Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 29: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Hoạt động 1:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng * Hoạt động 1 Trong mặt phẳng OXY cho đường thẳng Δ là đồ thị của hàm số: latex(y=(1)/(2)x) . a. Tìm tung độ của hai điểm M0 và M nằm trên Δ có hoành độ lần lượt là 2 và 6. b. Cho vectơ latex(vec(U)=(2;1)) hãy chứng tỏ latex(vec(M_0M)) cùng phương với latex(vec(U)) Giải a. Ta sẽ thay hoành độ đó vào đường thẳng. Với x=2 ta có tung độ của điểm M là: latex(y =(1)/(2)*2 = 1 rArr M(2; 1)) Với x = 6 ta có tung độ của điểm latex(M_0) là: latex(y = (1)/(2)*6=3 rArr M_0( 6; 3)) Hoạt động 1_tiếp:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng * Hoạt động 1 Giải b. Cho vectơ latex(vec(U)=(2;1)) hãy chứng tỏ latex(vec(M_0M)) cùng phương với latex(vec(U)) Hai vectơ cùng phương khi vectơ này bằng k lần vectơ kia. Vậy để chứng minh latex(vec(M_0M) )cùng phương với vectơ latex(vec(U)) ta cần chứng minh latex(vec(M_0M)=kvecU) . Ta có latex(vec(U_0U)=(4;2)=2(2;1)=2vecU) vậy hai vectơ trên cùng phương với nhau. Ta sẽ minh hoạ bằng đồ thị như sau: Đường thẳng latex(Delta) và vectơ latex(vecU) như trên, ta nói latex(vecU) là vectơ chỉ phương của latex(Delta). Định nghĩa:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Định nghĩa Vectơ latex(vecU) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu latex(vecU!=0) và giá của latex(vecU) song song hoặc trùng với ∆. b. Nhận xét - Nếu latex(vecU) là một vectơ chỉ phương thì latex(kvecU) (k≠0 ) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa:
2. Phương trình tham số của đường thẳng a. Định nghĩa Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng Δ đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0)) và nhận latex(vecu=(u_1; u_2)) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x;y) bất kì trong mặt phẳng, ta có: latex(vec(M_0M)=(x-x_o; y-y_0)) Khi đó latex(M in Delta hArr vec(M_0M)) cùng phương với latex(vecu hArr vec(M_0M) = tvecu) latex(hArr) latex({) latex(x-x_0 = tu_1) latex(y-y_0 = tu_2) latex(hArr) latex({) latex(x = tu_1 x_0) latex(y = tu_2 y_0) (1) - Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, trong đó t là tham số. - Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Nhận xét:
2. Phương trình tham số của đường thẳng * Nhận xét - Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng ta luôn có được phương trình tham số của đường thẳng đó. - Ta có thể viết được phương trình tham số của đường thẳng khi biết nó đi qua một điểm song song với một đường thẳng nào đó. Hoạt động 2:
2. Phương trình tham số của đường thẳng * Hoạt động 2 Hãy tìm một điẻm có toạ độ xác định và một véc tơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số. latex({) x = 5 - 6t y = 2 8t Giải Tìm một điểm thuộc đường thẳng M(-1;10). Xác định một véc tơ chỉ phương của đường thẳng latex(vecu=(-6; 8)) Liên hệ giữa véc tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng :
2. Phương trình tham số của đường thẳng b. Liên hệ giữa véc tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số latex({) latex(x = x_0 tu_1 latex(y = y_0 tu_2 Nếu latex(u_1)≠0 thì từ phương trình tham số của Δ ta có: latex({) latex(t = (x-x_0)/(u_1) latex(y - y_0 = tu_2 Suy ra được latex(y - y_0 = (u_2)/(u_1)(x-x_0)) Đặt latex( k =(u_2)/(u_1)) ta được latex(y-y_0 = k(x-x_0)) Như vậy nếu đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương latex(vecu=(u_1; u_2)) với latex(u_1!=0) thì latex(Delta) có hệ số góc k=latex((u_2)/(u_1)) Ví dụ 1:
2. Phương trình tham số của đường thẳng b. Liên hệ giữa véc tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng * Ví dụ 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A (-1; 2) và B (3; 1). Tính hệ số góc của ∆. Giải Vì ∆ đi qua A và B nên ∆ có VTCP là AB=( 4; -1) Phương trình tham số của ∆ có dạng: latex({) latex(x= -1 4t y = 2 -t Hệ số góc của ∆ là: latex(k = -(1)/(4)) Ví dụ 2:
2. Phương trình tham số của đường thẳng b. Liên hệ giữa véc tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng * Ví dụ 2 Tính hệ số góc của đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: a. latex(vec(u) = (-1; sqrt5)) b.latex(vec(u) = (3; 0) c.latex(vec(u) = (0; 3) Giải a. latex(k = -sqrt(5) b. latex(k =0 c. Không tồn tai k. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Hoạt động 3:
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng * Hoạt động 3 Cho đường thẳng latex(Delta) có phương trình: x = -3 5t latex({) y = 1 2t và vectơ latex(vecn=(2; -5) Hãy chứng tỏ latex(vecn) vuông góc với vectơ chỉ phương của latex(Delta) Giải Vectơ chỉ phương của latex(Delta): latex(vecu=(5; 2)) Vectơ latex(vecn) vuông góc với latex(vecu) vì: latex(vecn.vecu=2.5 - 5.2 =0 Vectơ latex(vecn) trên được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ Định nghĩa:
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng a. Định nghĩa Vectơ latex(vecn) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ Nếu latex(vecn!=0) và latex(vecn)vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆ Nếu ∆ có vectơ pháp tuyến latex(vecn(a;b)) thì nó luôn có một vec tơ chỉ phương là latex(vecu=(b; -a)) hoặc latex(vecu=(-b; a)) Nhận xét:
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng b. Nhận xét Nếu latex(vecn) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì latex(k.vecn(k!=0)) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Ví dụ :
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng c. Ví dụ Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến latex(vecn=(2; -3)). Các vectơ nào sau đây là vec tơ chỉ phương của đường thẳng đó?
A. latex(vec(u_1) = (2; 3)
B. latex(vec(u_1) = (3; 2)
C. latex(vec(u_1) = (-2; 3)
D. latex(vec(u_1) = (-3; 3)
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa:
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng đi qua latex(M_o(x_o; y_o)) và có vectơ pháp tuyến latex(vecn=(a; b)) Với M (x; y) ta có latex(M_0M=(x - x_0; y- y_0) Khi đó latex(M(x; y) in Delta hArr vecn _|_vec(M_0M) latex(hArr vecn.vec(M_0M) = 0 hArr a(x-x_0) b(y-y_0) =0 latex(hArr ax by c=0) với latex(c = -ax_0 - by_0) a. Định nghĩa Phương trình ax by c = 0 với a và b không đồng thời bằng không được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét:
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng b. Nhận xét - Đường thẳng có phương trình ax by c = 0 có véctơ pháp tuyến latex(vecn=(a; b))và véc tơ chỉ phương latex(vecu=(-b; a)) - Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua latex(M(x_o; y_o)) và nhận và nhận latex(vecn=(a; b)) làm véctơ pháp tuyến có dạng: Hoạt động 6:
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng * Hoạt động 6 Hãy tìm toạ độ của véctơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình: 3x 4y 5 =0. Giải Đường thẳng 3x 4y 5 =0 có vectơ pháp tuyến latex(vecn=(3; 4)) nên có vectơ chỉ phương là latex(vecu=(-4; 3)) Ví dụ :
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng * Ví dụ 3 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(1; -1) và B(2; 3). Giải Đường thẳng ∆ có véctơ chỉ phương latex(vec(AB) = (1; 4)) nên ∆ có véctơ pháp tuyến latex(vecn=(4; -1)) và đi qua A(1; -1). Vậy phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x-1) - 1(y 1) = 0 latex(hArr 4x - y - 5 =0) Các trường hợp đặc biệt:
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng c. Các trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax by c=0 (1) Nếu a = 0 thì phương trình (1) trở thành by = c hay latex(y=-(c)/(d)) ∆ vuông góc với trục Oy tại điểm latex((0; -(c)/(d)) Nếu b = 0 thì phương trình (1) trở thành ax = c hay latex(x=-(c)/(a)) ∆ vuông góc với trục Ox tại điểm latex((-(c)/(a); 0) Nếu c=0 phương trình (1) trở thành ax by=0 ∆ đi qua gốc toạ độ O Các trường hợp đặc biệt_tiếp:
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng c. Các trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax by c=0 (1) Nếu a, b, c đều khác 0 đưa phương trình (1) về dạng: latex(x/(a_0) y/(b_0) =1) (2) với latex(a_0=-(c)/(a); b_0=-(c)/(b)); pt ( 2) Là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, cắt Ox, Oy tại latex(M(a_0 ;0)) và latex(N(0;b_0)) Củng cố
Bài 1:
* Bài 1 Cho đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương là latex(vecu)=(2;0) Véc tơ nào trong các véc tơ sau đây là véc tơ chỉ phương của ∆. .
A. latex(vecv=(0; 0)
B. latex(vecb=(6; 3)
C. latex(vecc=(5; 0)
D. latex(vecd=(0; 3)
Bài 2:
* Bài 2 Đường thẳng đi qua hai điểm A(2;2) và B(3;4) có véc tơ chỉ phương là:
A. (4; 2)
B. (1; 2)
C. (2 ;1)
D. (6; 8)
Bài 3:
* Bài 3 Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến latex(vecn=(-2; 0)). Các vectơ nào sau đây không là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó?
A. latex(vec(u_1) = (0; 3)
B. latex(vec(u_1) = (0; -7)
C. latex(vec(u_1) = (8; 0)
D. latex(vec(u_1) = (0; -5)
Bài 4:
* Bài 4 Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: -2x 3y -1=0. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆?
A. (3; 2)
B. (2; 3)
C. (-3; 2)
D.(2; -3)
Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại các bài đã học. - Làm bài tập từ 1, 2, 3, 4 sgk trang 80. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: