BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Khởi động
Khởi động
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn latex(v_0) không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.
Khởi động:
Ảnh
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Khái niệm phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương Cho hai phương trình 2x – 4 = 0 và latex((x – 2)(x^2 + 1)) = 0. Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.
- Giải:
* Phương trình: 2x - 4 = 0 latex(<=> x = 4/2 = 2). Vậy phương trình có tập nghiệm latex(S_1 = {2}). * Phương trình: latex((x - 2)(x^2 + 1) = 0 <=>)
x - 2 = 0 latex(<=> x = 2) latex(x^2 + 1 > 0)
Vậy phương trình có tập nghiệm latex(S_2 = {2}) => Nhận thấy cả hai phương trình đều có nghiệm latex(S_2 = {2}).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. * Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết: f(x) = 0 latex(<=>) g(x) = 0
Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Hai phương trình sau có tương đương không? 2x + 6 = 0 và latex(x^2 + 6x + 9 = 0)
Giải:
Tập nghiệm của phương trình 2x + 6 = 0 là latex(S_1 = {-3}) Phương trình latex(x^2 + 6x + 9 = 0) được viết lại thành latex((x + 3)^2 = 0), do đó tập nghiệm của nó là latex(S_2 = {-3}) Vậy hai phương trình trên là tương đương.
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Xét sự tương đương của hai phương trình sau: latex((x - 1)/(x + 1) = 0) và latex(x^2 - 1 = 0).
- Chú ý
Ảnh
Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các biến đổi tương đương. Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
- Chú ý:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức: f(x) = g(x) <=> f(x) + h(x) = g(x) + h(x) b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0: f(x) = g(x) <=> f(x) . h(x) = g(x) . h(x), (h(x) latex(!=0)).
2. Phương trình sinx = m
Ảnh
2. Phương trình sinx = m
HĐ2: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình sin x = latex(1/2). a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π). b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Ảnh
+ tiếp (- Hoạt động 2)
Ảnh
a) Từ H1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc latex(pi/6) và latex(pi - pi/6 = (5pi)/6), lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng latex(1/2) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có latex(sin pi/6 = 1/2) và latex(sin(5pi)/6 = 1/2) Vậy trong nửa khoảng [latex(0; 2pi)), phương trình latex(sinx = 1/2) có 2 nghiệm x = latex(pi/6) và latex(x = (5pi)/6). b) Vì hàm số sin x có chu kì tuần hoàn là latex(2pi) nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là: latex(x = pi/6 + k2pi, k in Z) và latex(x = (5pi)/6 + k2pi, k in Z).
- Giải:
- Minh hoạ bằng đồ thị
- Minh hoạ bằng đồ thị:
Nghiệm của phương trình sinx = latex(1/2) là hoành độ các giao điểm của đường thẳng y = latex(1/2) và đồ thị hàm số y = sinx.
Ảnh
- Tổng quát phương trình sinx = m
- Tổng quát phương trình sinx = m (*):
Ảnh
* Nếu |m| > 1 thì phương trình (*) vô nghiệm vì |sinx| latex(<= 1) với mọi latex(x in R). * Nếu latex(|m| <= 1) thì tồn tại duy nhất latex(alpha in [-pi/2; pi/2]) nên latex(sin alpha = m).
Ảnh
Khi đó, trê đoạn có độ dài latex(2pi) là latex([-pi/2; (3pi)/2]) phương trình (*) có các nghiệm latex(alpha) và latex(pi) và latex(pi - alpha).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Phương trình sinx = m có nghiệm latex( <=> |m|<= 1). * Khi latex(|m| <= 1), sẽ tồn tại duy nhất latex(alpha in [-pi/2; pi/2]) thoả mãn latex(sinx = m). Khi đó latex(sinx = m <=> sin x = sin alpha <=>)
Ảnh
latex(x = alpha + k2pi (k in Z)) latex(x = pi - alpha + k2pi (k in Z))
- Chú ý
Ảnh
a) Nếu số đo của góc latex(alpha) được cho bằng đơn vị độ thì: latex(sinx = sin alpha@ <=>)
- Chú ý:
b) Một số trường hợp đặc biệt: * latex(sinx = 0 <=> x = kpi, k in Z). * latex(sin x = 1 <=> x = pi/2 + k2pi, k in Z). * latex(sin x = -1 <=> x = -pi/2 + k2pi, k in Z).
Ảnh
latex(x = alpha@ + k360@) latex((k in Z)) latex(x = 180@ - alpha@ + k360@)
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) sinx = latex(-sqrt3/2); b) latex(sinx = 1/3).
Giải:
a) latex(sinx = -sqrt3/2 <=> sinx = sin (-pi/3) <=>)
Ảnh
Ảnh
latex(x =-pi/3 + k2pi) latex(k in Z) latex(x = (4pi)/3 + k2pi)
b) Gọi latex(alpha in [-pi/2; pi/2]) là góc thoả mãn latex(sin alpha = 1/3). Khi đó ta có: latex(sinx = 1/3 <=> sin x = sin alpha <=> )
latex(x = alpha + k2pi) latex(k in Z) latex(x = pi -alpha + k2pi)
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giải phương trình latex(sin2x = sin(60@ - 3x)).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Giải các phương trình sau: a) latex(sinx = sqrt2/2); b) sin3x = -sin5x.
3. Phương trình cosx = m
3. Phương trình cosx = m
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cos x = latex(-1/2). a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [-pi; π). b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
+ tiếp
Ảnh
a) Từ H1.22a, thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc latex((2pi)/3) và latex((-2pi)/3), lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng latex(-1/2) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có: latex(cos (2pi)/3 = -1/2) và latex(cos(-2pi)/3 = -1/2) Vậy trong nửa khoảng [latex(-pi; pi)), phương trình latex(cosx = -1/2) có 2 nghiệm x = latex((2pi)/3) và latex(x = (-2pi)/3). b) Vì hàm số sin x có chu kì tuần hoàn là latex(2pi) nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là: latex(x = (2pi)/3 + k2pi, k in Z) và latex(x = (-2pi)/3 + k2pi, k in Z).
- Giải:
- Minh hoạ bằng đồ hoạ
- Minh hoạ bằng đồ thị:
Nghiệm của phương trình cosx = latex(-1/2) là hoành độ các giao điểm của đường thẳng y = latex(-1/2) và đồ thị hàm số y = cosx.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
* Phương trình cosx = m có nghiệm latex( <=> |m|<= 1). * Khi latex(|m| <= 1), sẽ tồn tại duy nhất latex(alpha in [0; pi]) thoả mãn latex(cosx = m). Khi đó latex(cos x = m <=> cos x = cos alpha <=>)
latex(x = alpha + k2pi) latex((k in Z)) latex(x = - alpha + k2pi)
- Chú ý
Ảnh
a) Nếu số đo của góc latex(alpha) được cho bằng đơn vị độ thì: latex(cos x = cos alpha@ <=>)
- Chú ý:
b) Một số trường hợp đặc biệt: * latex(cos x = 0 <=> x = pi/2+kpi, k in Z). * latex(sin x = 1 <=> x = k2pi, k in Z). * latex(sin x = -1 <=> x = pi + k2pi, k in Z).
latex(x = alpha@ + k360@) latex((k in Z)) latex(x = - alpha@ + k360@)
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) latex(cos x = -sqrt3/2); b) latex(cosx = 0,1).
Ảnh
Giải:
a) latex(cos x = -sqrt3/2 <=> cos x = cos (5pi)/6 <=> x = +- (5pi)/6 + k2pi, k in Z). b) Gọi latex(alpha in [0; pi]) là góc thoả mãn latex(cos alpha = 0,1). Khi đó ta có: latex(cos x = 0,1 <=> cosx = cos alpha <=> x = +- alpha + k2pi, k in Z).
Hình vẽ
latex(cosu = cosv <=> +- v + k2pi (k in Z)).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: cos2x = cos(latex(45@) - x).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 4:
Giải các phương trình sau: a) 2cos x = latex(-sqrt2); b) cos 3x – sin 5x = 0.
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng: a) F = 0 (trăng mới); b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm); c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng); d) F = 1 (trăng tròn).
4. Phương trình tan x = m
Ảnh
4. Phương trình tan x = m
HĐ4: a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng latex((-pi/2; pi/2))?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi m. * Với mọi m latex(in) R, tồn tại duy nhất latex(alpha in (-pi/2; pi/2)) thoả mãn latex(tan alpha = m). Khi đó: latex(tan x = m <=> tan x = tan alpha <=> x = alpha + kpi (k in Z)).
Chú ý: Nếu số đo của góc latex(alpha) được cho bằng đơn vị độ thì: tanx = latex(tan alpha@ <=> x = alpha@ + k180@ (k in Z))
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a) latex(tanx = -sqrt3); b) tanx = 2.
Ảnh
Giải:
a) latex(tan x = -sqrt3 <=> tan x = tan (-pi/3) <=> x = -pi/3 + kpi, k in Z). b) Gọi latex(alpha in (-pi/2; pi/2)) là góc thoả mãn latex(tan alpha = 2). Khi đó ta có: latex(tan x = 2 <=> tan x = tan alpha <=> x = alpha + kpi, k in Z)
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Giải các phương trình sau: a) latex(sqrt3 tan2x = -1); b) latex(tan3x + tan5x = 0)
5. Phương trình cotx = m
5. Phương trình cot x = m
Ảnh
HĐ5: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = - 1.
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)? b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Phương trình cot x = m có nghiệm với mọi m. * Với mọi m latex(in) R, tồn tại duy nhất latex(alpha in (0; pi)) thoả mãn latex(cot alpha = m). Khi đó: latex(cot x = m <=> cot x = cot alpha <=> x = alpha + kpi (k in Z)).
Chú ý: Nếu số đo của góc latex(alpha) được cho bằng đơn vị độ thì: cotx = latex(cot alpha@ <=> x = alpha@ + k180@ (k in Z))
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: a) latex(cot x = -sqrt3); b) latex(cotx = 5).
Giải:
Hình vẽ
a) latex(cot x = -sqrt3 <=> cot x = cos-pi/6 <=> x = - pi/6 + kpi, k in Z). b) Gọi latex(alpha in (0; pi)) là góc thoả mãn latex(cot alpha = 5). Khi đó ta có: latex(cot x = 5 <=> cotx = cot alpha <=> x = alpha + kpi, k in Z).
latex(cotu = cotv <=> u = v + kpi (k in Z)).
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Giải các phương trình sau: a) cot x = 1; b) latex(sqrt3 cot x + 1 = 0)
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Để tìm số đo ta thực hiện các bước: B1: Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian). Muốn tìm số đo độ, ta ấn: Muốn tìm số đo radian, ta ấn: B2: Tìm số đo góc.
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Khi biết sin, côsin hay tang của góc latex(alpha) cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím: SHIFT và một trong các phím sin, cos và tan rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím =.
- Ví dụ 9
Ví dụ 9: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc latex(alpha), biết latex(sin alpha = 0,58)
Giải:
Ảnh
* Số đo độ:
Ảnh
Ảnh
* Số đo radian:
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc latex(alpha), biết: a) cos latex(alpha) = -0,75; b) tan latex(alpha) = 2,46; c) cot latex(alpha) = -6,18.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) latex(sinx = sqrt3/2); b) latex(2cos x = -sqrt2); c) latex(sqrt3 tan(x/2 + 15@) = 1); d) latex(cot(2x - 1) = cot(pi/5)).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Giải các phương trình sau: a) latex(sin 2x + cos 4x = 0); b) latex(cos3x = -cos7x).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 3: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình latex(y = -g/(2v_0^2 cos^2 alpha) x^2 + xtan alpha), ở đó g = 9,8 latex(m//s^2) là gia tốc trọng trường. a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn). b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 5: Dãy số".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !