Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học
Hoạt động 1:
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC * Hoạt động 1 Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n)=latex(3^n>3^(n 1)) và Q(n)=latex(2^n>n") với latex(n in N^**) a. Với n=1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi latex(nin N^(**)) thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời P(n) Q(n) b. Với mọi latex(nin N^(**)) Pn) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. Phương pháp quy nạp toán học:
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC - Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi latex(ninN^**)ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với latex(n=k>=1)(gọi là giả thiết quy nạp) Bước 3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k 1 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1:
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG 1. Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi latex(n in N**), ta luôn có: 1 3 5 ...... (2n-1) = latex(n^2) (1) Giải Bước 1: Khi n = 1: VT = 1, VP = latex(1^2) = 1. Vậy (1) đúng Bước 2: Đặt VT = latex(S_n). Giả sử (1) đúng với n = latex(k>=1) ta có: 1 3 5 … (2k -1) = latex(k^2) (giả thiết qui nạp). Bước 3: Ta cần chứng minh (1)cũng đúng với n = k 1: latex(S_(k 1)=1 3 5 … (2k – 1) [2(k 1) – 1]=(k 1)^2) Thậy vậy: latex(S_(k 1)= S_k [2(k 1) – 1]=k^2 2k 1=(k 1)^2) Vậy: (1) đúng với mọi latex(ninN**). Ví dụ 2:
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG 2. Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi latex(n in N**), thì: latex(n^3 - n) chia hết cho 3 (1) Giải latex(Đặt A_n = n^3 – n) Bước 1: Với n = 1, ta có: latex(A_1)= 0 Bước 2: Giả sử với(1) đúng với latex(n=k>=1), ta có:latex(A_k =(k^3 – k)) 3 (GTQN) Bước 3: Ta chứng minh latex(A_(k 1) 3 Thật vậy: latex(A_(k 1) = (k 1)^3- (k 1) = k^3 3k^2 3k 1- k -1 = latex((k^3-k) (k^2 k)=A_k 3(k^2 k)) Vì: latex(A_k) chia hết cho 3 và latex(3(k^2 k)) chia hết cho 3 nên latex(A_(k 1)) chia hết cho 3 Vậy: latex(A_n = n^3 -n) chia hết cho 3 với mọi latex(ninN**). Ví dụ 3:
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG 3. Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi latex(n in N**), thì: ta có: Q(n) :"latex(2^n>n") đúng Giải ) Với n = 1, ta cólatex(VT=2^1=2>VP=1), vậy Q(n) đúng. ) Giả sử Q(n) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:latex(2^k>k) (GTQN) Ta phải chứng minh Q(n) đúng với n = k 1, tức là phải chứng minh:latex(2^(k 1)>k 1). Thật vậy, theo GTQN: latex(2^k>k) latex(hArr2.2^k>2khArrr2^(k 1)>k k>=k 1)(vì latex(k>=1)) latex(rArr 2^(k 1)>k 1) Vậy với mọi latex(nin N**), ta có: Q(n)="latex(2^n>n)" đúng. Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại bài đã học - Đọc bài " bạn có biết" sgk trang 83. - Làm bài tập từ 1 đến 3 sgk trang 82. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: