Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Phần bài tập
Bài 1:
Bài 1: CMR: latex(n>=2,AAninN) có: latex(3^n>3n 1) (3) Giải Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:latex(3^k>3k 1) Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k 1, tức là:latex(3^(k 1)>3(k 1) 1 Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: latex(3^k>3k 1hArr3(k 1)>3(3k 1)hArr3(k 1)>9k 3hArr3^(k 1)>3k 4 6k-1) Vì 6k - 1 > 0 nên: latex(3^(k 1)>3k 4) Vậy: latex(n>=2,AAn in N) có: latex(3^n>3n 1) Bài 2:
Bài 2: Với latex(n in N**) CMR 2 5 8 .. 3n-1=latex((n(3n 1))/n) (1) Giải Với n=1 ta có VT=3-1=2; VP=latex((3 1)/2)=2 Vậy VT=VP latex(rArr) (1) đúng với n=1. Giả thiết (1) đúng với latex(n=k>=1) nghĩa là 2 5 8 .. 3k-1=latex((k(3k 1))/k) (1a) Ta chứng minh (1a) đúng với n=k 1 nghĩa là chứng minh: latex(2 5 8 ... 3k-1 3(k 1)-2=((k 1)[3(k 1) 1])/(2)=((k 1)(3k 4))/(2) (1) latex(hArr) 2 5 8 ... 3k-1 3(k 1)-1=latex((k(3k 1))/(2) 3(k 1)-1) =latex((3k^2 7k 4)/(2)=((k 1)(3k 4))/(2) latex(rArr) (1) đúng với n=k 1, vậy (1a) đúng với n latex(in N**) Bài 3:
Bài 3: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi cạnh n là: latex((n(n-3))/2) Giải Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là: latex(C_n^2) đoạn thẳng: Suy ra cố đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là: latex(C_n^2-n=(n!)/(2!(n-2)!)-n=((n-2)!(n-1)n)/(2(n-2)!)-n latex(=(n(n-1))/(2)-n=(n^2-3n)/(2)=(n(n-3))/2) (đpcm) Củng cố
Bài 1:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi latex(nin N**), ta có: latex(1 2 3 .. n=(n(n 1))/2) (1) Giải Với n = 1, ta có VT=1; VP=latex((1(1 1))/2)=1, vậy đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là latex(1 2 3 .. n=(n(n 1))/2) (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k 1, tức là phải chứng minh: latex(1 2 3 .. k k 1 =((k 1)[(k 1) 1])/2) (2) Thật vậy: VT(2)=(1 2 3 ... k) (k 1)=latex((k(k 1))/2 (k 1)=(k^2 k 2(k 1))/2 = latex((k^2 3k 2)/(2) VP(2)=latex(((k 1)[(k 1) 1])/2=((k 1)(k 2))/2=(k^2 3k 2)/2 latex(hArrVT(2)=VP(2). Vậy với mọi latex(n in N**), ta có: latex(1 2 3 .. n=(n(n 1))/2) Bài 2:
Bài 2: CMR với mọi latex(nin N**), ta có: latex(1.4 2.7 .. n(3n 1)=n(n 1)^2) (2) Giải Với n=1, ta có VT= 1.(3.1 1)=4=1.(1 1)2 = VP, đẳng thức (2) đúng Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: latex(1.4 2.7 .. k(3k 1)=k(k 1)^2) (GTQN) Ta phải chứng minh đúng với n = k 1, tức là: latex(1.4 2.7 .. k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1]=(k 1)[(k 1) 1]^2) (*) = latex((k 1)(k 2)^2 Thật vậy: VT(*)=1.4 2.7 .. k(3k 1)] (k 1)[3(k 1) 1] =latex(k(k 1)^2 (k 1)[3(k 1) 1]=(k 1)[k(k 1) 3k 4] =latex((k 1)(k^2 4k 4)=(k 1)(k 2)^2=VP(**) Vậy với mọi latex(ninN**), ta có: latex(1.4 2.7 .. n(3n 1)=n(n 1)^2) Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại bài đã học - Đọc bài " bạn có biết" sgk trang 83. - Làm bài tập từ 4, 5 sgk trang 83. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: