Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Chương 5. Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 08h:58' 27-03-2025
Dung lượng: 2.4 MB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 08h:58' 27-03-2025
Dung lượng: 2.4 MB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG 5. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 5. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gian
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho điểm latex(M_0) cố định và vectơ latex(veca) khác latex(vec0). Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua latex(M_0) và song song hoặc trùng với giá của latex(veca)?
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Vectơ latex(veca) khác latex(vec0) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Nếu latex(veca) là vectơ chỉ phương của d thì latex(kveca (k != 0)) cũng là vectơ chỉ phương của d.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 7). a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC. b) Vectơ latex(vecv = (-1; 2; 0)) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) Ta có latex(vec(AB) = (-2; 4; 0)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; latex(vec(AC) = (-2; 0; 7)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. b) Vì latex(vecv = (-1; 2; 0) = 1/2 vec(AB)) nên latex(vecv) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
- Thực hành 1
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.
- Thực hành 1:
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) cố định và có vectơ chỉ phương là latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) khác latex(vec0). a) Giải thích tại sao ta có thể viết: M ∈ d ⇔ latex(vec(M_0M) = tveca (t in R)). b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo latex(x_0, y_0, z_0) và latex(a_1, a_2, a_3).
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 2
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(1; 2; 3)) và nhận latex(veca = (4; 5; -7)) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm A(1; 1; 5) không?
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Ta có phương trình tham số của d là:
Thay x = 1 vào PT x = 1 + 4t, ta được 1 = 1 + 4t => t = 0. Thay y = 1 và t = 0 vào phương trình y = 2 + 5t, ta thấy phương trình không thoả mãn => Đường thẳng d không đi qua điểm A.
- Thực hành 2
- Thực hành 2:
Ảnh
Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Ảnh
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d. b) Tìm ba điểm trên d.
- Thực hành 3
Ảnh
- Thực hành 3:
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận latex(vecv = (9; 0; -2)) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm M(−4; 0; −5) không?
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Lấy điểm M(x; y; z) bất kì thuộc d. So sánh các biểu thức: latex((x - x_0)/(a_1); (y - y_0)/(a_2); (z - z_0)/(a_3)).
với latex(a_1, a_2, a_3) đều khác 0.
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua latex(M(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)). Nếu latex(a_1, a_2, a_3) đều khác 0 thì hệ phương trình: latex((x - x_0)/(a_1) = (y - y_0)/(a_2) = (z - z_0)/(a_3)). gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(1; 2; 3)) và nhận latex(veca = (4; 5; -7)) làm vectơ chỉ phương.
- Giải:
Hình vẽ
Đường thẳng d có phương trình chính tắc là: latex((x - 1)/4 = (y - 2)/5 = (z - 3)/(-7)).
- Thực hành 4
- Thực hành 4:
Ảnh
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(5; 0; −6)) và nhận latex(veca = (3; 2; -4)) làm vectơ chỉ phương.
d. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
d. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
Hình vẽ
Ảnh
HĐ4: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 2; 1) và B(4; 5; 3). a) Tìm một vectơ chỉ phương của d. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết A(1; 1; 5) và B(3; 5; 8).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là latex(vec(AB) = (2; 4; 3)) nên có phương trình tham số:
và phương trình chính tắc là: latex((x - 1)/2 = (y - 1)/4 = (z - 5)/3).
- Thực hành 5
Ảnh
- Thực hành 5:
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết M(2; 0; −1) và N(4; 3; 1).
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
2. VT tương đối giữa hai đường thẳng. ĐK để hai đường thẳng vuông góc
a. Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Ảnh
Ảnh
HĐ5: Cho ba đường thẳng:
a. ĐK để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của d, d' và d". b) Xét điểm M(4; 1; 1) nằm trên d. Điểm M có nằm trên d' hoặc d"? c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa d và d', d và d"?
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
- Mẫu:
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương latex(veca), đường thẳng d" đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương latex(veca)'. a) Nếu ba vectơ latex(veca), latex(veca)', latex(vec(MM))' cùng phương thì d = d'. b) Nếu hai vectơ latex(veca), latex(veca)' cùng phương và hai vectơ latex(veca), latex(vec(MM))' không cùng phương thì d // d'.
- Thực hành 6
- Thực hành 6:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 2
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 2:
Ảnh
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là:
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
Ảnh
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Để xét vị trí tương đối của d và d', trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của d và d'. a) Nếu latex(veca) và latex(veca)' cùng phương d và d' hoặc song song hoặc trùng nhau. b) Nếu latex(veca) và latex(veca)' không cùng phương thì d hoặc d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
- Ví dụ 7
- Mẫu:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương latex(veca), đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương latex(veca)'. Trong trường hợp latex(veca, veca)' không cùng phương, nghĩa là [latex(veca), latex(veca)'] latex(!= vec0), ta có: * Nếu [latex(veca), latex(veca)'] . latex(MM)' = 0 thì d và d' cắt nhau. * Nếu [latex(veca), latex(veca)'] . latex(MM)' latex(!=0) thì d và d' chéo nhau.
- Thực hành 7
- Thực hành 7:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:
Xét vị trí tương đối giữa d và d'.
Ảnh
c. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
Ảnh
c. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
HĐ7: Cho hai đường thẳng d:
a) Tìm vectơ chỉ phương latex(veca) và latex(veca)' lần lượt của d và d'. b) Tính tích vô hướng latex(veca) . latex(veca)' . Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
- Giải:
a) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca) = (3; 5; 1) và latex(veca)' = (1; 1; -8). Ta có latex(veca . veca)' = 3 + 5 - 8 = 0. Vậy d và d' vuông góc với nhau. b) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca) = (3; 5; 1) và latex(veca)' = (2; 1; 1). Ta có latex(veca . veca)' = 6 + 5 + 1 latex(!=0). Vậy d và d' không vuông góc với nhau.
- Thực hành 8
- Thực hành 8:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 4
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 4:
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:
Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
3. Góc
Góc
Ảnh
3. Góc
a. Góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
a. Góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 9
Ví dụ 9: Tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi TH sau:
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca = (1; 2; 1)) và latex(veca)' = (1; 1; 2). Ta có cos(d, d') = latex((|1.1 + 2.1 + 1.2|)/(sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) . sqrt(1^2 + 1^1 + 2^2)) = 5/6). => (d, d') latex(~~ 33@33)'.
- Thực hành 9
- Thực hành 9:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 5
- Vận dụng 5:
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:
Ảnh
Ảnh
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ảnh
HĐ9: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (n_1; n_2; n_3)). Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với (P) (Hình 12). a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (∆, d)? c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức:
sin(d, (P)) = |cos(latex(veca, vecn)|.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = n_1; n_2; n_3)) được tính bởi công thức: sin(d, (P)) = latex(|cos(veca, vecn)| = (|veca . vecn|)/(|veca|. |vecn|) = (|a_1.n_1 + a_2.n_2 + a_3.n_3|)/(sqrt(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) . sqrt(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2))).
- Ví dụ 10
Ví dụ 10: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) sau: d: latex((x + 2)/2 = (y + 4)/2 = (z + 1)/1) và (P): x + z + 24 = 0;
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (2; 2; 1)). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (1; 0; 1)). Ta có sin(d, (P)) = latex((|2.1 + 2.0 + 1.1|)/(sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2) . sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2)) = 1/2). Suy ra (d, (P)) = latex(45@).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
- Thực hành 10
- Thực hành 10:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 6
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 6:
c. Góc giữa hai mặt phẳng
c. Góc giữa hai mặt phẳng
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 11
Ví dụ 11: Tính góc giữa hai MP (P) và (P') trong mỗi TH sau: a) (P): x + y - 2z + 9 = 0 và (P'): 3x - 5y + z + 2024 = 0; b) (P): x + y + 24 = 0 và (P'): y + z + 24 = 0; c) (P): 2x - 4y - z + 23 = 0 và (P'): 3x + 5y + 26z + 2025 = 0.
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là latex(vecn = (1; 1; -2)), latex(vecn)' = (3; -5; 1). Ta có cos((P), (P')) = latex((|1.3 + 1.(-5) + (-2) . 1|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + (-2)^2). sqrt(3^2 + (-5)^2 + 1^2)) = 4/sqrt210). => ((P), (P')) latex(~~ 73@)59'.
- Thực hành 11
- Thực hành 11:
Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') trong mỗi trường hợp sau: a) (P): 3x + 7y – z + 4 = 0 và (P'): x + y – 10z + 2025 = 0; b) (P): x – 2y + z + 9 = 0 và (P'): 3x + y – 5z + 2024 = 0; c) (P): x + z + 3 = 0 và (P'): 3y + 3z + 5 = 0.
Ảnh
- Thực hành 12
- Thực hành 12:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa: a) Hai đường thẳng AC và BA'; b) Hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C); c) Đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Ảnh
- Vận dụng 7
Ảnh
- Vận dụng 7:
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.
Ảnh
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng a trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương latex(veca = (1; -5; 0)). b) Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và B(3; −2; 5).
- Bài 2
Ảnh
Bài tập:
Bài 2: Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Ảnh
- Bài 3
Ảnh
Bài tập:
Bài 3: Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0. a) Tính góc giữa (P) và (P'). b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có PT: z = 0.
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 5. Bài 3. Phương trình mặt cầu".
- Cảm ơn
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 5. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gian
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho điểm latex(M_0) cố định và vectơ latex(veca) khác latex(vec0). Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua latex(M_0) và song song hoặc trùng với giá của latex(veca)?
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Vectơ latex(veca) khác latex(vec0) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Nếu latex(veca) là vectơ chỉ phương của d thì latex(kveca (k != 0)) cũng là vectơ chỉ phương của d.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 7). a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC. b) Vectơ latex(vecv = (-1; 2; 0)) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) Ta có latex(vec(AB) = (-2; 4; 0)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; latex(vec(AC) = (-2; 0; 7)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. b) Vì latex(vecv = (-1; 2; 0) = 1/2 vec(AB)) nên latex(vecv) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
- Thực hành 1
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.
- Thực hành 1:
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) cố định và có vectơ chỉ phương là latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) khác latex(vec0). a) Giải thích tại sao ta có thể viết: M ∈ d ⇔ latex(vec(M_0M) = tveca (t in R)). b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo latex(x_0, y_0, z_0) và latex(a_1, a_2, a_3).
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 2
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(1; 2; 3)) và nhận latex(veca = (4; 5; -7)) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm A(1; 1; 5) không?
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Ta có phương trình tham số của d là:
Thay x = 1 vào PT x = 1 + 4t, ta được 1 = 1 + 4t => t = 0. Thay y = 1 và t = 0 vào phương trình y = 2 + 5t, ta thấy phương trình không thoả mãn => Đường thẳng d không đi qua điểm A.
- Thực hành 2
- Thực hành 2:
Ảnh
Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Ảnh
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d. b) Tìm ba điểm trên d.
- Thực hành 3
Ảnh
- Thực hành 3:
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận latex(vecv = (9; 0; -2)) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm M(−4; 0; −5) không?
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Lấy điểm M(x; y; z) bất kì thuộc d. So sánh các biểu thức: latex((x - x_0)/(a_1); (y - y_0)/(a_2); (z - z_0)/(a_3)).
với latex(a_1, a_2, a_3) đều khác 0.
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua latex(M(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)). Nếu latex(a_1, a_2, a_3) đều khác 0 thì hệ phương trình: latex((x - x_0)/(a_1) = (y - y_0)/(a_2) = (z - z_0)/(a_3)). gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(1; 2; 3)) và nhận latex(veca = (4; 5; -7)) làm vectơ chỉ phương.
- Giải:
Hình vẽ
Đường thẳng d có phương trình chính tắc là: latex((x - 1)/4 = (y - 2)/5 = (z - 3)/(-7)).
- Thực hành 4
- Thực hành 4:
Ảnh
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm latex(M_0(5; 0; −6)) và nhận latex(veca = (3; 2; -4)) làm vectơ chỉ phương.
d. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
d. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
Hình vẽ
Ảnh
HĐ4: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 2; 1) và B(4; 5; 3). a) Tìm một vectơ chỉ phương của d. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết A(1; 1; 5) và B(3; 5; 8).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là latex(vec(AB) = (2; 4; 3)) nên có phương trình tham số:
và phương trình chính tắc là: latex((x - 1)/2 = (y - 1)/4 = (z - 5)/3).
- Thực hành 5
Ảnh
- Thực hành 5:
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết M(2; 0; −1) và N(4; 3; 1).
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
2. VT tương đối giữa hai đường thẳng. ĐK để hai đường thẳng vuông góc
a. Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Ảnh
Ảnh
HĐ5: Cho ba đường thẳng:
a. ĐK để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của d, d' và d". b) Xét điểm M(4; 1; 1) nằm trên d. Điểm M có nằm trên d' hoặc d"? c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa d và d', d và d"?
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
- Mẫu:
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương latex(veca), đường thẳng d" đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương latex(veca)'. a) Nếu ba vectơ latex(veca), latex(veca)', latex(vec(MM))' cùng phương thì d = d'. b) Nếu hai vectơ latex(veca), latex(veca)' cùng phương và hai vectơ latex(veca), latex(vec(MM))' không cùng phương thì d // d'.
- Thực hành 6
- Thực hành 6:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 2
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 2:
Ảnh
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là:
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
Ảnh
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Để xét vị trí tương đối của d và d', trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của d và d'. a) Nếu latex(veca) và latex(veca)' cùng phương d và d' hoặc song song hoặc trùng nhau. b) Nếu latex(veca) và latex(veca)' không cùng phương thì d hoặc d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
- Ví dụ 7
- Mẫu:
Ảnh
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương latex(veca), đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương latex(veca)'. Trong trường hợp latex(veca, veca)' không cùng phương, nghĩa là [latex(veca), latex(veca)'] latex(!= vec0), ta có: * Nếu [latex(veca), latex(veca)'] . latex(MM)' = 0 thì d và d' cắt nhau. * Nếu [latex(veca), latex(veca)'] . latex(MM)' latex(!=0) thì d và d' chéo nhau.
- Thực hành 7
- Thực hành 7:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:
Xét vị trí tương đối giữa d và d'.
Ảnh
c. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Ảnh
Ảnh
c. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
HĐ7: Cho hai đường thẳng d:
a) Tìm vectơ chỉ phương latex(veca) và latex(veca)' lần lượt của d và d'. b) Tính tích vô hướng latex(veca) . latex(veca)' . Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
- Giải:
a) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca) = (3; 5; 1) và latex(veca)' = (1; 1; -8). Ta có latex(veca . veca)' = 3 + 5 - 8 = 0. Vậy d và d' vuông góc với nhau. b) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca) = (3; 5; 1) và latex(veca)' = (2; 1; 1). Ta có latex(veca . veca)' = 6 + 5 + 1 latex(!=0). Vậy d và d' không vuông góc với nhau.
- Thực hành 8
- Thực hành 8:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 4
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 4:
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:
Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
3. Góc
Góc
Ảnh
3. Góc
a. Góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
a. Góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 9
Ví dụ 9: Tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi TH sau:
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(veca = (1; 2; 1)) và latex(veca)' = (1; 1; 2). Ta có cos(d, d') = latex((|1.1 + 2.1 + 1.2|)/(sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) . sqrt(1^2 + 1^1 + 2^2)) = 5/6). => (d, d') latex(~~ 33@33)'.
- Thực hành 9
- Thực hành 9:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 5
- Vận dụng 5:
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:
Ảnh
Ảnh
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ảnh
HĐ9: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (n_1; n_2; n_3)). Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với (P) (Hình 12). a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (∆, d)? c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức:
sin(d, (P)) = |cos(latex(veca, vecn)|.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = n_1; n_2; n_3)) được tính bởi công thức: sin(d, (P)) = latex(|cos(veca, vecn)| = (|veca . vecn|)/(|veca|. |vecn|) = (|a_1.n_1 + a_2.n_2 + a_3.n_3|)/(sqrt(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) . sqrt(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2))).
- Ví dụ 10
Ví dụ 10: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) sau: d: latex((x + 2)/2 = (y + 4)/2 = (z + 1)/1) và (P): x + z + 24 = 0;
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương latex(veca = (2; 2; 1)). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (1; 0; 1)). Ta có sin(d, (P)) = latex((|2.1 + 2.0 + 1.1|)/(sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2) . sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2)) = 1/2). Suy ra (d, (P)) = latex(45@).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
- Thực hành 10
- Thực hành 10:
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 6
Ảnh
Ảnh
- Vận dụng 6:
c. Góc giữa hai mặt phẳng
c. Góc giữa hai mặt phẳng
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 11
Ví dụ 11: Tính góc giữa hai MP (P) và (P') trong mỗi TH sau: a) (P): x + y - 2z + 9 = 0 và (P'): 3x - 5y + z + 2024 = 0; b) (P): x + y + 24 = 0 và (P'): y + z + 24 = 0; c) (P): 2x - 4y - z + 23 = 0 và (P'): 3x + 5y + 26z + 2025 = 0.
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là latex(vecn = (1; 1; -2)), latex(vecn)' = (3; -5; 1). Ta có cos((P), (P')) = latex((|1.3 + 1.(-5) + (-2) . 1|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + (-2)^2). sqrt(3^2 + (-5)^2 + 1^2)) = 4/sqrt210). => ((P), (P')) latex(~~ 73@)59'.
- Thực hành 11
- Thực hành 11:
Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') trong mỗi trường hợp sau: a) (P): 3x + 7y – z + 4 = 0 và (P'): x + y – 10z + 2025 = 0; b) (P): x – 2y + z + 9 = 0 và (P'): 3x + y – 5z + 2024 = 0; c) (P): x + z + 3 = 0 và (P'): 3y + 3z + 5 = 0.
Ảnh
- Thực hành 12
- Thực hành 12:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa: a) Hai đường thẳng AC và BA'; b) Hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C); c) Đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Ảnh
- Vận dụng 7
Ảnh
- Vận dụng 7:
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.
Ảnh
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng a trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương latex(veca = (1; -5; 0)). b) Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và B(3; −2; 5).
- Bài 2
Ảnh
Bài tập:
Bài 2: Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Ảnh
- Bài 3
Ảnh
Bài tập:
Bài 3: Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0. a) Tính góc giữa (P) và (P'). b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có PT: z = 0.
Ảnh
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 5. Bài 3. Phương trình mặt cầu".
- Cảm ơn
Ảnh
 
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất