BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
Ảnh
TOÁN 10
BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON
Kiến thức, kĩ năng
Kiến thức, kĩ năng
Ảnh
Kiến thức, kĩ năng
Khai triển nhị thức Newton latex((a + b)^n) bằng vận dụng tổ hợp với số mũ thấp (n = 4 hoặc n = 5).
Khởi động
Khởi động (Khởi động)
Ảnh
Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết triển khai: latex((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2) latex((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)
Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a và b. Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong triển khai latex((a + b)^n) khi latex(n in {4;5}) không?
- Khám phá
- Hoạt động 1
Ảnh
- Khám phá
HĐ1: Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức latex((a + b) * (c + d)) được xây dựng như sau:
Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ nhất (H.8.6); Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ hai; Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.
- Thực hiện yêu cầu (- Hoạt động 1)
Ảnh
- Thực hiện yêu cầu:
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển tích latex((a + b) * (c + d)).
- Hoạt động 2
HĐ2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích latex((a + b) * (a + b) * (a + b)).
Ảnh
b
a
b
a
b
latex(a^2b)
latex(ab^2)
latex(a^2b)
latex(ab^2)
latex(ab^2)
- Trả lời câu hỏi (- Hoạt động 2)
Ảnh
- Trả lời câu hỏi
Từ việc hoàn thành sơ đồ cây trên, em hãy cho biết: Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng latex(a^3, a^2b, ab^2, b^3)? Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi triển khai latex((a + b)^3).
- Nhận xét
- Nhận xét
Ảnh
Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đa cho.
- Ví dụ minh họa
Ảnh
- Ví dụ minh họa
Trong sơ đồ cây (H.8.8) của latex((a + b) * (c + d)) thì các tích nhận được là latex(a*c, a*d, b*c, b*d) cũng chính là các tích nhận được khi ta lất một hạng tử của nhị thức thứ nhất nhân với một hạng tử của nhị thức thứ hai. Ta có:
Latex((a+b)*(c+d) = a*c + a*d + b*c + b*d)
- Hoạt động 3
Ảnh
HĐ3: Sơ đồ hình cây của khai triển latex((a + b)^4) được mô tả như Hình 8.9. Sau khi triển khai, ta thu được một tổng gồm latex(2^4) đơn thức có dạng latex(x*y*z*t), trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b.
- Thực hiện yêu cầu (- Hoạt động 3)
Ảnh
Dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau: latex(a^4; a^3b; a^2b^2; ab^3; b^4?)
- Thực hiện yêu cầu
- Kết luận 1
Hình vẽ
- Kết luận 1
latex((a+b)^4 = C_4a^4 + C_4a^3b + C_4a^2b^2 + C_4ab^3 + C_4b^4) = latex(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)
0
3
1
4
2
Ảnh
- Ví dụ 1
- Ví dụ 1
Thay a = 2x và b = 1 trong công thức triển khai của latex((a + b)^4), ta được: latex((2x + 1)^4 = (2x)^4 + 4*(2x)^3*1 + 6*(2x)^2*1^2 + 4*(2x) *1^3 + 1^4) = latex(16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1).
Ảnh
Khai triển latex((2x +1)^4)
Giải:
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1
Khai triển latex((x - 2)^4).
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: Tương tự như HDD3, sau khi triển khai latex((a+b)^5), ta thu được một tổng gồm latex(2^5) đơn thức có dạng latex(x*y*z*t*u), trong mỗi kí hiệu a, y, z, t, u là a hoặc b.
Dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết, trong tổng nhận được nêu trên có bao nhiêu đơn thức đồng dạng vưới mỗi đơn thức thu gọn sau: latex(a^5; a^4b; a^3b^2; a^2b^3; ab^4; b^5?)
- Kết luận 2
Hình vẽ
- Kết luận 2
latex((a+b)^5 = C^0a^5 + C^1a^4b + C^2a^3b^2 + C^3a^2b^3 + C^4ab^4 + C^5b^5) = latex(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)
Ảnh
5
5
5
5
5
5
- Ví dụ 2
- Ví dụ 2
Thay a = x và b = 3 trong công thức triển khai của latex((a + b)^5), ta được: latex((x + 3)^5 = x^5 + 5*(x)^4*3 + 10*x^3*3^2 + 10*x^2 *3^3 +5*x*3^4+ 3^5) = latex(x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243).
Ảnh
Khai triển latex((3x - 2)^5)
Giải:
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2
Khai triển latex((3x - 2)^5).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét
Các công thức khai triển latex((a +b)^n), với latex(n in {4;5}), là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng
a) Dùng hai số hạng đầu tiên triển khai của latex((1 + 0,05)^4) để tính giá trị gần đúng của latex(1,05^4). b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của latex(1,05^4) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1:
Khai triển các đa thức: a) latex((x-3)^4); b) latex((3x - 2y)^4); c) latex((x+5)^4 + (x - 5)^4); d) latex((x - 2y)^5).
Bài 2
Ảnh
Bài 2:
Tìm hệ số của latex(x^4) trong khai triển của latex((3x - 1)^5).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Học hiểu phần trọng tâm của bài. Làm hết bài tập SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 26. Biến cố và định nghĩa cổ điển cùa xác suất".
- Kết luận
Ảnh