CHƯƠNG V. BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG V. BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Ảnh
H38 mô tả một mặt cầu trong không gian. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
- Khởi động:
1. Định nghĩa mặt cầu
Định nghĩa mặt cầu
Ảnh
1. Định nghĩa mặt cầu
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động 1:
Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng bao nhiêu?
'
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian và cách điểm I một khoảng bằng R.
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
* Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R latex(<=>) IM = R. * Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I, bán kính R latex(<=>) IM < R. * Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I bán kính R latex(<=>) IM > R
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2; 1; 5) bán kính 3. Các đểm A(10; 1; 2), B(0; 1; 4) và C(0; 3; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?
- Giải:
Ảnh
Do latex(IA = sqrt((10 - (-2)^2) + (1 - 1)^2 + (2 - 5)^2) = sqrt153 > 3) nên điểm A(10; 1; 2) nằm ngoài mặt cầu đó. Vì latex(IB = sqrt((0 - (-2)^2) + (1 - 1)^2 + (4 - 5)^2) = sqrt5 < 3) nên điểm B(0; 1; 4) nằm trong mặt cầu đó. Do latex(IC = sqrt((0 - (-2)^2) + (3 - 1)^2 + (4 - 5)^2) = sqrt9 = 3) nên điểm C(0; 3; 4) nằm trên mặt cầu đó.
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính đường kính của mặt cầu đó.
'
2. Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu
Ảnh
2. Phương trình mặt cầu
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c). a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I. b) Nêu mối liên hệ giữa x, y, và z để điểm M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2)
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Viết phương trình của mặt cầu, biết: a) Tâm I(1; 2; 3) bán kính R = 10; b) Tâm I(3; -1; -5) và đi qua điểm B(0; 2; 1).
- Giải:
Ảnh
a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1; 2; 3) bán kính R = 10 là: latex((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 100). b) Bán kính mặt cầu là: latex(R = IB = sqrt((0 - 3)^2 + (2 + 1)^2 + (1 + 5)^2) = sqrt54). Phương trình của mặt cầu tâm I(3; -1; -5) bán kính R = latex(sqrt54) là: latex((x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z + 5)^2 = 54).
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Hình vẽ
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: latex(x^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 2).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Viết phương trình của mặt cầu, biết: a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ; b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).
'
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao? a) latex(2x^2 +y ^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z + 1 = 0). b) latex(x^2 +y ^2 - 2x + 6y - 8z - 3 = 0).
- Giải:
Ảnh
a) PT: latex(2x^2 +y ^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z + 1 = 0) không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của latex(x^2) và latex(y^2) khác nhau. b) PT: latex(x^2 +y ^2 - 2x + 6y - 8z - 3 = 0) không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức latex(z^2).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt ầu (nếu có). a) latex(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 10y - 2z + 14 = 0) a) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y - 2z + 20 = 0)
- Mẫu:
Ảnh
a) Ta có: latex(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 10y - 2z + 14 = 0) latex(<=> x^2 + y^2 + z^2 - 2.2 . x + 2. 5. y - 2 . 1. z + 14 = 0) latex(<=> (x - 2)^2 + (y + 5)^2 + (z - 1)^2 = 16). Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2; -5; 1) bán kính latex(R = sqrt16 = 4).
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Chứng minh rằng phương trình: latex(x^2 + y^2 + z^2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0) là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
'
3. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ảnh
3. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (H40) được đặt ở vị trí I(-3; 2; 7). a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3km.
b) Điểm A(-2; 1; 8) nằm trong hay nằm ngoài của mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm A(-2; 1; 8) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? c) Điểm B(2; 3; 4) nằm trong hay nằm ngoài của mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm B(2; 3; 4) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (H41) được đặt ở vị trí I(21; 35; 50). a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4km.
Ảnh
b) Nếu người đi biển ở vị trí C(42; 37; 0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không? c) Nếu người đi biển ở vị trí D(5121; 658; 0) thì có thể nhìn thấy được ánnh sáng từ ngọn hải đăng hay không?
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
'
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Tâm của mặt cầu (S): latex((x – 2)^2 + (y – 3)^2 + (z + 4)^2 = 16) có tọa độ là:
A. (– 2; – 3; 4).
B. (2; 3; – 4).
C. (2; – 3; – 4).
D. (2; – 3; 4).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2; b) (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2); c) (S) có ĐK là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương VI. Bài 1. Xác suất có điều kiện".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh