu số liệu đó không?
Giải
Ta có bảng thống kê sau:
Ảnh
Ảnh
Dựa vào bảng số liệu trên ta thấy: Đối với nam: Độ tuổi từ 40 đến 50 mua bảo hiểm nhiều nhất. Đối với nữ: Độ tuổi từ 30 đến 40 mua bảo hiểm nhiều nhất. Ta có thể biết được mốt của mẫu số liệu bằng cách như sau: Đối với nam, mốt của mẫu số liệu là: LATEX(M_0) = 40 + LATEX((10 - 6)/(10 - 6 + 10 - 7)).(50 - 40) ≈ 46 (tuổi) Đối với nữ, mốt của mẫu số liệu là: LATEX(M_0) = 30 + LATEX((9 - 3)/(9 - 3 + 9 - 6)).(40 - 30) ≈ 37 (tuổi)
Định nghĩa
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Xét mẫu số liệu cho ở dạng Bảng 1.
"Nhóm chứa mốt" của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất. Giả sử nhóm chứa mốt là [LATEX(u_m), LATEX(u_(m+1))), khi đó "mốt của mẫu số liệu ghép nhóm", kí hiệu là LATEX(M_0), được xác định bởi công thức: LATEX(M_0) = LATEX(u_m) + LATEX((n_m-n_(m-1))/((n_m-n_(m-1)) + (n_m-n_(m+1))) . (u_(m+1)-u_m))
Chú ý
Hình vẽ
3. Chú ý
Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì LATEX(n_(m-1))= 0. Nếu không có nhóm kề sau của nhóm chứa mốt thì LATEX(n_(m+1))= 0.
Ví dụ 4
4. Ví dụ 4
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Ảnh
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất?
Ảnh
Giải
a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [18,22). Do đó: LATEX(u_m) = 18, LATEX(u_(m-1)) = 78, LATEX(n_m) = 120, LATEX(n_(m+1)) = 45, LATEX(u_(m+1)) - LATEX(u_m) = 22 - 18 = 4 Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: LATEX(M_0) = 18 + LATEX((120 - 78)/((120 - 78) + (120 - 45)) ). 4 = LATEX(758/39) ≈ 19,4 b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty xây nhà ở mức giá 19,4 triệu đồng/m² thì sẽ có nhiều người có nhu cầu mua nhất.
Ý nghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
5. Ý nghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
– Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm LATEX(M_0) xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh LATEX(M_0) thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác. – Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.
Thực hành 3
6. Thực hành 3
Hãy sử dụng dữ liệu ở hoạt động khởi động để tư vấn cho đại lí bảo hiểm xác định khách hàng nam và nữ ở tuổi nào hay mua bảo hiểm nhất.
Giải
Dựa vào bảng dữ liệu ta thấy: Đối với nam ở độ tuổi từ 40 đến 50 có nhu cầu mua bảo hiểm lớn nhất đặc biệt là độ tuổi 46. Đối với nữ ở độ tuổi từ 30 đến 40 có nhu cầu mua bảo hiểm nhiếu nhất đặc biệt là độ tuổi 37.
IV - Bài tập
Bài 1
IV - Bài tập
1. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):
Ảnh
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném. b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Ảnh
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên. d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
Bài 2
2. Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
Ảnh
a) Tính số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút. b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Ảnh
c) Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài 3
3. Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:
Ảnh
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài 4
4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Ảnh
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
V - Dặn dò
- Làm bài tập trong phần IV - Bài tập - Chuẩn bị trước Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép số
Kết thúc
Ảnh