CHƯƠNG VI. BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VI. BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Khởi động
Tình huống mở đầu
Hình vẽ
Tình huống mở đầu:
Ảnh
Dân số được ước tính theo công thức S = A . ert, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính?
I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
1. Phương trình mũ
Ảnh
HĐ1: Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14% / năm. a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu. b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của luỹ thừa?
I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
1. Phương trình mũ
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mũ? a) latex(5^(x^2 + 1)) = 25; b) latex(2^x = 3^(x + 1)); c) latex(x^2 = 4).
Giải:
Ảnh
Ta thấy: Hai phương trình latex(5^(x^2 + 1) = 25) và latex(2^x = 3^(x + 1)) là những phương trình mũ.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hai ví dụ về phương trình mũ.
- Hoạt động 2
Ảnh
HĐ2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = latex(3^x) và đường thẳng y = 7. b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình latex(3^x) = 7.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Phương trình mũ cơ bản của x có dạng latex(a^x = b (a > 0, a != 1)). * Nếu latex(b <= 0) thì phương trình vô nghiệm. * Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = latex(log_ab).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Giải mỗi phương trình sau: a) latex(4^(2x - 3) = 5); b) latex(10^(x + 1) - 2 . 10^x = 8).
Giải:
Ảnh
Ta có: a) latex(4^(2x - 3) = 5 <=> 2x - 3 = log_4 5 <=> 2x = 3 + log_4 5 <=> x = 1/2 (3 + log_4 5)). Vậy phương trình có nghiệm là latex(x = 1/2(3 + log_4 5)). b) latex(10^(x + 1) - 2 . 10^x = 8 <=> 10 . 10^x - 2 . 10^x = 8 <=> 8. 10^x = 8) latex(<=> 10^x = 1<=> x = log1 <=> x = 0). Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Giải phương trình latex(4^(x - 2) = 2^(3x + 1)).
Giải:
Ta có: latex(4^(x - 2) = 2^(3x + 1)) latex(<=> 2^(2(x - 2)) = 2^(3x + 1)) latex(<=> 2(x - 2) = 3x + 1) latex(<=> 2x - 4 = 3x + 1 <=> x = -5).
Ảnh
Hình vẽ
* Với a > 0, latex(a != 1) thì latex(a^(f(x)) = a^(g(x)) <=> f(x) = g(x)). * Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Giải mỗi phương trình sau: a) latex(9^(16 – x) = 27^(x + 4)); b) latex(16^(x – 2) = 0,25 . 2^(–x + 4)).
2. Phương trình lôgarit
Ảnh
HĐ3: Chỉ số thay đổi pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H+] (trong đó [H+] chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một số mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1. a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen [H+] trong mẫu nước sông đó. b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?
2. Phương trình lôgarit
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình lôgarit? a) latex(log_7 (x + 1) = 2); b) latex(log_2 (x^2 + x + 1) = 3); c) latex(log_x (x + 1) = 3).
Giải:
Ảnh
Hai phương trình latex(log_7(x + 1)) và latex(log_x(x^2 + x + 1) = 3) là những phương trình lôgarit.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho hai ví dụ về phương trình lôgarit.
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: a) Vẽ đồ thị hàm số latex(y = log_4x) và đường thẳng y = 5. b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình latex(log_4x = 5).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: latex(log_a x = b (a > 0, a != 1)). * Phương trình đó có nghiệm duy nhất là: latex(x = a^b).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Giải mỗi phương trình sau: a) latex(log_2 x = 5); b) latex(log_4 (5x - 4) = 2).
Giải:
Ảnh
a) Ta có: latex(log_2 x = 5 <=> x = 2^5 <=> x = 32). Vậy phương trình có nghiệm là x = 32. b) Ta có: latex(log_4(5x - 4) = 2 <=> 5x - 4 = 4^2 <=> 5x = 20 <=> x = 4). Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Giải phương trình: latex(log_8(3x - 6) = -log_(1/8)(2x - 2)).
Giải:
Ảnh
Điều kiện xác định là:
Ảnh
3x - 6 > 0 tức là x > 2. 2x - 2 > 0,
Ta có: latex(log_8 (3x - 6) = -log_(1/8) (2x - 2))
Ảnh
latex(<=>)
x> 2 latex(log_8(3x - 6) = log_8(2x - 2)).
latex(<=>)
Ảnh
x > 2 latex(<=> x = 4) 3x - 6 = 2x - 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Cho a > 0, latex(a != 1). Ta có: latex(log_a f(x) = log_a g(x)):
Ảnh
latex(<=>)
f(x) > 0 f(x) = g(x)
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Giải mỗi phương trình sau: a) latex(log_5(2x - 4) + log_(1/5)(x - 1) = 0). b) latex(log_2 x + log_4 x = 3).
II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
1. Bất phương trình mũ
II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
1. Bất phương trình mũ
HĐ5: Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ latex(y = (1/2)^x). Từ đó, hãy tìm x sao cho latex((1/2)^x > 2).
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Bất phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa. * Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong những dạng sau: latex(a^x > b; a^x < b; a^x >= b; a^x <= b (a > 0, a!= 1)).
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Bất phương trình nào là bất phương trình mũ cơ bản trong các bất phương trình sau? a) latex(3^x > 27); b) latex(2^(x + 5) > 3^(2x + 1)); c) latex(7^x <= 12)
Hình vẽ
Ta thấy: Hai bất phương trình latex(3^x > 27) và latex(7^x <= 12) nhưng bất phương trình mũ cơ bản.
Giải:
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản.
- Cách giải bất phương trình mũ cơ bản
Ảnh
- Cách giải bất phương trình mũ cơ bản:
Xét bất phương trình mũ: latex(a^x > b (a > 0, a != 1)). * Nếu latex(b <= 0), tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R (vì latex(a^x > 0 >= b, AAx in R). * Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với latex(a^x > a^(log_a b)). Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là latex(x > log_a b). Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là latex(x < log_ab).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
* Với a > 1 thì latex(a^x > a^alpha <=> x > alpha) * Với 0 < a < 1 thì latex(a^x > a^alpha <=> x < alpha).
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Giải mỗi bất phương trình sau: a) latex(5^x > 12); b) latex((0,3)^(x + 1) > 1,7).
Giải:
Ảnh
Ta có: a) latex(5^x > 12 <=> x > log_5 12). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là latex((log_5 12; + oo)). b) latex((0,3)^(x + 1) > 1,7 <=> x + 1 < log_(0,3) 1,7 <=> x < -1 + log_(0,3) 1,7). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là latex((-oo; -1 + log_(0,3) 1,7)).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Giải mỗi bất phương trình sau: a) latex(7^(x+3) < 343); b) latex((1/4)^x >= 3)
2. Bất phương trình lôgarit
Ảnh
HĐ6: Quan sát Hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit latex(y = log_2x). Hãy tìm x sao cho latex(log_2x > 1).
2. Bất phương trình lôgarit
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Bất phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit. * Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình lôgarit có một trong những dạng sau: latex(log_a x > b; log_a x < b; log_a x >= b; log_a x <= b) latex((a > 0, a!= 1)).
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Bất phương trình nào là bất phương trình lôgarit cơ bản trong các bất phương trình sau? a) latex(log_2 x > 3); b) latex(log_5x > log_9(x + 1)); c) latex(log_8 x <= 2).
Hình vẽ
Ta thấy: Hai bất phương trình latex(log_2x > 3) và latex(log_8 x <= 2) là những phương trình lôgarit cơ bản.
Giải:
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Cho hai ví dụ về bất phương trình lôgarit cơ bản.
- Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản.
Ảnh
- Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản:
Xét bất phương trình mũ: latex(log_a x > b (a > 0, a != 1)). Bất phương trình tương đương với latex(log_a x > log_a a^b). * Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là latex(x > a^b). * Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là latex(0 < x < a^b).
- Ví dụ 10
Ví dụ 10. Giải mỗi bất phương trình sau: a) latex(log_(1/2) x > -2); b) latex(log_2(x + 1) > 3).
Giải:
Ảnh
Ta có: a) latex(log_(1/2) > -2 <=> 0 < x < (1/2)^-2 <=> 0 < x < 2^2 <=> 0 < x < 4). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 4). b) latex(log_2(x + 1) > 3 <=> x + 1 > 2^3 <=> x > 7). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là latex((7; + oo)).
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
Giải mỗi bất phương trình sau: a) latex(log_3 x < 2); b) latex(log_(1/4) (x - 5) >= -2).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Hình vẽ
Ảnh
Bài 1: Giải mỗi phương trình sau: a) latex((0,3)^(x–3) = 1); b) latex(5^(3x–2) = 25); c) latex(9^(x–2) = 243^(x+1)); d) latex(log_(1/2) (x + 1) = -3)
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Giải mỗi bất phương trình sau: a) latex(3^x > 1/243); b) latex((2/3)^(3x - 7) <= 3/2); c) latex(4^(x + 3) >= 32^x) d) latex(log(x - 1) < 0);
Bài 3
Hình vẽ
Bài 3: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất x%/năm (x > 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VII. Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh