CHƯƠNG 5. BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 5. BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
1. Phương trình mặt cầu trong không gian
Phương trình mặt cầu trong không gian
Ảnh
1. Phương trình mặt cầu trong không gian
a. Khái niệm mặt cầu
Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R), là tập hợp các điểm M trong không gian thoả mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.
a. Khái niệm mặt cầu
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
Cho mặt cầu(MC) S(I; R).
Nếu IM = R thì M nằm trên MC. Nếu IM < R thì M nằm trong MC. Nếu IM > R thì M nằm ngoài MC.
b. Phương trình của mặt cầu
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S(I; R) có tâm I(a; b; c) và bán kính R. Xét một điểm M(x; y; z) thay đổi. a) Tính khoảng cách IM theo x, y, z và a, b, c. b) Nêu Đk cần và đủ của x, y, z để điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu S(I; R).
b. Phương trình mặt cầu
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S): a) Có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5; b) Có đường kính AB với A(1; 3; 7) và B(3; 5; 1). c) Có tâm A(1; 0; -2) và đi qua điểm B(2; 4; 1).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) Mặt cầu (S) có PT: latex((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25). b) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2; 4; 4) là trung điểm của AB và bán kính R = JA = latex(sqrt11). Vậy (S) có PT: latex((x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 11). c) Mặt cầu (S) có tâm A(1; 0; -2) và đi qua điểm B (2; 4; 1) nên có bán kính R = AB = latex(sqrt26). Vậy (S) có phương trình: latex((x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 26).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: a) (S): latex((x - 3)^2 + (y - 7)^2 + (z + 1)^2 = 81); b) (S'): latex((x + 2)^2 + y^2 + (z- 5)^2 = 13); c) (S"): latex(x^ + y^2 + z^2 = 4);
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 7; -1) và bán kính R = latex(sqrt81 = 9). b) Mặt cầu (S') có tâm J(-2; 0; 5) và bán kính R' = latex(sqrt13). c) Mặt cầu (S") có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R" = latex(sqrt4 = 2).
- Thực hành 1
Ảnh
Viết phương trình mặt cầu (S): a) Có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10; b) Có đường kính EF với E(3; −1; 8) và F(7; −3; 0); c) Có tâm M(−2; 1; 3) và đi qua điểm N(2; −3; −4).
- Thực hành 1:
- Vận dụng 1
Ảnh
Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình latex((x – 300)^2 + (y – 400)^2 + (z – 2000)^2 = 1). Tìm tọa độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z = 0.
- Vận dụng 1:
Ảnh
- HĐ2
Ảnh
HĐ2 a) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x; y; z) thay đổi có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình latex(x^2+ y^2 + z^2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0). (*) i) Biến đổi (*) về dạng: latex((x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 25). ii) Chứng tỏ M(x; y; z) luôn thuộc mặt cầu (S). Tìm tâm và BK của (S). b) Bằng cách biến đổi PT: LATEX(x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 4y – 6z + 15 = 0) (**) về dạng LATEX((x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = −1), hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không?
b. Phương trình mặt cầu
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
Phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) với latex(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0) là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kình R = latex(sqrt(a^2 + b^2 + c^2 - d)).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 6y + 2z - 10 = 0); b) latex(x^2 + y^2 + z^2 + x + y - 6z + 33 = 0);
- Giải:
a) Phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 6y + 2z - 10 = 0) có dạng latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) với a = -4; b = 3; c = -1; d = -10. Ta có latex(a^2 + b^2 + c^2 - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0). => Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-4; 3; -1), bán kính R = 6. b) Phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 + x + y - 6z + 33 = 0) có dạng latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) với latex(a = -1/2; b = -1/2; c = 3; d = 33). Ta có latex(a^2 + b^2 + c^2 - d = 1/4 + 1/4 + 9 - 33 = - 47/2 < 0). => Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
- Thực hành 2
Ảnh
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 4z – 32 = 0); b) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y – 2z + 4 = 0).
- Thực hành 2:
2. Vận dụng của phương trình mặt cầu
Vận dụng của phương trình mặt cầu
Ảnh
2. Vận dụng của phương trình mặt cầu
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ toạ độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có PT: z = 0, đồng thời thuộc mặt cầu (S): latex(x - 32)^2 + (y - 50)^2 + (z - 10)^2 = 109 (Đv: mét). a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân. c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J.
+ Giải (- Ví dụ 4)
Ảnh
- Giải:
a) Mặt cầu (S) có phương trình latex((x - 32)^2 + (y - 50)^2 + (z -10)^2 = 109) nên có tâm I(32; 50; 10) và bán kính R = latex(sqrt109). b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng toạ độ (Oxyz), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32; 50; 10) xuống mặt sân có toạ độ J(32; 50; 0). c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ = 10, IM = R, suy ra latex(JM = sqrt(IM^2 - IJ^2) = sqrt(109 - 100) = 3). Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3 m.
- Ví dụ 5
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz (Đv: km), một tram thu phát song điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I(-6; -1; 4). a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km. Viết phương trình mặt cầu (S) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng. b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm ,(-5; -2; 5). Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S) và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không. c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm N(-1; 0; 1).
+ Giải (- Ví dụ 5)
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Mặt cầu (S) có tâm I(-6; -1; 4) và bán kính R = 2 nên có phương trình: latex((x + 6)^2 + (y +1)^2 + (z - 4)^2 = 4). b) Ta có IM = latex(sqrt3 ) Điểm M nằm trong mặt cầu (S) và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên. c) Ta có IN = LATEX(sqrt35 > R =>) Điểm N nằm ngoài mặt cầu (S) và người đó không thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên.
- Vận dụng 2
Ảnh
Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.
- Vận dụng 2:
Ảnh
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 + 1/8x - 1/8y - z + 1/16 = 0). Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S): a) Có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8; b) Có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1); c) Có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? XĐ tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 5x – 7y + z – 1 = 0); b) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 6y – 2z + 100 = 0); c) latex(x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z + 1/2 = 0).
- Bài 3
Bài 3: Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (S): latex((x – 6)^2 + (y – 6)^2 + (z – 6)^2 = 25). Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (P): z = 10. a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa. b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 6. Bài 1. Xác suất có điều kiện".
- Cảm ơn
Ảnh