CHƯƠNG 1. BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 1. BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Hình vẽ
Khởi động
Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình s = 17 cos 5πt với 5 (cm) là toạ độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10 cm?
Ảnh
I - Phương trình tương đương
Hoạt động 1
Ảnh
I - Phương trình tương đương
1. Hoạt động 1
Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau: a) x - 1 = 0 b) LATEX(x^2) - 1 = 0 c) LATEX(sqrt(2x^2-1)) = x
Giải
a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 = {1}. b) LATEX(x^2) – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S2 = { – 1; 1}.
Ảnh
Giải
c) LATEX(sqrt(2x^2-1)) = x => LATEX(2x^2) - 1 = x => LATEX(x^2) = 1 => x = 1 hoạc x = -1 Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S3 = {1}. Ta có nhận xét: S1 = S3 ⊂ S2.
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Phương trình x² - 4 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây? a) LATEX(2x^2) = 8 b) LATEX(x^2)- 4 + LATEX(1/(x-2)) = LATEX(1/(x-2))
Giải
a) Hai phương trình x² - 4 = 0 và 2x = 8 có cùng tập nghiệm {-2; 2} nên hai phương trình này tương đương. b) Ta có x = 2 là một nghiệm của phương trình x² - 4 = 0, nhưng không là nghiệm của phương trình LATEX(x^2)- 4 + LATEX(1/(x-2)) = LATEX(1/(x-2)). Do đó hai phương trình này không tương đương với nhau
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
4. Chú ý
a) Để giải phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng sau: • Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình. • Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình. b) Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu "<=>"
Thực hành 1
Ảnh
5. Thực hành 1
Chỉ ra lỗi sai trong phép biến đổi phương trình dưới đây: x² = 2x LATEX(hArr) LATEX((x^2)/x) = 2 LATEX(hArr) x = 2
Giải
Lỗi sai: Phương trình LATEX(x^2) = 2x và phương trình LATEX((x^2)/x) = 2 không tương đương vì: Phương trình LATEX(x^2) = 2x có tập nghiệm S1 = {0; 2}. Phương trình LATEX((x^2)/x) = 2 có tập nghiệm S2 = {2}
II - Phương trình sin x = m
Hoạt động 2
Ảnh
Hình vẽ
II - Phương trình sin x = m
1. Hoạt động 2
a) Có giá trị nào của x để sin x = 1,5 không? b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có sin x = 0,5? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5. b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm M và N. - Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là LATEX(π/6) + k2π (k∈Z) - Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là LATEX((5π)/6) + k2π (k∈Z)
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Xét phương trình sin x = m. • Nếu |ml > 1 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm: x = a + k2π, k∈Ζ và x = π - a + k2π, k∈Z với a là góc thuộc [LATEX(-π/2);LATEX(π/2)] sao cho sin a = m.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
a) Một số trường hợp đặc biệt: sinx = 1 LATEX(hArr) x = LATEX(π/2) + k2π, k∈Z sinx = -1⇔ x = LATEX(-π/2) + k2π, k∈Z sinx = 0 LATEX(hArr) x = kπ, k∈Z b) sinu = sin v LATEX(hArr) u = v + k2π, k∈Z hoặc u = π - v + k2π, k∈Z. c) sinx = LATEX(sin a^°) = a + k360°, k∈Z hoặc x = 180° - a° + k360°, k∈Z.
Ví dụ 2
4. Ví dụ 2
Giải các phương trình sau: a) sinx = LATEX(1/2) b) sinx = LATEX(-3/2) c) sin 2x = sin 3x
Giải
a) Vì LATEX(1/2) = sin LATEX(π/6) nên phương trình sin x = LATEX(1/2) = sin LATEX(π/6) có các nghiệm là: x = LATEX(π/6) + k2π, k∈Z và x = π - LATEX(π/6) + k2π, k∈Z b) Vì LATEX(-3/2) < -1 nên phương trình sin x = LATEX(-3/2) vô nghiệm c) sin 2x = sin 3x LATEX(hArr) 3x = 2x + k2π, k∈Z hoặc 3x = π - 2x + k2π, k∈Z LATEX(hArr) x = k2π, k∈Z hoặc LATEX(π/5) + kLATEX((2π)/5), k∈Z Vậy phương trình có các nghiệm là: x = k2π, k∈Z hoặc LATEX(π/5) + kLATEX((2π)/5), k∈Z
Thực hành 2
5. Thực hành 2
Giải các phương trình sau: a) sin x = LATEX(sqrt3/2) b) sin (x + 30°) = sin (x + 60°)
Giải
a) sin x = LATEX(sqrt3/2) Vì sin LATEX(π/3) = LATEX(sqrt3/2) nên phương trình sin x = LATEX(sqrt3/2) = sin LATEX(π/3) có các nghiệm là: x = LATEX(π/3) + k2π và x = LATEX((2π)/3) + k2π, k∈Z Vậy tập nghiệm đã cho là: S = (LATEX(π/3) + k2π; LATEX((2π)/3) + k2π, k∈Z) b) sin (x + 30°) = sin (x + 60°) LATEX(hArr) x + 30° = x + 60° + k360° hoặc x + 30° = 360° - x - 60°+ k360° (k∈Z) LATEX(hArr) 30° = 60°+ k360° (vô lí) hoặc x = 150°+ k180° (k∈Z) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {150°+ k180°, k∈Z}
III - Phương trình cos x = m
Hoạt động 3
Ảnh
III - Phương trình cos x = m
1. Hoạt động 3
Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có cos x = LATEX(-1/2)? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Ảnh
Ảnh
Giải
Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = LATEX(-1/2) - Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX((2π)/3) + k2π, k∈Z - Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX((-2π)/3) + k2π, k∈Z
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Xét phương trình sin x = m. • Nếu |ml > 1 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm: x = a + k2π, k∈Ζ và x = - a + k2π, k∈Z với a là góc thuộc [0; π] sao cho cos a = m.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
a) Một số trường hợp đặc biệt: cos x = 1 LATEX(hArr) x = k2π, k∈Z cos x = -1⇔ x = π + k2π, k∈Z cos x = 0 LATEX(hArr) x = LATEX(π/2) + kπ, k∈Z b) cos u = cos v LATEX(hArr) u = v + k2π, k∈Z hoặc u = - v + k2π, k∈Z. c) cos x = LATEX(cos a^°) = a + k360°, k∈Z hoặc x = - a° + k360°, k∈Z.
Ví dụ 3
4. Ví dụ 3
Giải các phương trình sau: a) cos x = LATEX(-1/2) b) cos 2x = cos (x + 60°) c) cos 3x = sin x
Giải
a) Vì LATEX(-1/2) = cos LATEX((2π)/3) nên phương trình cos x = LATEX(-1/2) = cos LATEX((2π)/3) có các nghiệm là: x = LATEX((2π)/3) + k2π, k∈Z và x = LATEX((-2π)/3) + k2π, k∈Z b) cos 2x = cos (x + 60°) LATEX(hArr) 2x = x + 60° + k360°, k∈Z hoặc 2x = -(x + 60°) + k360°, k∈Z LATEX(hArr) x = 60° + k360°, k∈Z hoặc x = -20° + k120°, k∈Z Vậy phương trình có các nghiệm là x = 60° + k360°, k∈Z và x = -20° + k120°, k∈Z
Ảnh
Giải
c) cos 3x = sin x LATEX(hArr) cos 3x = cos (LATEX(π/2) - x) LATEX(hArr) 3x = LATEX(π/2) - x + k2π, k∈Z hoặc 3x = -(LATEX(π/2) - x) + k2π, k∈Z LATEX(hArr) x = LATEX(π/8) + kLATEX(π/2), k∈Z hoặc x = LATEX(-π/4) + kπ, k∈Z Vậy phương trình có các nghiệm là: LATEX(π/8) + kLATEX(π/2), k∈Z và x = LATEX(-π/4) + kπ, k∈Z
