CHƯƠNG I. BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG I. BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Biết phương trình lượng giác cơ bản sinx = a; cosx = a, tanx = a, cotx = a và công thức nghiệm. Nắm được điều kiện của a để các phương trình sinx = a, cosx = a có nghiệm. Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsina, arccosa, arctana, arccota.
Khởi động
- Tình huống mở đầu
- Tình huống mở đầu:
Ảnh
Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái đất theo quỹ đạo hình elíp (hình dưới). Độ cao h (tính bằng km) của vệ tinh so với bề mặt trái đất được xác định bởi công thức latex(h = 550 + 450cospi/50t), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250 km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó.
I. Phương trình tương đương
- Hoạt động 1
Ảnh
HĐ1: Cho hai phương trình (với cùng ẩn x): latex(x^2 ‒ 3x + 2 = 0) (1) (x – 1)(x – 2) = 0 (2) a) Tìm tập nghiệm latex(S_1) của phương trình (1) và tập nghiệm latex(S_2) của phương trình (2). b) Hai tập latex(S_1, S_2) có bằng nhau hay không?
I. Phương trình tương đương
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Hai phương trìnnh x - 3 = 0 và latex(x^2 - 6x + 9 = 0) có tương đương không? Vì sao?
Giải:
Tập nghiệm của phương trình x - 3 = 0 là latex(S_1 = {3}). Tập nghiệm của phương trình: latex(x^2 - 6x + 9 = 0) là latex(S_2 = {3}). Vì latex(S_1 = S_2) nên hai phương trình x - 3 = 0 và latex(x^2 - 6x + 9 = 0) tương đương.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Hai phương trình x - 1 = 0 và latex((x^2 - 1)/(x + 1)= 0) có tương đương không? Vì sao?
- Hoạt động 2
Ảnh
HĐ2: Khẳng định latex(3x - 6 = 0 <=> 3x = 6) đúng hay sai?
- Định lí
Ảnh
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.
Định lí:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
- Ví dụ 2
Giải:
Ảnh
Ta có: latex(x^2 - 6x + 8 = 2 - x <=> x^2 - 6x + 8 - (2 - x) = 0) latex(<=> x^2 - 5x + 6 = 0 <=> x = 2) hoặc x = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2; 3}.
Ví dụ 2: Giải phương trình: latex(x^2 - 6x + 8 = 2 - x).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Giải phương trình: latex((x - 1)^2 = 5x - 11)
II. Phương trình sinx = m
- Hoạt động 3
Ảnh
Ảnh
HĐ3: a) Đường thẳng d: latex(y = 1/2) cắt đồ thị hàm số y = sinx, latex(x in [-pi; pi]) tại hai giao điểm latex(A_0; B_0). Tìm hoành độ của hai giao điểm latex(A_0; B_0).
II. Phương trình sinx = m
b) Đường thẳng latex(d: y = 1/2) cắt đồ thị hàm số y = sinx, latex(x in [pi; 3pi]) tại hai giao điểm latex(A_1; B_1) (H33). Tìm hoành độ của hai giao điểm latex(A_1, B_1).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Phương trình latex(sinx = 1/2) có các nghiệm là: * latex(x = pi/6 + k2pi (k in Z)) * latex(x = (5pi)/6 + k2pi = pi - pi/6 + k2pi (k in Z)).
- Kết luận
Ảnh
* Với |m| > 1, phương trình sinx = m vô nghiệm. * Với latex(|m| <= 1), gọi latex(alpha) là số thực thuộc đoạn latex([-pi/2; pi/2]) sao cho latex(sin alpha = m). Khi đó, ta có: latex(sinx = m <=> sinx = sinalpha <=>)
Kết luận:
Ảnh
latex(x = alpha + k2pi) latex(k in Z) latex(x = pi - alpha + k2pi)
- Chú ý
Ảnh
a) Một số trường hợp đặc biệt của phương trình sinx = m; * latex(sinx = 1 <=> x = pi/2 + k2pi (k in Z)); * latex(sinx = -1 <=> x = -pi/2 + k2pi (k in Z)); * latex(sinx = 0 <=>) b) Ta có: sin f(x) = sin g(x) latex(<=>) c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho latex(sinx = sina@):
Chú ý:
Ảnh
latex(x = k2pi) latex(<=> x = kpi (k in Z)) latex(x = pi + k2pi)
Ảnh
latex(f(x) = g(x) +k2pi) latex((k in Z)) latex(f(x) = pi - g(x) + k2pi)
latex(sinx = sin@ <=>)
Ảnh
latex(x = a@ + k360@) latex((k in Z)) latex(x = 180@ - a@ + k360@)
- Ví dụ 3
Mẫu:
Ảnh
a) Do latex(sin(-pi/6) = -1/2) nên latex(sinx = sin(-pi/6) <=>)
Ví dụ 3: Giải phương trình: a) latex(sinx = 1/2); b) latex(sinx = sqrt2/2).
Ảnh
latex(x = -pi/6 + k2pi) latex(x = pi - (-pi/6) + k2pi)
latex(<=>)
Ảnh
latex(x = -pi/6 + k2pi) latex((k in Z)) latex(x = (7pi)/6 + k2pi)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
a) Giải phương trình: latex(sinx = sqrt3/2). b) Tìm góc lượng giác x sao cho: latex(sinx = sin55@)
- Ví dụ 4
Mẫu:
Ảnh
a) sin3x = sin2x latex(<=>)
Ví dụ 4: Giải phương trình: a) sin3x = sin2x; b) sinx = cos3x.
Ảnh
latex(3x = 2x + k2pi) latex(<=>) latex(3x = pi-2x + k2pi)
Ảnh
latex(x = k2pi) latex((k in Z)) latex(x = pi/5 + k(2pi)/5)
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Giải phương trình: latex(2x = sin(x + pi/4))
III. Phương trình cosx = m
- Hoạt động 4
Ảnh
Ảnh
HĐ4: a) Đường thẳng d: latex(y = 1/2) cắt đồ thị hàm số y = cosx, latex(x in [-pi; pi]) tại hai giao điểm latex(C_0; D_0). Tìm hoành độ của hai giao điểm latex(C_0; D_0).
III. Phương trình cosx = m
b) Đường thẳng latex(d: y = 1/2) cắt đồ thị hàm số y = cosx, latex(x in [pi; 3pi]) tại hai giao điểm latex(C_1; D_1). Tìm hoành độ của hai giao điểm latex(C_1,D_1).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Phương trình latex(cosx = 1/2) có các nghiệm là latex(x = pi/3 +k2pi (k in Z)) và latex(x = -pi/3 + k2pi (k in Z)).
- Kết luận
Ảnh
* Với |m| > 1, phương trình cosx = m vô nghiệm. * Với latex(|m| <= 1), gọi latex(alpha) là số thực thuộc đoạn latex([0; pi]) sao cho latex(cos alpha = m). Khi đó, ta có: latex(cosx = m <=> cosx = cosalpha <=>)
Kết luận:
Ảnh
latex(x = alpha + k2pi) latex(k in Z) latex(x = -pi + k2pi)
- Chú ý
Ảnh
a) Một số trường hợp đặc biệt của phương trình cosx = m; * latex(cosx = 1 <=> x = k2pi (k in Z)); * latex(cosx = -1 <=> x = pi + k2pi (k in Z)); * latex(cosx = 0 <=> x = pi/2 + kpi (k in Z)). b) Ta có: cos f(x) = cos g(x) latex(<=>) c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho latex(cosx = cosa@):
Chú ý:
Ảnh
latex(f(x) = g(x) +k2pi) latex((k in Z)) latex(f(x) = - g(x) + k2pi)
latex(cosx = cos@ <=>)
Ảnh
latex(x = a@ + k360@) latex((k in Z)) latex(x = - a@ + k360@)
- Ví dụ 5
Giải:
Ảnh
a) Do latex(pi/6 = sqrt3/2) nên cosx = latex(cospi/6 <=>)
Ví dụ 5: Giải phương trình: a) latex(cosx = sqrt3/2); b) latex(cosx = -sqrt2/2).
