CHƯƠNG VIII: BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VIII: BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON
Nhị thức Newton
Công thức khai triển
latex((a + b)^4) = latex(C_4^0a^4 + C_4^1a^3b + C_4^2a^2b^2 + C_4^3ab^3 + C_4^4b^4) = latex(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4); latex((a + b)^5) = latex(C_5^0a^5 + C_5^1a^4b + C_5^2a^3b^2 + C_5^3a^2b^3 + C_5^4ab^4 + C_5^5b^5) = latex(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5). Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton ( gọi tắt là nhị thức Newton) latex((a + b)^n) ứng với n = 4 và n = 5.
Chú ý
Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton latex((a + b)^n) với n = 0; 1; 2; 3;... được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).
Ảnh
Bảng số trên được gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal, 1623 - 1662).
Ví dụ 1
Ví dụ 1 Sử dụng công thức nhị thức Newton, hãy khai triển các biểu thức sau: a) latex((x + 3)^4; b) latex((1 - x)^5).
Giải a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có latex((x + 3)^4 = 1.x^4 + 4.x^3 + 6.x^2x.3^2 + 4.x.3^3 + 1.3^4) = latex(x^4 + 4.4.x^3 + 6.9.x^2 + 4.27.x + 81) = latex(x^4 + 12x^3 +54x^2 + 108x + 81). b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có latex((1 - x)^5 = 1 + 5.(-x) + 10.(-x)^2 + 10(-x)^3 + 5.(-x^4) + 1.(-x)^5) = latex(1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5)
Ví dụ 2
Giải Áp dụng công thức nhị Newton, ta có latex((1 + sqrt(2))^5 = 1 + 5.sqrt(2) + 10.sqrt(2)^2 + 10sqrt(2)^3 + 5.sqrt(2)^4 + 1.sqrt(2)^5) latex((1 - sqrt(2))^5 = 1 + 5.sqrt(-2) + 10.sqrt(-2)^2 + 10sqrt(-2)^3 + 5.sqrt(-2)^4 + 1.sqrt(-2)^5) Từ đó, latex((1 + sqrt(2))^5 + (1 - sqrt(2))^5 = 2[1 + 10.sqrt(2)^2 + 5.sqrt(2)^4]) =2(1 + 10.2 + 5.4) = 82.
Ví dụ 2 Khai triển và rút gọn biểu thức: latex((1 + sqrt(2))^5 + (1 - sqrt(2))^5)
Ví dụ 3
Giải Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 latex(leq) k latex(leq) 5 ) là một tổ hợp chập k của A. Do đó, số tập con như vậy bằng latex(C_5^k). Mặt khác, có một tập con của A không có phần tử nào (tập rỗng), tức có latex(C_5^0) = 1 tập con như vậy. Do đó, số tập con của A bằng latex(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5). Theo công thức nhị Newton, ta có latex(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = (1 + 1)^5 = 2^5). Vậy A có latex(2^5) = 32 tập con.
Ví dụ 3 Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài tập
Bài 1 + 2 + 3
1. Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển các biểu thức sau: a) latex((3x + y)^4); b) latex((x - sqrt(2))^5). 2.Khai triển và rút gọn các biểu thức sau: a) latex((2 + sqrt(2))^4); b) latex((2 + sqrt(2))^4 + (2 - sqrt(2))^4); c) latex((1 - sqrt(3))^5). 3.Tìm hệ số của latex(x^3) trong khai triển latex((3x - 2)^5).
Bài 4 + 5
4. Chứng minh rằng latex(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0). 5. Cho A = {latex(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5)} là một tập hợp có phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.
Kết thúc
Ảnh