Thực hành 3
5. Thực hành 3
Giải các phương trình sau: a) cos x = -3 b) cos x = cos 15° c) cos (x + LATEX(π/12)) = cos LATEX((3π)/12)
a) Vì – 3 < – 1 nên phương trình cos x = – 3 vô nghiệm. b) cos x = cos 15°⇔ x = 15° + k360° hoặc x = – 15° + k360° . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15° + k360°; – 15° + k360°, k∈Z} c) cos (x + LATEX(π/12)) = cos LATEX((3π)/12) ⇔ x + LATEX(π/12) = LATEX((3π)/12) + k2π hoặc x + LATEX(π/12) = LATEX((-3π)/12) + k2π, k∈Z ⇔ LATEX(π/6) + k2π, k∈Z hoặc x = LATEX(-π/3) + k2π, k∈Z Vậy tập nghiệm của phương trình là: (LATEX(π/6) + k2π; LATEX(-π/3) + k2π, k∈Z)
Giải
IV - Phương trình tan x = m
Hoạt động 4
IV - Phương trình tan x = m
1. Hoạt động 4
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có toạ độ là (1; LATEX(sqrt3)) (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có tan x = LATEX(sqrt3)? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
Ảnh
Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn tanx = LATEX(sqrt3) - Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX(π/3) + k2π, k∈Z - Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX((-2π)/3) + kπ, k∈Z
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm: x = a + kπ, k∈Ζ, với a là góc thuộc (LATEX(-π/2);LATEX(π/2)) sao cho tan a = m.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
tan x = tan a° LATEX(hArr) x = a°+ k180°, k∈ Z.
Ảnh
Ví dụ 4
4. Ví dụ 4
Giải các phương trình sau: a) tan x = LATEX(sqrt3) b) tan 2x = tan LATEX(π/11)
a) Vì LATEX(sqrt3) = tan LATEX(π/3) nên phương trình tan x = LATEX(sqrt3) = tan LATEX(π/3) có các nghiệm là: x = LATEX(π/3) + kπ, k∈Z b) tan 2x = tan LATEX(π/11) LATEX(hArr) 2x = LATEX(π/11) + kπ, k∈Z LATEX(hArr) x = LATEX(π/22) + kLATEX(π/2), k∈Z Vậy phương trình có nghiệm là: x = LATEX(π/22) + kLATEX(π/2), k∈Z.
Giải
Thực hành 4
5. Thực hành 4
Giải các phương trình sau: a) tan x = 0 b) tan (30° – 3x) = tan 75°
a) Điều kiện xác định là: x ≠ LATEX(π/2) + kπ, k∈Z Vì tan 0 = 0 nên phương trình tan x = 0 có các nghiệm x = kπ, k ∈ Z. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {kπ, k∈Z}. b) tan (30° – 3x) = tan 75° ⇔ tan (3x – 30°) = tan (– 75°) ⇔ 3x – 30° = – 75° + k360°, k∈Z ⇔ 3x = – 45° + k360°, k∈Z ⇔ x = – 15° + k120°, k∈Z Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {- 15° + k120°, k∈ Z}.
Giải
V - Phương trình cot x = m
Hoạt động 5
Ảnh
V - Phương trình cot x = m
1. Hoạt động 5
Ảnh
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có toạ độ là (-1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cot x = -1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Ảnh
Giải
Ảnh
Ảnh
Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cot x = – 1. - Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX((3π)/4) + k2π, k∈Z - Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: LATEX(-π/4) + k2π, k∈Z
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm: x = a + kπ, k∈Ζ, với a là góc thuộc (0; π) sao cho cot a = m.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
cot x = cot a° LATEX(hArr) x = a°+ k180°, k∈ Z.
Ảnh
Ví dụ 5
4. Ví dụ 5
Giải các phương trình sau: a) cot x = LATEX(-sqrt3/3) b) cot 3x = cot LATEX(π/7)
a) Vì LATEX(-sqrt3/3) = cot LATEX((2π)/3) nên phương trình cot x = LATEX(-sqrt3/3) = cot LATEX((2π)/3) có các nghiệm là: x = LATEX((2π)/3) + kπ, k∈Z b) cot 3x = cot LATEX(π/7) LATEX(hArr) 3x = LATEX(π/7) + kπ, k∈Z LATEX(hArr) x = LATEX(π/21) + kLATEX(π/3), k∈Z Vậy phương trình có nghiệm là: x = LATEX(π/21) + kLATEX(π/3), k∈Z
Giải
Thực hành 5
5. Thực hành 5
Giải các phương trình sau: a) cot x = 1 b) cot (3x + 30°) = cot 75°
Giải
a) Vì cot LATEX(π/4) = 1 nên phương trình cot x = 1 có các nghiệm là: x = LATEX(π/4) + kπ, k ∈ Z. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {LATEX(π/4) + kπ, k∈Z}. b) cot (3x + 30°) = cot 75° ⇔ 3x + 30° = 75° + k180°, k∈Z ⇔ 3x = 45° + k180°, k∈Z ⇔ x = 15° + k60°, k∈Z Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {15° + k60°, k∈Z}
VI - Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
Ví dụ 6
VI - Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
1. Ví dụ
Ta có thể giải phương trình lượng giác dạng sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m bằng máy tính cầm tay như trong ví dụ sau:
Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau: a) sin x = LATEX(-1/2). Kết quả ghi theo đơn vị radian. b) cot x = 3. Kết quả ghi theo đơn vị độ
Ví dụ 6.
Ảnh
Giải
a) Chọn đơn vị đo góc là radian. Ấn liên tiếp các phím Ta được một góc có sin bằng LATEX(-1/2) là LATEX( -π/6) Do đó. ta có các nghiệm của phương trình sin x = LATEX(-1/2) là: x = LATEX(-π/6) + k2π, k∈Z và x = LATEX((7π)/6) + k2π, k∈Z b) Chọn đơn vị đo góc là độ. Ấn liên tiếp các phím ta được một góc có cootang bằng 3 là 18,43° (làm tròn đến hàng phần trăm) Do đó, ta có các nghiệm của phương trình cot x = 3 là x ≈ 18,43° + k180°, k∈Z
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
2. Chú ý
Để giải phương trình cot x = m (m≠0), ta giải phương trình tanx = LATEX(1/m)
Thực hành 6
3. Thực hành 6
Giải
Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau: a) cos x = 0,4 b) tan x = LATEX(sqrt3) Kết quả ghi theo đơn vị radian và làm tròn đến hàng phần trăm
a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos 1,16 ≈ 0,4 nên cos x = cos 1,16 do đó các nghiệm của PT là: x = 1,16 + k2π và x = -1,16 + k2π với k∈Z Vậy tập nhiệm của PT là S = {1,16 + k2π; -1,16 + k2π k∈Z} b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: tan LATEX(π/3) = LATEX(sqrt3) nên tan x = tan LATEX(π/3) do đó các nghiệm của PT là: x = LATEX(π/3) + k2π với k∈Z Vậy tập nghiệm của PT là S = (LATEX(π/3) + k2π, k∈Z)
VII - Bài tập
Bài 1,2,3,4
VII - Bài tập
1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 2x = LATEX(1/2) b) sin (x - LATEX(π/7)) = sin LATEX((2π)/7) c) sin 4x - cos (x + LATEX(π/6)) = 0 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos (x + LATEX(π/3)) = LATEX(sqrt3/2) b) cos 4x = cos LATEX((5π)/12) c) LATEX(cos^2x) = 1 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) tan x = tan 55° b) tan ( 2x + LATEX(π/4)) = 0 4. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cot (LATEX(1/2)x + LATEX(π/4)) = -1 b) cot 3x = cos LATEX(-sqrt3/3)
Ảnh
Bài 5,6
5. Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cos x và y = sin x giao nhau? 6. Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức s = 10 sin (10t + LATEX(π/2)) Vào các thời điểm nào thì s = -5LATEX(sqrt3) cm?
Ảnh
Bài 7
7. Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HỌ = 1 km. Đèn xoay π ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện 10 nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ
Ảnh
a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ LATEX(y_M) của điểm M trên trục Oy theo thời gian t. b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ LATEX(y_N) = -1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.
VIII - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VIII - Dặn dò
Ảnh
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Đọc trước Chương 2 - Bài 1: Dãy số
Kết thúc
Ảnh