Ảnh
latex(x = pi/6 + k2pi) latex((k in Z)) latex(x = -pi/6 + k2pi)
Ảnh
latex(x = (3pi)/4 + k2pi) latex((k in Z)) latex(x = -(3pi)/4 + k2pi)
b) Do latex((3pi)/4 = -sqrt2/2) nên cosx = latex(cos(3pi)/4 <=>)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
a) Giải phương trình: latex(cosx = - 1/2). b) Tìm góc lượng giác x sao cho: latex(cosx = cos(-87@))
- Ví dụ 6
Giải:
Ảnh
Ta có: latex(cos3x = cos(x + pi/3) <=>)
Ví dụ 6: Giải phương trình: latex(cos3x = cos(x + pi/3))
Ảnh
latex(3x = x +pi/3 + k2pi) latex(3x = -(x + pi/3) + k2pi)
Ảnh
latex(x = pi/6 + kpi) latex((k in Z)) latex(x = -pi/12 + k pi/2))
latex(<=>)
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.
IV. Hàm số tanx = m
- Hoạt động 5
Ảnh
Ảnh
HĐ5: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).
IV. Phương trình tanx = m
- Câu hỏi
Ảnh
a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng latex((-pi/2; pi/2)), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó. b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?
- Câu hỏi:
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Gọi latex(alpha) là số thực thuộc khoảng latex((-pi/2; pi/2)) sao cho latex(tan alpha = m). Khi đó với mọi latex(m in R), ta có: latex(tanx = m <=> tanx = tan alpha <=> x = alpha +kpi (k in Z)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho latex(tanx = tan a@) như sau: latex(tanx = tan a@ <=> x = a@ + k180@ (k in Z))
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Giải phương trình: a) latex(tanx = 1/sqrt3); b) tanx = -1.
Giải:
a) Do tan latex(pi/6 = 1/sqrt3) nên latex(tanx = 1/sqrt3 <=> tanx = tanpi/6) latex(<=> x = pi/6 + kpi (k in Z)). b) Do latex(tan(-pi/4) = -1) nên tanx = -1) latex(<=> tanx = tan(-pi/4) <=> x = -pi/4 + kpi (k in Z)).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
a) Giải phương trình tanx = 0; b) Tìm góc lượng giác x sao cho: tanx = latex(tan67@).
V. Phương trình cotx = m
- Hoạt động 6
Ảnh
Ảnh
HĐ6: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = -1 (Hình 36).
IV. Phương trình cotx = m
- Câu hỏi
Ảnh
a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = -1 trên khoảng latex((0; pi)), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó. b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = -1?
- Câu hỏi:
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Gọi latex(alpha) là số thực thuộc khoảng latex((0; pi)) sao cho latex(cot alpha = m). Khi đó với mọi latex(m in R), ta có: latex(cotx = m <=> cotx = cot alpha <=> x = alpha + kpi (k in Z)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho latex(cotx = cot a@) như sau: latex(cotx = cot a@ <=> x = a@ + k180@ (k in Z))
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Giải phương trình: latex(cot2x = -sqrt3)
Giải:
Do latex(cot(5pi)/6 = -sqrt3) nên latex(cot2x = -sqrt3 <=> cot2x = cot(5pi)/6) latex(<=> 2x = (5pi)/6 + kpi <=> x = (5pi)/12 + kpi/2 (k in Z)).
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
a) Giải phương trình cotx = 1; b) Tìm góc lượng giác x sao cho: cotx = latex(cot(-83@)).
VI. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay
- Ví dụ 9
Ảnh
VI. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay
Ví dụ 9: Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian. a) sinx = 0,6; b) latex(cosx = -1/3); c) latex(tanx = sqrt3).
- Ví dụ 10
Ví dụ 10: Một cây cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số latex(y = 4,2 . cosx/8) và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như H.38. Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình chữ nhật với độ cao 3 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,5 m.
Ảnh
- Luyện tập 9
Ảnh
- Luyện tập 9:
Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn): a) sinx = 0,2; b) latex(cosx = -1/5); c) latex(tanx = sqrt2).
- Bài tập
Ảnh
- Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: a) latex(sin(2x - pi/3) = - sqrt3/2); b) latex(sin(3x + pi/4) = -1/2); c) latex(cos(x/2 + pi/4) = sqrt3/2); d)2cos3x + 5 = 3. Bài 2: Giải phương trình: a) latex(sin(2x + pi/4) = sinx); b) latex(sin2x = cos3x); c) latex(cos^2 2x = cos^2(x + pi/6)). Bài 3: Dùng đồ thị h/s y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình: a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng latex((-(5pi)/2; (5pi)/2)); b) cosx = 0 trên đoạn latex([-(5pi)/2; (5pi)/2])
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 1. Dãy số".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh