CHƯƠNG V. BÀI 15. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V. BÀI 15. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2; 3; −4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?
1. Phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Hình vẽ
HĐ1: Trong không gian, cho điểm M và vectơ latex(vecu) khác vectơ – không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng? a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của latex(vecu). b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của latex(vecu).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Vectơ latex(vecu != vec0) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng latex(Delta) nếu giá của latex(vecu) song song hoặc trùng với latex(Delta).
- Chú ý
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
* Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương. * Nếu latex(vecu) là một vectơ chỉ phương của latex(Delta) thì latex(kvecu) (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của latex(Delta).
- Ví dụ 1
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC' mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tâp 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
Ảnh
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
b. Phương trình tham số của đường thẳng
HĐ2: Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi latex(vecu = (a; b; c) != 0) và xuất phát từ điểm latex(A(x_0; y_0; z_0)) (H.5.26). a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)? b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo a, b, c, latex(x_0, y_0, z_0) và t.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng latex(Delta):
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc ∆ và một vectơ chỉ phương của ∆. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương latex(vecv = (1; 3; 1)).
c. Phương trình chính tắc củađường thẳng
Ảnh
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Hình vẽ
HĐ3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm latex(A(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b; c)) (a, b, c là các số khác 0). a) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi hai vectơ latex(vec(AM) = (x - x_0; y - y_0; z - z_0)) và latex(vecu = (a; b; c)) có mối quan hệ gì? b) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số latex((x - x_0)/a, (y - y_0)/b, (z - z_0)/c) có mối QH gì?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(A(x_0; y_0; x_0)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b; c)) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình: latex((x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng latex(Delta).
- Ví dụ 3
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng latex(Delta: (x - 1)/2 = y/3 = (z +2)/1). Hãy chỉ ra một điểm thuộc latex(Delta) và một vectơ chỉ phương của latex(Delta).
- Giải:
Đường thẳng latex(Delta) có phương trình latex((x - 1)/2 = (y - 0)/3 = (z - (-2))/1) nên điểm A(1; 0; -2) thuộc latex(Delta) và latex(vecu = (2; 3; 1)) là một vectơ chỉ phương của latex(Delta).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng: latex(Delta: (x + 1)/3 = (y - 1)/1 = (z - 2)/2). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của ∆ và hai điểm thuộc ∆.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, viết PT tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm M(1; -2; 4) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (3; -5; 1)).
- Giải:
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (-1; 2; 3)).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm M(-1; 4; 5) và vuông góc với mặt phẳng latex((alpha)): 3x - 2y = 0.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.
d. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Ảnh
d. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Hình vẽ
HĐ4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt latex(A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2)). a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng latex(A_1A_2). b) Viết phương trình đường thẳng latex(A_1A_2).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; -1) và B(2; 4; 0).
Ảnh
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN. b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với MP Oxy. c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?
2. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
2. Hai đường thẳng vuông góc
- HĐ5
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
HĐ5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) tương ứng có vectơ chỉ phương latex(vecu_1 = (a_1; b_1; c_1), vecu_2 = (a_2; b_2; c_2)). a) Hai đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của latex(vecu1_, vecu_2) có mối quan hệ gì? b) Tìm điều kiện đối với latex(vecu_1, vecu_2) để latex(Delta_1) và latex(Delta_2) vuông góc với nhau.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) tương ứng có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a_1; b_1; c_1), vecu_2 = (a_2; b_2; c_2)). Khi đó: latex(Delta_1 _|_ Delta_2 <=> vecu_1 . vecu_2 = 0 <=> a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0).
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Các đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) tương ứng có vectơ chỉ phương latex(vecu_1 = (2; -3; -1), vecu_2 = (1; -2; 8)). Do latex(vecu_1 . vecu_2 = 2 . 1 + (-3) . (-2) + (-1) . 8 = 0) nên latex(Delta_1 _|_ Delta_2).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: latex((x - 1)/2 = y/2 = (z - 1)/(-1)). Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?
- Vận dụng 2
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng 2:
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:
Ảnh
Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Ảnh
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
- HĐ6
Ảnh
Ảnh
HĐ6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) lần lượt đi qua các điểm latex(A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2)) và tương ứng có vectơ chỉ phương latex(vecu_1 = (a_1;b_1;c_1), vecu_2 = (a_2;b_2;c_2)) (H.5.29). a) Tìm điều kiện đối với latex(vecu_1) và latex(vecu_2) để latex(u_1) và latex(vecu_2) song song hoặc trùng nhau. b) Giả sử latex([vecu_1, vecu_2] != 0) và latex(vec(A_1A_2) . [vecu_1, vecu_2] = 0) thì latex(Delta_1) và latex(Delta_2) có cắt nhau hay không? c) Giả sử latex(vec(A_1A_2) . [vecu_1, vecu_2] != 0) thì latex(Delta_1) và latex(Delta_2) có chéo nhau không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:
- Giải:
Đường thẳng latex(Delta_1) đi qua điểm latex(A_1(1; 2; -1)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu_1 = (1; -1; 2)). Đường thẳng latex(Delta_2) đi qua điểm latex(A_2(4; -1; 0)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu_2 = (3; 1; -1)). Vì latex(vecu_1 . vecu_2 = 1 . 3 + (-1) . 1 + 2 . (-1) = 0) nên latex(vecu_1) vuông góc với latex(vecu_2). Do đó latex(Delta_1) vuông góc với latex(Delta_2). Ta có latex(vec(A_1A_2) . [vecu_1 . vecu_2] = 3 . (-1) + (-3) . 7 + 1 . 4 = -20 != 0) nên latex(Delta_1) và latex(Delta_2) chéo nhau.
Ảnh
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
Ảnh
- Ví dụ 9
Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:
- Giải:
Đường thẳng latex(Delta_1) đi qua điểm latex(A_1(1; 2; -1)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu_1 = (-1; 1; 2)). Đường thẳng latex(Delta_2) đi qua điểm latex(A_2(-6; 5; 5)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu_2 = (1; 1; 2)). Ta có latex(vec(A_1A_2) = (-7; 3; 6)) và latex([vecu_1, vecu_2]) = (0; 4; -2). Do latex(vec(A_1A_2) . [vecu_1 . vecu_2] = (-7) . 0 + 3 . 4 + 6 . (-2) = 0) và latex([vecu_1, vecu_2] !=0) nên latex(Delta_1) và latex(Delta_2) cắt nhau.
Ảnh
- Luyện tập 9
Ảnh
- Luyện tập 9:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng latex(Delta_1: (x - 1)/1 = (y + 2)/1 = (z - 3)/4) và latex(Delta_2: (x + 1)/1 = (y + 1)/1 = z/4). Chứng minh rằng: a) Hai đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) song song với nhau; b) Đường thẳng latex(Delta_1) và trục Ox chéo nhau; c) Đường thẳng latex(Delta_2) trùng với đường thẳng latex(Delta_3: (x +2)/1 = (y + 2)/1 = (z + 4)/4); d) Đường thẳng latex(Delta_2) cắt trục Oz.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
- Luyện tập 10
Ảnh
- Luyện tập 10:
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Ảnh
- Vân dụng 3
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng 3:
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là latex(vecv_1 = (2; 1; 3)), latex(vecv_2 = (1; 2; 1)). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?
Ảnh
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng latex(d: (x - 3)/2 = (y - 1)/1 = (z + 5)/3).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: latex(Delta_1: (x - 1)/3 = (y - 3)/1 = (z - 2)/2) và latex(Delta_2: (x - 1)/3 = (x + 1)/1 = z/2). a) Chứng minh rằng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) cắt nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng P chứa latex(Delta_1) và latex(Delta_2).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 16. Công thức tính góc trong không gian".
Cảm ơn
Ảnh