BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức: latex(V(t) = 780 . (0,905)^t), Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ
HĐ1: Nhận biết nghiệm phương trình mũ: Xét phương trình: latex(2^(x + 1) = 1/4) a) Khi viết latex(1/4) thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào? b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.
- Giải:
Ta có latex(1/4 = (1/2)^2 = 2^-2). Khi đó phương trình đã cho trở thành: latex(2^(x + 1) = 2^(-2)). (*) b) Vì cơ số ở vế của (*) đều bằng nhau nên số mũ phải bằng nhau, tức là x + 1 = – 2 ⇔ x = – 3.
- Kết luận
Ảnh
Phương trình mũ cơ bản có dạng a^x = b (với latex(0 < a != 1)). * Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = latex(log_a b). * Nếu latex(b <= 0) thì phương trình vô nghiệm. Đồ thị minh hoạ:
- Kết luận:
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách ta đưa về cùng cơ số: Nếu 0 < a latex(!= 1) thì latex(a^u = a^v <=> u =v).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Giải phương trình: latex(3^(x + 1) = 1/(3^(1 -2x))).
- Giải:
Đưa vế phải về cơ số 3, ta có latex(1/(3^(1-2x)) = 3^(2x - 1)). Từ đó phương trình trở thành latex(3^(x + 1) = 3^(2x - 1) <=> x + 1 = 2x - 1 <=> x = 2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Giải phương trình: latex(10^(x - 1)) = 2 022.
- Giải:
Lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình ta được: x - 1 = log 2022 hay x = 1 + log 2022. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 1 + log 2022.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Giải các phương trình sau: a) latex(2^(3x - 1) =1/(2^(x + 1))); b) latex(2e^(2x) = 5).
2. Phương trình lôgarit
2. Phương trình lôgarit
HĐ2: Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit Xét phương trình: latex(2log_2x = - 3). a) Từ phương trình trên, hãy tính latex(log_2x). b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.
Ảnh
a) Ta có latex(2log_2 x = -3 <=> log_2 x = -3/2). b) Từ định nghĩa lôgarit ta có: latex(log_2 x = -3/2 <=> x = 2^(-3/2) <=> x = (sqrt2)^-3) latex(<=> x = sqrt(2^-3) <=> x = sqrt2/4).
- Giải:
- Kết luận
- Kết luận:
* Phương trình lôgarit cơ bản có dạng latex(log_a x = b (0 < a != 1)). * Phương trình lôgarit cơ bản latex(log_a x = b) có nghiệm duy nhất latex(x = a^b). * Đồ thị minh hoạ:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số: Nếu u, v > 0 và latex(0 < a != 1) thì latex(log_a u = log_a v <=> u = v).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 + 3log(2x) = 16
- Giải:
Điều kiện: 2x > 0 hay x > 0. Phương trình trở thành log(2x) = 4. Từ đó latex(2x = 10^4) hay x = 5000 (TMĐK). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5000.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Giải phương trình: latex(log_3(x + 1) = log_3(x^2 - 1)).
- Giải:
Điều kiện: x + 1 > 0 và latex(x^2 - 1 > 0), tức là x > 1. Phương trình trở thành x + 1 = latex(x^2 - 1) hay latex(x^2 - x - 2 = 0). Từ đó tìm được x = -1 và x = 2, nhưng chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Giải các phương trình sau; a) 4 - log(3 - x) = 3; b) latex(log_2 (x + 2) + log_2(x - 1) = 1).
3. Bất phương trình mũ
3. Bất phương trình mũ
Ảnh
HĐ3: Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ Cho đồ thị của các hàm số latex(y = 2^x) và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số latex(y = 2^x) nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình latex(2^x > 4).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Bất phương trình mũ cơ bản có dạng latex(a^x > b) (hoặc latex(a^x >= b, a^x < b), latex(a^x <= b)) với a > 0, latex(a!= 0). * Xét bất phương trình dạng latex(a^x > b): +) Nếu latex(b<= 0) thì tập nghiệm của bất phương trình là R. +) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với latex(a^x > ^(log_a b)). Với a >1, nghiệm của bất phương trình là latex(x > log_a b) Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là latex(x < log_a b).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự. b) Nếu a > 1 thì latex(a^u > a^v <=> u > v); Nếu 0 < a < 1 thì latex(a^u > a^v <=> u < v).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: latex(16^x > 1/8).
- Giải:
Ta có: latex(16^x > 1/8 <=> 2^(4x) > 2^-3 <=> 4x > -3 <=> x > -3/4).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
- Giải:
Ta cần tìm t sao cho V(t) latex(<= 300 <=> 780 . (0,905)^t <= 300 <=> (0,905)^t <= 5/13) latex(<=> t >= log_(0,905) 5/13 ~~ 9,6). Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Giải các phương trình sau: a) latex(0,1^(2x - 1) <= 0,16^(2 - x)); b) latex(3 . 2^(x + 1) <= 1).
4. Bất phương trình lôgarit
Ảnh
4. Bất phương trình lôgarit
HĐ4: Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit Cho đồ thị của các hàm số latex(y = log_2 x) và y = 2 như H6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số latex(y = log_2 x) nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình latex(log_2 x > 2).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng latex(log_a x > b) (hoặc latex(log_a x >= b, log_a x < b, log_a x <= b)) với latex(a > 0, a != 1). * Xét bất phương trình dạng latex(log_a x > b). - Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là latex(x > a^b) - Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là latex(0 < x < a^b).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự. b) Nếu a > 1 thì latex(log_a u > log_a v <=> u > v > 0) Nếu 0 < a <1 thì latex(log_a u > log_a v <=> 0 < u < v).
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Giải bất phương trình: latex(log_(0,3) (x + 1) <= log_(0,3)(2x - 1)).
- Giải:
Điều kiện: latex(x > 1/2). Vì cơ số 0,3 < 1 nên bất phương trình trở thành: latex(x + 1 >= 2x - 1), từ đó tìm được latex(x <= 2). Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là latex(1/2 < x <= 2).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Giải các phương trình sau: a) latex(log_(1/7) (x + 1) > log_7 (2 - x)); b) latex(2log(2x + 1) >3).
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Áp suất khí quyển p (tính bằng kilôpascan, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo CT: latex(ln(p/100) = -h/7) a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km. b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) latex(3^(x - 1) = 27); b) latex(100^(2x^2 - 3) = 0,1^(2x^2 - 18)); c) latex(sqrt3 e^(3x) = 1); d) latex(5^x = 3^(2x - 1)).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Giải các phương trình sau: a) log(x + 1) = 2; b) latex(2log_4 x + log_2 (x - 3) = 2); c) lnx + ln(x - 1) = ln4x; d) latex(log_3(x^2 - 3x + 2) = log_3(2x - 4)).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là: A = latex(500 ∙ (1 + 0,075)^n) (triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !