CHƯƠNG V. BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG V. BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Ảnh
Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là gì? Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?
- Khởi động:
1. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Ảnh
1. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
a. Vectơ pháp tuyến
a. Vectơ pháp tuyến
HĐ1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (Hình 2). Giá của vectơ latex(vec(A A))' có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không?
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ latex(vecn) khác latex(vec0) và latex(vec0) và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì latex(vecn) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu latex(vecn) là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì latex(kvecn (k!=0)) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
- Giải:
Vectơ latex(veck = (0; 0; 1)) có giá là trục Oz và latex(Oz _|_ (Oxy)) nên latex(veck = (0; 0; 1)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của: a) Mặt phẳng (Oyz); b) Mặt phẳng (Ozx).
b. Cặp vectơ chỉ phương
b. Cặp vectơ chỉ phương
HĐ2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ latex(vec(AB), vec(AD))' có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ latex(vec(AB), vec(AD))' và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5).
'
'
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Cho mặt phẳng (P). Hai vectơ không cùng phương có giá trị song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
- Ví dụ 2
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
c. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biê cặp vectơ chỉ phương
Ảnh
c. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biê cặp vectơ chỉ phương
HĐ3: Cho cặp vectơ chỉ phương latex(veca = (1; 0; 1), vecb = (2; 1; 0)) của MP (P). a) Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ latex(vecn (vecn != 0)) vuông góc với cả hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) (Hình 6). b) Vectơ latex(vecn) có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 3
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là latex(veca = (1; 3; 5)), latex(vecb = (-3; -1; 1)). Hãy chỉ ra môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Trong Ví dụ 3, vectơ latex(vecn)' = (1; -2; 1) có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ảnh
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- HĐ4
- Hoạt động 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (1; 2; 3)). Giả sử M(x; y; z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7). a) Tính tích vô hướng latex(vecn, vec(AM)) theo x, y, z. b) Tọa độ (x; y; z) của điểm M có thỏa mãn PT: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng (P) có PT tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó: A, B, C không đồng thời bằng 0, thì vectơ latex(vecn = (A; B; C)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Ví dụ 4
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. latex(x^2 + y + z - 1 = 0)
B. latex(x + y^2 + z - 1 = 0)
C. latex(x + y + z^2 - 1 = 0)
D. latex(x + y + z - 1 = 0)
- Ví dụ 5
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 5: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của MP (P): 2x - y + z - 1 = 0
Hình vẽ
Ta có: 2x - y + z - 1 = 0 latex(<=> 2 . x + (-1) . y + 1 . z - 1 = 0). Mặt phẳng (P) nhận latex(vecn = (2; -1; 1)) làm vectơ pháp tuyến.
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4
Ảnh
Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau: a) (P): x – y = 0; b) (Q): z – 2 = 0.
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
Ảnh
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
a. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Ảnh
a. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
HĐ5: Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)) có latex(vecn = (A; B; C)) là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (H9). a) Tính tích vô hướng latex(vecn . vec(IM)). b) Hãy biểu diễn latex(vecn . vec(IM)) theo latex(x_0, y_0, z_0, x, y, z) và A, B, C.
- Kết luận
- Kết luận:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)) và nhận latex(vecn = (A; B; C)) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) với D = latex(-Ax_0 - By_0 - Cz_0).
Hình vẽ
Ảnh
- Chú ý:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)) và nhận latex(vecn = A; B; C)) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: latex(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0)
- Ví dụ 6
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 2; 7) và nhận latex(vecn = (3; 2; 1)) làm vectơ pháp tuyến.
Hình vẽ
Phương trình mặt phẳng (P) là: 3 . (x - 1) + 2 . (y - 2) + 1 . (z - 7) = 0 latex(<=>) 3x + 2y + z - 14 = 0
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Cho hai điểm M(2; 1; 0) và N(0; 3; 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Ảnh
b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
HĐ6: Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là latex(vecu = (1; 1; 3), vecv = (2; -1; 2)) (Hình 10). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến latex(vecn) của mặt phẳng (P). b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; -2), biết vectơ pháp tuyến latex(vecn).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)) có cặp vectơ chỉ phương là latex(vecu, vecv), ta có thể làm như sau: Bước 1: Tìm latex(vecn = [vecu, vecv]). Bước 2: Lập PT mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)) nhận latex(vecn) làm vectơ pháp tuyến.
- Ví dụ 7
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 7: Lập phương trình mặt phẳng latex(alpha) đi qua điểm I(-3; 1; 0) có cặp vectơ chỉ phương là latex(vecu = (2; 1; -1), vecv = (-1; 3; 2)).
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm latex(I(x_0; y_0; z_0)). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó có cặp vectơ chỉ phương là latex(veci, vecj).
c. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Ảnh
c. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
HĐ7: Cho ba điểm H(-1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(-1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11). a) Tìm toạ độ của các vectơ latex(vec(HI), vec(HK)). Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng. b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(-1; 1; 2), biết cặp vectơ chỉ phương là latex(vec(HI), vec(HK)).
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 8
- Giải:
Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng latex((alpha)) đi qua ba điểm A(1; 0; 2), B(1; 1; 1) và C(0; 1; 2).
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 9
- Giải:
Ví dụ 9: Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với latex(abc !=0) (H121). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với latex(abc!=0) có phương trình: latex(x/a + y/b + z/c = 1). Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Luyện tập 7
- Luyện tập 7:
Ảnh
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2) và P(– 1; 0; 0).
- Luyện tập 8
- Luyện tập 8:
Ảnh
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).
4. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Ảnh
4. ĐK song song, vuông góc của hai mặt phẳng
a. Điều kiện song song của hai mặt phẳng
Ảnh
a. Điều kiện song song của hai mặt phẳng
HĐ8: Cho mặt phẳng latex((P_1)): 2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1) và mặt phẳng latex((P_2)): x + y + z - 1 = 0 (2). a) Gọi latex(vecn_1 = (2; 2; 2), vecn_2 = (1; 1; 1)) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng latex((P_1), (P_2)) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa latex(vecn_1) và latex(2vecn_2). b) Tìm các hệ số tự do latex(D_1, D_2) lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh latex(D_1) và latex(2D_2). c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng latex((P_1), (P_2)).
- Định lí
Ảnh
Ảnh
- Định lí:
- Ví dụ 9
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 9: Cho hai mặt phẳng: latex((P_1): 2x - y - 3z + 1 = 0), latex((P_2): 6x - 3y - 9z + 1 =0). Chứng minh rằng latex((P_1)) // latex((P_2)).
Hình vẽ
Hai mặt phẳng latex((P_1), (P_2)) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: latex(vecn_1 = (2; -1; -3), vecn_2 = (6; -3; -9)). Do latex(vecn_2 = 3vecn_1) và latex(D_2 != 3D_1) (vì latex(D_1 = D_2 = 1)) nên latex((P_1)) // latex((P_2)).
- Luyện tập 9
- Luyện tập 9:
Ảnh
Cho m ≠ 0. Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).
b. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng
Ảnh
b. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng
Ảnh
HĐ9: Cho mặt phẳng (P1) có phương trình tổng quát là: x + 2y + z + 1 = 0 và mặt phẳng (P2) có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + z + 5 = 0. Gọi latex(vecn_1 = (1; 2; 1), vecn_2 = (3; -2; 1)) lần là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng latex((P_1), (P_2)). Hai vectơ latex(vecn_1, vecn_2) có vuông góc với nhau hay không?
- Định lí
Ảnh
Ảnh
- Định lí:
- Ví dụ 10
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 10: Cho hai mặt phẳng: latex((P_1): x - y - 2z + 4 = 0). latex((P_2): x - y + z + 5 = 0). Chứng minh rằng latex((P_1) _|_ (P_2)).
Hình vẽ
Hai mặt phẳng latex((P_1), (P_2)) có vectơ pháp tuyến lần lượt là latex(vecn_1 = (1; -1; -2), vecn_2 = (1; -1; 1)). Vì latex(vecn_1 . vecn_2) = 1 . 1 + (-1) + (-2) . 1 = 0 nên latex(vecn_1 _|_vecn_2). Vậy latex((P_1) _|_ (P_2)).
- Luyện tập 10
- Luyện tập 10:
Ảnh
Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ảnh
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- HĐ10
Ảnh
- Hoạt động 10:
- Tổng quát
Ảnh
Ảnh
- Tổng quát:
- Ví dụ 11
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 11: Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y - z + 3 = 0 và điểm latex(M_0(3; 1; -5)). Tính khoảng cách từ điểm latex(M_0) đến mặt phẳng (P).
Hình vẽ
Khoảng cách từ điểm latex(M_0) đến mặt phẳng (P) là: latex(d(M_0, (P)) = (|2 . 3 + (-2) . 1 + (-1) . (-5) + 3|)/(sqrt(2^2 + (-2)^2 + (-1)^2))) = 4.
- Luyện tập 11
- Luyện tập 11:
Ảnh
Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng |a|, |b|, |c|.
- Luyện tập 12
- Luyện tập 12:
Ảnh
Cho mặt phẳng latex((P_1)): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng latex((P_2)): 3x – 4y + 2 = 0. a) Chứng minh rằng latex((P_1)) // latex((P_2)). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song latex((P_1)) và latex((P_2)).
6. Một số ứng dụng của phương trình mặt phẳng trong thực tiễn
Một số ứng dụng của phương trình mặt phẳng trong thực tiễn
Ảnh
6. Một số ứng dụng của phương trình mặt phẳng trong thực tiễn
- Ví dụ 12
Ảnh
Ví dụ 12: H17 minh hoạ h/ảnh hai mái nhà của một nhà kho trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất. a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà. b) Tìm toạ độ của điểm Q. c) Tìm toạ độ của vectơ latex(vec(PQ)).
- Ví dụ 13
Ảnh
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômet), một máy bay đang ở vị trí A(3; -2,5; 0,5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3; 7,5; 0) trên đường băng (H18). a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trị A hẹ cánh tại ví trí B? Biết tốc độ của máy bay là 300km/ giờ trên quãng đường AB.
b) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng latex((alpha)) đi qua ba điểm M(9; 0; 0), N(0; -9; 0), P(0; 0; 0,9). Tính độ cao của máy bay khi máy bay bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
7. Bài tập
Bài tập
Ảnh
7. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. latex(– x^2 + 2y + 3z + 4 = 0).
B. latex(2x – y^2 + z + 5 = 0).
C. latex(x + y – z^2 + 6 = 0).
D. 3x – 4y – 5z + 1 = 0.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm I(3; – 4; 1) và vuông góc với trục Ox; b) (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Ozx); c) (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0.
Bài 3
Ảnh
Ảnh
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 2. Phương trình đường thẳng".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh