CHƯƠNG VI. BÀI 1. PHÉP TÍNH LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VI. BÀI 1. PHÉP TÍNH LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Khởi động
Tình huống mở đầu
Tình huống mở đầu:
Ảnh
Hình vẽ
Những khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép tính luỹ thừa đó có tính chất gì?
I. Phép tính luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ1: a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a. b) Với a là số thực tuỳ ý khác 0, nêu quy ước xác định luỹ thừa bậc 0 của a. .
I. Phép tính lũy thừa với số hữu tỉ
1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
Ảnh
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có: latex(a^(-n) = 1/a).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
* latex(0^0) và latex(0^(-n)) (n nguyên dương) không có nghĩa. * Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: A = latex((1/2)^(-12) . 8^(-3) + (0,2)^(-4) . 25^(-2) + 243^(-1) . (1/6)^(-6)).
Ta có: A = latex((1/2)^(-12) . 8^(-3) + (0,2)^(-4) . 25^(-2) + 243^(-1) . (1/6)^(-6)). = latex(1^(12) . 1/(8^3) + (1/5)^(-4) + 1/(243^1) . 3^6) = latex((2^12)/(2^9) + (5^4)/(5^4) + (3^6)/(3^5)= 2^3 + 1 + 3 = 12).
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Tính giá trị của biểu thức: M = latex((1/3)^(12) . (1/27)^(-5) + (0,4)^(-4) . (1/32)^(-1)).
2. Căn bậc n
Ảnh
2. Căn bậc n
HĐ2: a) Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a. b) Với a là số thực tuỳ ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.
a. Định nghĩa
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho số thực a và số nguyên dương n latex((n >= 2)). Số b được gọi là căn bậc a nếu latex(b^n = a).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: a) Số latex(- 1/2) có là căn bậc 5 của latex(-1/32) hay không? b) Các số 3 và -3 có là căn bậc 4 của 81 hay không?
Ảnh
- Giải:
a) Do latex((- 1/2)^5 = 1/32) nên số latex(- 1/2) là căn bậc 5 của latex(- 1/32). b) Ta thấy: latex((-3)^4 = 3^4 = 81). Do đó các số 3 và -3 là căn bậc 4 của 81.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
* Với n lẻ và latex(a in R): có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là latex(nsqrta). * Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau: + a < 0 : Không tồn tại căn bậc n của a. + a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0. + a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là nlatex(sqrta), còn giá trị âm là -nlatex(sqrta).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 1:
Các số 2 và -2 có căn bậc 6 của 64 hay không?
b. Tính chất
b. Tính chất
HĐ3: a) Với mỗi số thực a, so sánh: latex(sqrt(a^2)) và latex(|a|; sqrt(a^3)) và a. b) Cho a, b là hai số thực b dương. So sánh: latex(sqrt(a . b)) và latex(sqrta . sqrtb).
Ảnh
3
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Rút gọn mỗi biểu thức sau:
Ảnh
3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Ảnh
3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỷ
HĐ4: Thực hiện các hoạt động sau: a) So sánh: latex(2^(6/3)) và latex(2^2); b) So sánh: latex(2^(6/3)) và latex(3sqrt(2^6)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
* latex(a^(1/n) = sqrta (a > 0, n in N, n>= 2)). * Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên.
n
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Ảnh
II. Phép tính luỹ thừa với số mũ thực
1. Định nghĩa
II. Phép tính luỹ thừa với số mũ thực
Ảnh
1. Định nghĩa
Ảnh
HĐ5: Xét số vô tỉ latex(sqrt2=1,414213562...) Xét dãy số hữu tỉ latex(r_1 = 1; r_2 = 1,4; r_3 = 1,41); latex(r_4 = 1,414; r_5 = 1,4142; r_6 = 1,41421; ...) và latex(lim r_n= sqrt2). Bằng cách tính tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số latex((r_n)) và latex((3^(r_n))) với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số latex((3^(r_n))) dần đến một giới hạn mà ta gọi là latex(3^sqrt2). Nêu dự đoán về giá trị của số latex(3^sqrt2) (đến hàng phần trăm).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho a là số thực dương, latex(alpha) là số vô tỉ, latex(r_n) là dãy số hữu tỉ và latex(limr_n = alpha) . Giới hạn của dãy số latex(a^(r_n)) gọi là lũy thừa của a với số mũ latex(alpha), kí hiệu latex(a^alpha, a^alpha = lim a^(r_n)).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Từ định nghĩa ta có: latex(1^alpha = 1, AA alpha in R).
- Ví dụ 5
Ảnh
VD5: Xét dãy số hữu tỉ latex(r_1 = 1; r_2 = 1,4; r_3 = 1,41; r_4 = 1,414; r_5 = 1,4142;) latex(r_6 = 1,41421; ...) và lim latex(r_n = sqrt2). Bằng cách tính latex(10^(r_n)) tương ứng, ta nhận được bảng 2 ghi các dãy số latex((r_n)) và latex((10^(r_n))) với n = 1, 2, ..., 6. Nêu dự đoán về giá trị của số latex(10^sqrt2) (đến hàng phần trăm).
Giải:
Từ bảng 2, ta dự đoán latex(10^sqrt2 ~~ 25,95)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5
So sánh latex(10^sqrt2) và 10.
2. Tính chất
2. Tính chất
Ảnh
HĐ6: Nêu những tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.
- Kết luận
- Định nghĩa:
Ảnh
* Cho a, b là những số thực dương; latex(alpha, beta) là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có: latex(a^alpha . a^beta = a^(alpha + beta)); latex((ab)^alpha = a^alpha . b^alpha); latex((a/b)^alpha = (a^alpha)/(b^alpha)); latex((a^alpha)/(a^beta) = a^(alpha - beta)); latex((a^alpha)^beta = a^(alpha beta)). * Nếu a > 1 thì latex(a^alpha > a^beta <=> alpha > beta). Nếu 0 < a < 1 thì latex(a^alpha > a^beta <=> alpha < beta).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức: latex(P = (a^(sqrt5 + 1) . a^(7 - sqrt5))/((a^(3 - sqrt2))^(3 + sqrt2))) (a > 0)
Giải:
Với a > 0, ta có: latex(P = (a^(sqrt5 + 1) . a^(7 - sqrt5))/((a^(3 - sqrt2))^(3 + sqrt2)) = (a^(sqrt5 +1 + 7 - sqrt5))/(a^((3 - sqrt2)(3+sqrt2))) = (a^8)/(a^7) = a).
Ảnh
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: latex(3^sqrt8) và latex(3^3)
Giải:
Ta có 3 = latex(sqrt9). Do 8 < 9 nên latex(sqrt8 < sqrt9). Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên latex(3^sqrt8 < 3^3).
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: latex(2^(2sqrt3)) và latex(2^(3sqrt2)).
3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực
3. Sử dụng MT cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): a) latex(0,7^-5); b) latex(1,4^(sqrt2 - 2)).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7
Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): a) latex((-2,7)^-4); b) latex((sqrt3 - 1)^(3sqrt4 + 1)).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Hình vẽ
Ảnh
Bài 1: Tính: a) latex((1/256)^(-0,75) + (1/27)^(- 4/3)); b) latex((1/49)^(-1,5) - (1/125)^(-2/3)); c) latex(4^(3 + sqrt3) - 4^(sqrt3 - 1). 2^(-2sqrt3)).
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) latex(a^(1/3) . sqrta); b) latex(b^(1/2) . b^(1/3) . 6sqrtb); c) latex(a^(4/3) : 3sqrt3); d) latex(3sqrtb : b^(1/6)).
Bài 3
Hình vẽ
Ảnh
Bài 3: Rút gọn mỗi biểu thức sau: a) latex((a^(7/3) - a^(1/3))/(a^(4/3) - a^(1/3)) - (a^(5/3) - a^(-1/3))/(a^(2/3) + a^(-1/3)) (a > 0, a != 1)) b) latex(((4sqrt(a^3b^2))^4)/(3sqrt(sqrt(a^12b^6)))) (a > 0, b > 0).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VI. Bài 2. Phép tính lôgarit".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh