CHƯƠNG V. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG V. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Dây cáp của cầu gợi nên hình ảnh đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (H22). Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng là gì? Làm thế nào để lập được phương trình của đường thẳng?
- Khởi động:
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng
Ảnh
1. Phương trình đường thẳng
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ảnh
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
HĐ1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 23). Giá của vectơ latex(vec(AC))' và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?
'
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Cho đường thẳng latex(Delta) và vectơ latex(vecu) khác latex(vec0). Vectơ latex(vecu) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng latex(Delta) nếu giá của latex(vecu) song song hoặc trùng với latex(Delta).
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu latex(vecu) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì latex(kvecu) latex((k != 0)) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong Hình 23, các vectơ latex(vec(AB), vec(CD)) và latex(vec(AB))' có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao?
- Giải:
Ảnh
'
Ảnh
Do vectơ latex(vec(AB)) khác latex(vec0) và có giá là đường thẳng AB nên vectơ latex(vec(AB)) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Do các vectơ latex(vec(CD), vec(AB))' khác latex(vec0) và có giá lần lượt là các đường thẳng CD, A'B' song song với đường thẳng AB nên hai vectơ đó đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
'
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Trong Hình 23, vectơ latex(vec(BD))' có là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD hay không? Vì sao?
'
b. Phương trình tham số của đường thẳng
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Ảnh
HĐ2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm latex(M_0(1; 2; 3)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (2; 3; 5)). Xét điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ (Hình 24). a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ latex(vecu) và latex(vec(M_0M)). b) Có hay không số thực t sao cho latex(vec(M_0M) = tvecu)? c) Hãy biểu diễn x, y, z qua t. d) Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) có thỏa mãn hệ phương trình:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
- Mẫu:
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm C(1; 2; – 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + 2z – 1 = 0.
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Ảnh
Ảnh
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
HĐ3: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:
Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) có thỏa mãn hệ phương trình latex((x - 2)/3 = (y - 4)/7 = (z - 5)/8) hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Nếu latex(abc != 0) thì hệ phương trình latex((x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng latex(Delta) đi qua latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b; c)).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(1; 3; 6) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (9; 2; 13)).
- Giải:
Ảnh
Phương trình chính tắc của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(1; 3; 6) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (9; 2; 13)) là: latex((x - 1)/9 = (y - 3)/2 = (z - 6)/13).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hình vẽ
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết phương trình tham số của ∆ là:
Ảnh
d. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
Ảnh
d. Lập PT đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
HĐ4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 9). a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết A(4; 1; 2) và B(5; 8; 6).
- Giải:
Ảnh
* Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: latex((x - 4)/(5-4) = (y - 1)/(8 - 1) = (z - 2)/(6 - 2) <=> (x - 4)/1 = (y - 1)/7 = (z - 2)/4). * Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
Ảnh
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM, biết M(a; b; c) với abc ≠ 0.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ảnh
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
- HĐ5
Ảnh
- Hoạt động 5:
Cho hai đường thẳng phân biệt latex(Delta_1, Delta_2) lần lượt đi qua các điểm latex(M_1, M_2) và tương ứng có vectơ chỉ phương là latex(vecu_1, vecu_2). a) Giả sử latex(Delta_1) song song với latex(Delta_2). Các cặp vectơ có cùng phương hay không: latex(vecu_1) và latex(vecu_2); latex(vecu_1) và latex(vec(M_1M_2))?
Ảnh
b) Giả sử latex(Delta_1) và latex(Delta_1) cắt nhau. Hai vectơ latex(vecu_1, vecu_2) có cùng phương hay không? Ba vectơ latex(vecu_1, vecu_2) và latex(vec(M_1M_2)) có đồng phẳng hay không?
+ tiếp
Ảnh
- Hoạt động 5:
Cho hai đường thẳng phân biệt latex(Delta_1, Delta_2) lần lượt đi qua các điểm latex(M_1, M_2) và tương ứng có vectơ chỉ phương là latex(vecu_1, vecu_2). c) Giả sử latex(Delta_1) và latex(Delta_2) chéo nhau (H27). Hai vectơ latex(vecu_1, vecu_2) có cùng phương hay không? Ba vectơ latex(vecu_1, vecu_2) và latex(vec(M_1M_2)) có đồng phẳng hay không?
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 5
Ảnh
- Mẫu:
Ví dụ 5: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) trong mỗi trường hợp sau:
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Hình vẽ
Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Ảnh
3. Góc
Góc
Ảnh
3. Góc
a. Góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
a. Góc giữa hai đường thẳng
HĐ6: Cho hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(vec(u_1), vec(u_2)). Giả sử latex(Delta_1)',latex(Delta_2)' là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với latex(Delta_1, Delta_2) (H28). a) Nêu mối liên hệ giữa hai góc latex((Delta_1, Delta_2)) và latex((Delta_1, Delta_2)). b) Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) sao cho latex(vec(IA) = vec(u_1), vec(IB) = vec(u_2)). So sánh:
'
'
Ảnh
c) So sánh latex(cos(Delta_1, Delta_2)) và latex((|vec(u_1) . vec(u_2)|)/(|vec(u_1)| . |vec(u_2)|)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) có vectơ chỉ phương lần lượt latex(vec(u_1) = (a_1; b_1; c_1), vec(u_2) = (a_2; b_2; c_2)). Khi đó, ta có: latex(cos(Delta_1, Delta_2) = (|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|)/(sqrt(a_1^2 + b_1^2 + c_1^2). sqrt(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2))).
Hình vẽ
Ảnh
- Chú ý:
latex(Delta_1 _|_ Delta_2 <=> a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0)
- Ví dụ 6
Ảnh
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Hai đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(vec(u_1) = (1; -sqrt3; 0), vec(u_2) = (- sqrt3; 1; 0)). Ta có: latex(cos(Delta_1, Delta_2) = (|1 . (-sqrt3) + (-sqrt3) . 1 + 0 . 1|)/(sqrt(1^2 + (-sqrt3)^2 + 0^2) . sqrt((-sqrt3)^2 + 1^2 + 0^2)) = (2sqrt3)/4 = sqrt3/2). => latex((Delta_1, Delta_2) = 30@).
- Ví dụ 7
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng latex(Delta_1 = (x - 1)/3 = y/2 = (z + 1)/1, Delta_2 = x/(-1) = (y - 2)/2 = (z - 3)/(-1)). Chứng minh rằng latex(Delta_1 _|_ Delta_2).
Hình vẽ
Đường thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) có vectơ chỉ phương lần lượt là latex(vec(u_1) = (3; 2; 1), vec(u_2) = (-1; 2; -1)). Ta có: Ta có: latex(vec(u_1) . vec(u_2) = 3 . (-1) + 2 . 2 + 1 . (-1) = 0 => Delta_1 _|_ Delta_2).
- Luyện tập 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Cho đường thẳng latex(Delta: x/2 = y/(-1) = z/2). Tính côsin của góc giữa đường thẳng latex(Delta) và các trục toạ độ.
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ảnh
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
HĐ7: Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là latex(vecn), đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là latex(vecu) và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) (Hình 29) a) Hãy xác định góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). b) So sánh sin (∆, (P)) và latex(|cos(vecu, vecn)|).
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Cho MP (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (1; 2; 2)) và đường thẳng latex(Delta) có vectơ chỉ phương latex(vecu = (2; 2; -1)). Tính sin của góc giữa đường thẳng latex(Delta) và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ta có: latex(sin(Delta, (P)) = (|1. 2 + 2. 2 + 2. (-1)|)/(sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2). sqrt(2^2 + 2^2 + (-1)^2)) = 4/9). => latex((Delta, (P)) ~~ 26@).
- Luyện tập 7
- Luyện tập 7:
Ảnh
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)). Tính sin của góc giữa mặt phẳng (P) và các trục tọa độ.
c. Góc giữa hai mặt phẳng
Ảnh
c. Góc giữa hai mặt phẳng
HĐ8: Cho hai mặt phẳng latex((P_1)) và latex((P_2)). Lấy hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) sao cho latex(Delta_1 _|_ (P_1), Delta_2 _|_ (P_2)) (Hình 31). a) Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2). b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng latex(Delta_1, Delta_2) như trên hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Góc giữa hai mặt phẳng latex((P_1)) và latex((P_2)) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là latex((P_1), (P_2)).
- Ví dụ 9
Ảnh
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 9: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (CDA'B').
Ảnh
- Luyện tập 8
- Luyện tập 8:
Ảnh
Trong Ví dụ 10, tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B').
- HĐ9
Ảnh
Ảnh
HĐ9: Cho hai mặt phẳng latex((P_1)) và latex((P_2)). Gọi latex(vec(n_1) = (A_1; B_1, C_1), vec(n_2) = (A_2; B_2; C_2)). Lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của latex((P_1), (P_2); Delta_1, Delta_2) lần lượt là giá của hai vectơ latex(vec(n_1), vec(n_2)) (H33). So sánh: a) cos(latex((P_1)), latex((P_1))) và latex(cos(Delta_1, Delta_2)); b) latex(cos(Delta_1, Delta_2)) và latex(|cos(vec(n_1), vec(n_2)))|.
- Định lí
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Ví dụ 10
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 10: Cho hai mặt phẳng latex((P_1): sqrt3 x + z + 5 = 0) và latex((P_2): -sqrt3 x + z - 7 = 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng latex((P_1)) và latex((P_2)).
Do latex((P_1)) và latex((P_2)) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là latex(vec(n_1) = (sqrt3; 0; 1), vec(n_2) = (-sqrt3; 0; 1)). nên latex(cos((P_1);(P_2)) = (|sqrt3 . (-sqrt3) + 0 . 0 + 1 . 1|)/(sqrt((sqrt3)^2 + 0^2 + 1^2) . sqrt((-sqrt3)^2 + 0^2 + 1^2)) = 1/2). => (latex((P_1)), latex((P_2))) = latex(60@).
- Luyện tập 9
- Luyện tập 9:
Ảnh
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)). Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ.
4. Một số ứng dụng của phương trình đường thẳng trong thực tiễn
Một số ứng dụng của phương trình đường thẳng trong thực tiễn
Ảnh
4. Một số ứng dụng của phương trình đường thẳng trong thực tiễn
- Ví dụ 11
Ảnh
Ví dụ 11: Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữa nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như H34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có toạ độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(3; -4; 2), B(-5; -2; 1), đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm (0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng. b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sường núi.
- Ví dụ 12
Ảnh
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là latex(vecu = (2; -2; 1)) với tốc độ là 4,5 m/s. a) Viết phương trình đường cáp. b) Giả sử sau t(s) kể từ lúc xuất phát latex((t >= 0)), cabin đến điểm M. Tìm toạ độ điểm M. c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ latex(x_B = 550). Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn KQ đến hàng đơn vị của mét). d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ?
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận latex(vecu = (2; -3; 8)) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
A. latex((x - 1)/2 = (y + 3)/(-3) = (z + 6)/8).
B. latex((x + 1)/2 = (y - 3)/(-3) = (z - 6)/8).
C. latex((x + 1)/(-2) = (y - 3)/3 = (z - 6)/8).
D. latex((x + 1)/2 = (y - 3)/3 = (z - 6)/8)
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: a) ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (-2; 3; 4)). b) ∆ đi qua điểm M(2; – 1; 3) và N(3; 0; 4)..
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 3. Phương trình mặt cầu".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh