CHƯƠNG 7: BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 10
CHƯƠNG 7: BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu hỏi khởi động
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Câu hỏi khởi động
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Một máy bay cất cánh từ sân bay theo một đường thẳng nghiêng với phương nằm ngang một góc latex(20@), vận tốc cất cánh là 200km/h. Hình 24 minh họa hình ảnh đường bay của máy bay trên màn hình ra đa của bộ phận không lưu.
Làm thế nào để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ?
I. Phương trình tham số của đường thẳng
- Hoạt động 1
I. Phương trình tham số của đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Hình vẽ
Ảnh
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng latex(Delta).
Vẽ vectơ latex(vecu (vecu != 0)) có giá trị song song (hoặc trùng) với đường thẳng latex(Delta) (Hình 25).
- Hoạt động 1:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Vectơ latex(vecu) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng latex(Delta) nếu latex(vecu != 0) và giá trị của latex(vecu) song song hoặc trùng với latex(Delta).
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Nếu latex(vecu) là một vectơ chỉ phương của latex(Delta) thì latex(kvecu (k != 0)) cũng là một vectơ chỉ phương của latex(Delta). Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Hình vẽ
Ảnh
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0)) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b)). Xét điểm M(x; y) nằm trên latex(Delta) (Hình 26).
a) Nhận xét về phương của hai vectơ latex(vecu) và latex(vec(M_0M)). b) Chứng minh có số thực t sao cho latex(vec(M_0M) = tvecu). c) Biểu diễn tọa độ của điểm M qua tọa độ của điểm latex(M_0) và tọa độ của vectơ chỉ phương latex(vecu).
- Hoạt động 2:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hệ
Ảnh
Ảnh
latex(x = x_0 + at) latex(y = y_0 + at)
(latex(a^2 + b^2 > 0) và t là tham số) được
gọi là phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua latex(M_0(x_0; y_0)) và nhận latex(vecu = (a; b)) là vectơ chỉ phương.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
latex(x = x_0 + at) latex(y = y_0 + at)
(latex(a^2 + b^2 > 0) và t là tham số)
Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình tham số là:
+) Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng latex(Delta). Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng latex(Delta), ta xác định được một giá trị cụ thể của t. +) Vectơ latex(vecu = (a; b)) là một vectơ chỉ phương của latex(Delta).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: a) Viết phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(-1; 3) và có vectơ chỉ phương latex(vecu = (2; 1/2)). b) Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình tham số là:
Ảnh
x = -5 + 3t y = 8 - 2t
Chỉ ra tọa độ một vectơ chỉ phương của latex(Delta) và một điểm thuộc đường thẳng latex(Delta).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập:
Câu 1: Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình tham số:
a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng latex(Delta). b) Điểm nào trong các điểm C(-1; -1), D(1; 3) thuộc đường thẳng latex(Delta)?
Ảnh
x = -1 - 2t y = -2 + t
II. Phương trình tổng quát của đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Hình vẽ
II. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Ảnh
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng latex(Delta).
Vẽ vectơ latex(vecn (n != 0)) có giá vuông góc với đường thẳng latex(Delta) (Hình 27).
- Hoạt động 3:
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Vectơ latex(vecn) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng latex(Delta) nếu latex((n != 0)) vuông góc với latex(Delta).
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
- Nếu latex(vecn) một vectơ pháp tuyến của latex(Delta) thì latex(kvecn (k != 0)) cũng là một vectơ pháp tuyến của latex(Delta). - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó. - Nếu đường thẳng latex(Delta) có vectơ chỉ phương là latex(vecu = (a; b)) thì vectơ latex(vecn = (-b; a)) là một vectơ pháp tuyến của latex(Delta).
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Hình vẽ
Ảnh
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(X_0; Y_0)) và có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (a; b)). Xét điểm M(x; y) nằm trên latex(Delta) (Hình 28).
a) Nhận xét về phương của hai vectơ latex(vecn) và latex(vec(M_0M)). b) Tìm mối liên hệ giữa tọa độ của điểm M với tọa độ của điểm latex(M_0) và tọa độ của vectơ pháp tuyến latex(vecn).
- Hoạt động 4
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Phương trình ax + by + c = 0 (a và b là không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
- Đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0)) và nhận latex(vecn = (a; b)) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: latex(a(x-x_0) + b(y - y_0) = 0 <=> ax + by + (-ax_0 - by_0) = 0) - Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng latex(Delta) trên mặt phẳng tọa độ nhận một vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (a; b)).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(-2; 4) và có vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (3; 2)).
- Luyện tập
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập:
Câu 2: Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình tổng quát là x - y + 1 = 0.
a) Chỉ ra tọa độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của latex(Delta). b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc latex(Delta).
3. Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
3. Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
Hình vẽ
Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 (a hoặc b khác 0).
- Hoạt động 5:
Nêu nhận xét về vị trí tương đối của của đường thẳng latex(Delta) với các trục tọa độ trong mỗi trường hợp sau: a) b = 0 và latex(a != 0); b) latex(b != 0 ) và a = 0 c) latex(b != 0) và latex(a != 0).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Đường thẳng latex(Delta) có phương trình tổng quát latex(ax + by + c = 0) (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi latex(a != 0, b != 0). - Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.
III. Lập phương trình đường thẳng
1. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
III. Lập phương trình đường thẳng
1. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Ảnh
Hình vẽ
Phương trình đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0)) và nhận latex(vecn = (a; b)) latex(vecn != vec0) là vectơ pháp tuyến là latex(a(x- x_0) + b(y - y_0) = 0).
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương
Hình vẽ
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0)) và nhận latex(vecu = (a; b) (vecu != vec0)) làm vectơ chỉ phương là:
Ảnh
latex(x = x_0 + at) latex(y = y_0 + bt)
(t là tham số)
Nếu latex(a != 0) và latex(b != 0) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng latex(Delta) ở dạng: latex((x - x_0)/a = (y - y_0)/b).
3. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Hình vẽ
3. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Đường thẳng latex(Delta) đi qua hai điểm latex(A(x_0; y_0), B(x_1; y_1)) nên nhận vectơ latex(vec(AB) = (x_1 - x_0; y_1 - y_0)) làm vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng latex(Delta) là:
Ảnh
latex(x = x_0 + (x_1 - x_0)t) latex(y = y_0 + (y_1 - y_0)t)
(t là tham số)
Nếu latex(x_1 - x_0 != 0) và latex(y_1 - y_0 != 0) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng latex(Delta) ở dạng: latex((x - x_0)/(x_1 - x_0) = (y - y_0)/(y_1 - y_0)).
- Ví dụ 3
Ảnh
a) Đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm M(-2; -3) và có latex(vecn = (2; 5)) là vectơ pháp tuyến; b) đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm M(3; -5) và có latex(vecu = (2; -4)) là vectơ chỉ phương; c) Đường thẳng latex(Delta) đi qua hai điểm A(-3; 4) và B(1; -1).
Ảnh
Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng latex(Delta) thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Lập phương trình đường thẳng latex(Delta) đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với latex(a^2 + b^2 > 0).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Đường thẳng latex(Delta) ở Hình 33 biểu thị tổng chi phí lắp đặt và tiền cước sử dụng dịch vụ Internet (đơn vị: trăm nghìn đồng) theo thời gian của một gia đình (đơn vị: tháng).
a) Viết phương trình của đường thẳng latex(Delta). b) Giao điểm của đường thẳng latex(Delta) với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì? c) Tính tổng chi phí lắp đặt và sử dụng Internet trong 12 tháng đầu tiên.
Bài tập
Câu 1
Ảnh
Bài tập:
Câu 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(-1; 2) và a) Có vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (3; 2)). b) Có vectơ chỉ phương là latex(vecu (-2; 3)).
Câu 2 (Bài tập)
Hình vẽ
Câu 2: Lập phương trình mỗi đường thẳng trong các Hình 34, 35, 36, 37 dưới đây:
Ảnh
Ảnh
- Hình 36, 37 (Câu 2: Lập phương trình mỗi đường thẳng trong các Hình 34, 35, 36, 37 dưới đây:)
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
Kết luận
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Ôn lại bài vừa học. Làm bài tập về nhà trong SGK bài 3, 4, 5, 6 (Tr.80) và SBT. Chuẩn bị bài sau: " Chương 7: Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ".
Cảm ơn
Ảnh