BÀI 19: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trang bìa
Trang bìa
TOÁN 10
BÀI 19: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Ảnh
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Đường thẳng là một tập hợp điểm, được xác định bởi tính chất đặc trưng của các điểm thuộc đường thẳng đó. Do vậy, ta có thể đại số hóa đường thẳng bằng cách thể hiện tính chất đặc trưng đó bởi điều kiện đại số đối với tọa độ của các điểm tương ứng.
Ảnh
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
- Hoạt động 1
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1. Cho vecto latex(vec(n)!=vec(0)) và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho latex(vec(AM)) vuông góc với latex(vec(n)).
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét: - Nếu latex(vec(n))là vecto pháp tuyến của đường thẳng latex(Delta) thì latex(k vec(n) (k!=0)) cùng là vecto pháp tuyến của latex(Delta). - Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3;1), B(4;0), C(5;3). Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB và một vecto pháp tuyến của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Giải: - Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với AB nên có một vecto pháp tuyến là latex(vec(AB))(1; -1). - Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC nên có một vecto pháp tuyến là latex(vec(BC))(1;3).
- Hoạt động 2
Ảnh
HĐ2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(A(x_0;y_0)) và có vecto pháp tuyến latex(vec(n))(a;b). Chứng minh rằng điểm M(x;y) thuộc latex(Delta) khi và chỉ khi latex(a(x-x_0)+b(y-y_0))=0. (1)
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét: - Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax+by+c=0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax+by+c=0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng. - Nhận latex(vec(n))(a;b) là một vecto pháp tuyến.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(2; 1) và nhận latex(vec(n))(3; 4) là một vecto pháp tuyến.
Giải: - Đường thẳng latex(Delta) có phương trình là: 3(x - 2) + 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(0;b) và có vecto pháp tuyến latex(vec(n))(a;-1), với a, b là các số cho trước. Hãy chỉ ra mối liên hệ giữa đường thẳng latex(Delta)) với đồ thị của hàm số y = ax + b.
Giải: - Đường thẳng latex(Delta) có phương trình là: a(x - 0) - 1(y - b) = 0 hay ax - y + b = 0. - Đường thẳng latex(Delta) là tập hợp những điểm M(x; y) thỏa mãn ax - y + b = 0, hay là y = ax + b. - Do đó, đường thẳng latex(Delta): ax- y + b = 0 chính là đồ thị của hàm số y = ax + b.
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. 2. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng latex(Delta): y = 3x + 4.
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng latex(Delta): ax + by + c = 0. - Nếu b = 0 thì phương trình có thể đưa về dạng x = m (với m = latex(-c/a)) và latex(Delta) vuông góc với Ox. - Nếu latex(b !=0) thì phương trình có thể đưa về dạng y = nx + p (với latex(n=-a/b, p = -c/b)).
2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
- Hoạt động 3
2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
HĐ3. Trong hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vecto vận tốc bằng latex(vec(v)) và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét
Nhận xét: - Nếu latex(vec(u)) là vecto chỉ phương của đường thẳng latex(Delta) thì latex(k vec(u) (k!=0)) cùng là vecto chỉ phương của latex(Delta). - Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương của nó. - Vecto latex(vec(n))(a;b) vuông góc với các vecto latex(vec(u))(-b;a) và latex(vec(v))(b; -a) nên nếu latex(vec(n)) là vecto pháp tuyến của đường thẳng latex(Delta) thì latex(vec(u), vec(v)) là hai vecto chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(3; 2), B(1; -4). Hãy chỉ ra hai vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
Giải: - Đường thẳng AB nhận latex(vec(AB))(-2; -6) là một vecto chỉ phương. - Lấy latex(vec(u)= -1/2 vec(AB) = (1;3)), khi đó latex(vec(u)) cũng là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng latex(Delta): 2x - y + 1 = 0.
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4. Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc latex(vec(v))(3; 4). a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng đó)? b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).
- Kết luận (Kết luận)
Ảnh
- Cho đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(A(x_0;y_0)) và có vecto chỉ phương latex(vec(u))(a;b). Khi đó điểm M(x; y) thuộc đường thẳng latex(Delta) khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho latex(vec(AM) = t vec(u)), hay Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) (t là tham số) .
Ảnh
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5:
Lập phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(2; -3) và có vecto chỉ phương latex(vec(u))(4; -1).
Giải: - Phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) là:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6:
Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 3) và B(t; 5).
Giải: - Đường thẳng AB đi qua A(2; 3) và có vecto chỉ phương latex(vec(AB)=(-t;2)), do đó có phương trình tham số là:
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
1. Lập phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 1 = 0. 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x; y), B(m, n) cho trước.
- Vận dụng
Vận dụng
Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau: Nước đóng bằng ở 0 độ C, 32 độ F; Nước sôi ở 100 độ C, 212 độ F. Trong quy đổi đó, nếu a độ C tương ứng với b độ F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi latex(0@F, 100@F) tương ứng với bao nhiêu độ C?
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách.
- Cảm ơn
Ảnh