BÀI 24: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 24: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực (như một số vùng phía bắc của Na Uy, Phần Lan, Nga,...), Mặt Trời có thể được nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày. Hình học giải thích hiện tượng này như thế nào?
- Khởi động:
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Phép chiếu vuông góc
Ảnh
1. Phép chiếu vuông góc
HĐ1: Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân. a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua một phép chiếu // không? b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương latex(Delta) vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
- Chú ý
- Chú ý:
Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P), còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H' của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A' là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA' có quan hệ gì với mặt phẳng (P)? b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là gì?
- HĐ2
Ảnh
HĐ2: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Xét b là một đường thẳng nằm trong (P). Trên a, lấy hai điểm M, N tùy ý. Gọi M', N' tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) (H.7.34). a) Hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào? b) Nếu b vuông góc với M'N' thì b có vuông góc với a hay không?
c) Nếu b vuông góc với a thì b có vuông góc với M'N' hay không?
- Định lí ba đường vuông góc
Ảnh
- Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a' của a trên (P).
- Ví dụ 1
Ảnh
c) CMR: Nếu ABCD là một hình bình hành thì các trung điểm E, F tương ứng của các đoạn thẳng MP và NQ có cùng hình chiếu trên sân.
Ví dụ 1: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A, B, C, D người ta dựng các cột thẳng đứng AM, BN, CP, DQ và nối các sợi dây thẳng giữa M và P, N và Q như H7.35. a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ trên sân. b) CMR: Nếu latex(BD _|_ AC) thì latex(BD _|_ MP).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36). a) CMR: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) XĐ hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC). c) Chứng minh rằng nếu AO⊥BC thì SA⊥BC. d) XĐ hình chiếu của các latex(Delta) SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).
Ảnh
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
HĐ3: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240 km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Hình vẽ
* Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng latex(90@). * Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
- Hình ảnh minh hoạ
Ảnh
- Hình ảnh minh hoạ:
- Chú ý
- Chú ý:
* Nếu latex(alpha) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì latex(0 <= alpha <= 90@). * Cho điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trùng H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH.
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có latex(SA _|_ (ABC)), SA = a, CA = CB = latex(asqrt7, AB = 2a). a) Gọi latex(alpha) là góc giữa SB và (ABC). Tính tan latex(alpha). b) Tính góc giữa SC và (SAB).
- Giải:
a) Do latex(SA _|_ (ABC)) nên latex(alpha = angle(SBA)). Tam giác SAB vuông tại A nên: latex(tan alpha = tan angle(SBA) = (SA)/ (AB) = a/(2a) = 1/2).
Ảnh
+ ý b (- Ví dụ 2)
Ảnh
b) Gọi M là trung điểm của AB. latex(Delta)ABC cân tại C nên latex(CM _|_ AB). Mặt khác, từ latex(SA _|_ (ABC)) ta có latex(CM _|_ SA). Do đó latex(CM _|_ (SAB)). Vậy góc giữa SC và (SAB) bằng latex(angle(CSM)). Tam giác SAC vuông tại A nên latex(SC = sqrt(SA^2 + AC^2) = sqrt(a^2 + 7a^2) = asqrt8). Ta có latex(AM = 1/2 AB = a). Do đó, tam giác SAM vuông cân tại A và SM = latex(asqrt2).
Tam giác CMS vuông tại M và latex(cos angle(CSM) = (SM)/(SC) = (asqrt2)/(asqrt8) = 1/2). Vậy latex(angle(CSM) = 60@) và do đó góc giữa SC và (SAB) bằng latex(60@).
- Vận dụng (- Vận dụng)
Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng 66,5°.
Ảnh
+ Yêu cầu (- Vận dụng)
a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có phương không đổi. b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.
Ảnh
- Khám phá
- Khám phá:
Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và ∆?
Ảnh
Ảnh
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B. a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và latex(SA = a sqrt2). a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC). c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a. a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC). b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !